1. ★★★（2025·潍坊中考）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地。甲：A→C→B，路程为$ l_甲 $。乙：A→D→E→F→B，路程为$ l_乙 $。丙：A→G→H→B，路程为$ l_丙 $。下列关系正确的是（）

A.$ l_甲＞l_乙＞l_丙 $
B.$ l_乙＞l_甲＞l_丙 $
C.$ l_甲＞l_丙＞l_乙 $
D.$ l_甲=l_乙＞l_丙 $

1. D

2. ★★★ 如图,点 A 在直线 MN 上,点 B 在直线 MN 上方,点 P 为直线 MN 上一动点,当$△ ABP$为等腰三角形时,则满足条件的点 P 的个数为 （）

A.1
B.3
C.4
D.5 ＞＞ 对点专练P65

2. C

3. （2026·金华月考）如图，过边长为6的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连结PQ交AC边于D，则DE的长为。

3. 3

4. （2026·哈尔滨期中）如图，$△ ABC$和$△ CDE$均为等边三角形，且点$B,C,D$在同一直线上，$AD$交$CE$于点$G$，$BE$交$AC$于点$H$，交$AD$于点$F$，连结$CF,GH$.有下列结论：①$AD=BE$；②$∠ AFB=60°$；③$FC$平分$∠ BFD$；④$△ CGH$是等边三角形.其中正确的有.

4. ①②③④

5. 项目式学习 如图,在等边三角形ABC中,E是边AC上一定点,D是直线BC上一动点,以DE为一边作等边三角形DEF,连结CF.
【问题解决】
如图①,若点D在边BC上,求证:CE+CF=CD.
【类比探究】
如图②,若点D在边BC的延长线上,请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系,并写出这三条线段之间的数量关系.

＞＞ 根据诊断结果,请完成对应的练习

5. 【问题解决】在 CD 上截取 CH=CE,连结 EH,如图①所示,
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠ECH=60°,
∴ △CEH 是等边三角形,
∴ EH=EC=CH,∠CEH=60°.
∵ △DEF 是等边三角形,
∴ DE=FE,∠DEF=60°,
∴ ∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°,
∴ ∠DEH=∠FEC.在△DEH 和△FEC 中,$\begin{cases} DE=FE, \\ ∠DEH=∠FEC, \\ EH=EC, \end{cases}$
∴ △DEH≌△FEC(SAS),
∴ DH=CF,
∴ CD=CH+DH=CE+CF,即 CE+CF=CD.
【类比探究】CF-CE=CD.理由如下:
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠A=∠B=60°.过点 D 作 DG//AB,交 AC 的延长线于点 G,如图②所示,
∵ GD//AB,
∴ ∠GDC=∠B=60°,∠DGC=∠A=60°,
∴ ∠GDC=∠DGC=60°,
∴ △GCD 为等边三角形,
∴ DG=CD=CG.
∵ △EDF 为等边三角形,
∴ ED=DF,∠EDF=60°,
∴ ∠EDG=∠FDC,在△EGD 和△FCD 中,$\begin{cases} ED=FD, \\ ∠EDG=∠FDC, \\ DG=DC, \end{cases}$
∴ △EGD≌△FCD(SAS),
∴ EG=FC,
∴ FC=EG=CG+CE=CD+CE,即 CF-CE=CD.