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三、解答题
9. ★★★ 苹果的进价是1.5元/千克，香梨的进价是2元/千克.李老板购进苹果的质量比香梨质量的3倍多20千克，购进这两种水果一共花费420元.为方便销售，定价均为7元/千克.（销售量取整数）
(1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？
(2)前4天，平均每天卖出苹果和香梨共50千克，若每天利润大于268元，且苹果的平均日销售量小于香梨平均日销售量的3倍.
①这4天苹果和香梨的平均日销售量分别是多少千克？
②由于天气炎热，苹果总量存在8%的损耗，为尽快清仓，李老板决定对剩下的苹果进行打折销售，为确保销售苹果的总利润不低于925元，最多可以打几折？（直接写出结果）
9. ★★★ 苹果的进价是1.5元/千克，香梨的进价是2元/千克.李老板购进苹果的质量比香梨质量的3倍多20千克，购进这两种水果一共花费420元.为方便销售，定价均为7元/千克.（销售量取整数）
(1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？
(2)前4天，平均每天卖出苹果和香梨共50千克，若每天利润大于268元，且苹果的平均日销售量小于香梨平均日销售量的3倍.
①这4天苹果和香梨的平均日销售量分别是多少千克？
②由于天气炎热，苹果总量存在8%的损耗，为尽快清仓，李老板决定对剩下的苹果进行打折销售，为确保销售苹果的总利润不低于925元，最多可以打几折？（直接写出结果）
答案
9. (1)设李老板购进香梨$x$千克,则李老板购进苹果$(3x+20)$千克,根据题意得$1.5(3x+20)+2x=420$,解得$x=60$,$\therefore$购进香梨60千克,购进苹果$3×60+20=200$(千克).
(2)①设这4天苹果的平均日销售量是$m$千克,则香梨的平均日销售量是$(50-m)$千克.根据题意,得$\begin{cases} m＜3(50-m), \\ (7-1.5)m+(7-2)(50-m)＞268,\end{cases}$解不等式组得$36＜ m＜ 37.5$.$\because$销售量取整数,$\therefore m=37$,$\therefore$这4天苹果的平均日销售量是37千克,香梨的平均日销售量是$50-37=13$(千克).
②最多可以打7.5折. 解析:设苹果打$a$折销售,根据题意,得剩下的苹果为$200-200×8\%-37×4=36$(千克),苹果的总利润为$(7-1.5)×37×4+(7×\dfrac{a}{10}-1.5)×36-200×8\%×1.5≥ 925$,解得$a≥7.5$,故最多可以打7.5折.
(2)①设这4天苹果的平均日销售量是$m$千克,则香梨的平均日销售量是$(50-m)$千克.根据题意,得$\begin{cases} m＜3(50-m), \\ (7-1.5)m+(7-2)(50-m)＞268,\end{cases}$解不等式组得$36＜ m＜ 37.5$.$\because$销售量取整数,$\therefore m=37$,$\therefore$这4天苹果的平均日销售量是37千克,香梨的平均日销售量是$50-37=13$(千克).
②最多可以打7.5折. 解析:设苹果打$a$折销售,根据题意,得剩下的苹果为$200-200×8\%-37×4=36$(千克),苹果的总利润为$(7-1.5)×37×4+(7×\dfrac{a}{10}-1.5)×36-200×8\%×1.5≥ 925$,解得$a≥7.5$,故最多可以打7.5折.
10. 🎖️ |新定义 把关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=1$,叫作数对$P(a,b)$的伴随方程;若$\begin{cases} x=c, \\ y=d \end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=1$的一个解,则称数对$Q(c,d)$是数对$P(a,b)$的“伴随数对”.
(1)已知数对$A(2,3)$,在数对$B(1,1),C(2,1),D(-4,3),E(2,-1)$中,是数对$A(2,3)$的“伴随数对”的是
(2)若数对$F(4,-1)$是数对$M(a,b+2)$和数对$N(a-1,3b)$的“伴随数对”,求数对$G(a,b)$的“伴随方程”;
(3)若$T_1,T_2,T_3,\dots,T_n$是$n$个不同的数对,满足前一个数对是后面所有数对的“伴随数对”,且$n$的最大值是$t$,如果关于$x$的不等式组$\begin{cases} 2(x-5)+m≤10, \\ x-t＞1 \end{cases}$恰好有826个整数解,直接写出$m$的取值范围.
＞＞ 对点专练 P125
＞＞ 根据诊断结果,请完成对应的练习
(1)已知数对$A(2,3)$,在数对$B(1,1),C(2,1),D(-4,3),E(2,-1)$中,是数对$A(2,3)$的“伴随数对”的是
$D(-4,3),E(2,-1)$
;(2)若数对$F(4,-1)$是数对$M(a,b+2)$和数对$N(a-1,3b)$的“伴随数对”,求数对$G(a,b)$的“伴随方程”;
(3)若$T_1,T_2,T_3,\dots,T_n$是$n$个不同的数对,满足前一个数对是后面所有数对的“伴随数对”,且$n$的最大值是$t$,如果关于$x$的不等式组$\begin{cases} 2(x-5)+m≤10, \\ x-t＞1 \end{cases}$恰好有826个整数解,直接写出$m$的取值范围.
