1. ★★★(2026·嘉兴期中)如图,锐角△ABC中,点E是AB边上一点,BE=CE,AD⊥BC于点D,AD与EC交于点G.
(1)求证:△AEG为等腰三角形;
(2)若GD=5,点G为CE中点,求AG的长.

(1)
∵ AD ⊥ BC 于点 D,
∴ △ABD 和 △CDG 都是直角三角形.
∵ BE=CE,
∴ ∠B=∠GCD,
∴ ∠BAG=∠CGD=∠AGE,
∴ AE=GE,
∴ △AEG 为等腰三角形.
(2)如图,作EH⊥AD,垂足为点H,
∵ 点G为 CE 中点,
∴ EG = CG. 在 △EHG 和 △CDG 中,
$\begin{cases} ∠EHG=∠CDG, \\ ∠EGH=∠CGD, \\ EG=CG, \end{cases}$
∴ △EHG≌△CDG(AAS),
∴ HG=GD.
∵ AE=EG,EH⊥AD,
∴ AH=HG=GD.
∵ DG=5,
∴ AG=10.

2. 已知:在$△ ABC$中,$∠ ABC=45°$,$CD ⊥ AB$于点$D$,点$E$为$CD$上一点,且$DE=AD$,连结$BE$并延长交$AC$于点$F$,连结$DF$.
(1)求证:$BE=AC$;
(2)若$AB=BC$,求证:$BE=2CF$.

(1)
∵ CD ⊥ AB,
∴ ∠BDC = ∠CDA = 90°.
∵ ∠ABC = 45°,
∴ △BDC是等腰直角三角形,
∴ BD = CD. 在 △BDE 和 △CDA 中,
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠BDE=∠CDA, \\ DE=DA, \end{cases}$
∴ △BDE≌△CDA(SAS),
∴ BE=AC.
(2)由(1)得 △BDE≌△CDA,
∴ BE = AC,∠DBE = ∠DCA.
∵ ∠CEF=∠BED,
∴ ∠CFE=∠BDE=90°,
∴ BF⊥AC.
∵ AB=BC,
∴ AC=2CF,
∴ BE=2CF.

3. 如图,点 C 在线段 AB 上,AD//BE,AC=BE,AD=BC,F 是 DE 的中点.
(1)求证:CF⊥DE;
(2)若∠ADC=20°,∠DCB=80°,求∠DCF 的度数.

(1)
∵ AD//BE,
∴ ∠A=∠B.
∵ AC=BE,AD=BC,
∴ △ADC≌△BCE(SAS),
∴ CD=CE.又
∵ F 是 DE 的中点,
∴ CF⊥DE.
(2)
∵ △ADC≌△BCE,∠ADC=20°,∠DCB=80°,
∴ ∠ECB=∠ADC=20°,
∴ ∠DCE=∠DCB+∠ECB=100°.又
∵ CD=CE,F是 DE 的中点,
∴ ∠DCF=$\frac{1}{2}$∠DCE=$\frac{1}{2}$×100°=50°.