＞＞ 对点专练 P125
＞＞ 根据诊断结果,请完成对应的练习
答案
10. (1)$D(-4,3),E(2,-1)$ 解析:由题意得“伴随方程”为$2x+3y=1$.将数对$B(1,1)$代入得$2+3≠1$,将数对$C(2,1)$代入得$4+3≠1$,将数对$D(-4,3)$代入得$-8+9=1$,将数对$E(2,-1)$代入得$4-3=1$,$\therefore$数对$D(-4,3),E(2,-1)$是数对$A(2,3)$的“伴随数对”.故答案为$D(-4,3),E(2,-1)$.
(2)由题意得$\begin{cases}4a-(b+2)=1, \\ 4(a-1)-3b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{2}, \\ b=-1,\end{cases}$$\therefore$数对$G(a,b)$的“伴随方程”为$\dfrac{1}{2}x-y=1$.
(3)$-1642＜ m≤ -1640$. 解析:$\begin{cases}2(x-5)+m≤ 10, \quad ① \\ x-t＞1, \quad ②\end{cases}$解不等式①,得$x≤ 10-\dfrac{1}{2}m$,解不等式②,得$x＞t+1$,$\therefore$不等式组的解集为$t+1＜ x≤ 10-\dfrac{1}{2}m$.当$n=2$时,数对$T_1$是数对$T_2$的“伴随数对”;当$n=3$时,数对$T_2$和数对$T_3$的两个伴随方程可构成一个二元一次方程组,数对$T_1$是该方程组的解,同时使数对$T_2$是数对$T_3$的“伴随数对”;当$n=4$时,数对$T_1$是数对$T_2$、数对$T_3$、数对$T_4$的三个伴随方程的解,同时要满足数对$T_2$是数对$T_3$、数对$T_4$的两个伴随方程的解,则$T_1=T_2$,这与$T_1,T_2$不同矛盾,则$n=4$时不成立,$\therefore n$的最大值为3.$\because n$的最大值是$t$,$\therefore t=3$,则$t+1=4$,$\therefore 4＜ x≤ 10-\dfrac{1}{2}m$.$\because$关于$x$的不等式组$\begin{cases}2(x-5)+m≤ 10, \\ x-t＞1\end{cases}$恰好有826个整数解,$\therefore$这826个整数解为5,6,$\dots$,830,$\therefore \begin{cases}10-\dfrac{1}{2}m≥ 830, \\ 10-\dfrac{1}{2}m＜ 831,\end{cases}$解得$-1642＜ m≤ -1640$.
(2)由题意得$\begin{cases}4a-(b+2)=1, \\ 4(a-1)-3b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{2}, \\ b=-1,\end{cases}$$\therefore$数对$G(a,b)$的“伴随方程”为$\dfrac{1}{2}x-y=1$.
(3)$-1642＜ m≤ -1640$. 解析:$\begin{cases}2(x-5)+m≤ 10, \quad ① \\ x-t＞1, \quad ②\end{cases}$解不等式①,得$x≤ 10-\dfrac{1}{2}m$,解不等式②,得$x＞t+1$,$\therefore$不等式组的解集为$t+1＜ x≤ 10-\dfrac{1}{2}m$.当$n=2$时,数对$T_1$是数对$T_2$的“伴随数对”;当$n=3$时,数对$T_2$和数对$T_3$的两个伴随方程可构成一个二元一次方程组,数对$T_1$是该方程组的解,同时使数对$T_2$是数对$T_3$的“伴随数对”;当$n=4$时,数对$T_1$是数对$T_2$、数对$T_3$、数对$T_4$的三个伴随方程的解,同时要满足数对$T_2$是数对$T_3$、数对$T_4$的两个伴随方程的解,则$T_1=T_2$,这与$T_1,T_2$不同矛盾,则$n=4$时不成立,$\therefore n$的最大值为3.$\because n$的最大值是$t$,$\therefore t=3$,则$t+1=4$,$\therefore 4＜ x≤ 10-\dfrac{1}{2}m$.$\because$关于$x$的不等式组$\begin{cases}2(x-5)+m≤ 10, \\ x-t＞1\end{cases}$恰好有826个整数解,$\therefore$这826个整数解为5,6,$\dots$,830,$\therefore \begin{cases}10-\dfrac{1}{2}m≥ 830, \\ 10-\dfrac{1}{2}m＜ 831,\end{cases}$解得$-1642＜ m≤ -1640$.
