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1. （2026·杭州月考）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程 $ x - 1 = 3 $ 的解为 $ x = 4 $，而不等式组 $ \begin{cases} x - 1 ＞ 1, \\ x - 2 ＜ 3 \end{cases} $ 的解集为 $ 2 ＜ x ＜ 5 $，不难发现 $ x = 4 $ 在 $ 2 ＜ x ＜ 5 $ 的范围内，所以方程 $ x - 1 = 3 $ 是不等式组 $ \begin{cases} x - 1 ＞ 1, \\ x - 2 ＜ 3 \end{cases} $ 的“相依方程”。
（1）在方程① $ 9x - 3 = 0 $；② $ 6(x + 2) - (x + 4) = 23 $；③ $ 2x - 3 = 0 $ 中，不等式组 $ \begin{cases}2x - 1 ＞ x + 1, \\ 3(x - 2) - x ≤ 4\end{cases}$ 的“相依方程”是 ______ ；（填序号）
（2）若关于 $ x $ 的方程 $ 3x - k = 6 $ 是不等式组 $ \begin{cases} \dfrac{3x + 1}{2} ＞ x, \\ \dfrac{x - 1}{2} ≥ \dfrac{2x + 1}{3} - 1 \end{cases} $ 的“相依方程”，求 $ k $ 的取值范围；
（3）若关于 $ x $ 的方程 $ \dfrac{x}{2} - 2m = -\dfrac{5}{2} $ 是关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases} \dfrac{x + 1}{2} ＞ 1, \\ x - m ≤ 2m + 1 \end{cases} $ 的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求 $ m $ 的取值范围。
（1）在方程① $ 9x - 3 = 0 $；② $ 6(x + 2) - (x + 4) = 23 $；③ $ 2x - 3 = 0 $ 中，不等式组 $ \begin{cases}2x - 1 ＞ x + 1, \\ 3(x - 2) - x ≤ 4\end{cases}$ 的“相依方程”是 ______ ；（填序号）
（2）若关于 $ x $ 的方程 $ 3x - k = 6 $ 是不等式组 $ \begin{cases} \dfrac{3x + 1}{2} ＞ x, \\ \dfrac{x - 1}{2} ≥ \dfrac{2x + 1}{3} - 1 \end{cases} $ 的“相依方程”，求 $ k $ 的取值范围；
（3）若关于 $ x $ 的方程 $ \dfrac{x}{2} - 2m = -\dfrac{5}{2} $ 是关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases} \dfrac{x + 1}{2} ＞ 1, \\ x - m ≤ 2m + 1 \end{cases} $ 的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求 $ m $ 的取值范围。
答案
1.(1) 解析:①$9x-3=0$,解得$x=\dfrac{1}{3}$;②$6(x+2)-(x+4)=23$,整理得$5x=15$,解得$x=3$;③$2x-3=0$,解得$x=\dfrac{3}{2}$.
解不等式$2x-1＞x+1$得$x＞2$,解不等式$3(x-2)-x≤4$得$x≤5$,$\therefore$ 不等式组的解集为$2＜x≤5$.根据新定义可知方程②是不等式组的“相依方程”.
(2) 解不等式①得$x＞-1$,解不等式②得$x≤1$,$\therefore$ 不等式组的解集为$-1＜x≤1$.$\because 3x-k=6$,$\therefore x=\dfrac{k+6}{3}$,根据“相依方程”的定义可得$-1＜\dfrac{k+6}{3}≤1$,解得$-9＜k≤-3$.
(3) 解不等式①得$x＞1$,解不等式②得$x≤3m+1$,$\therefore$ 不等式组的解集为$1＜x≤3m+1$,此时不等式组有4个整数解,$\therefore$ 整数解为$2,3,4,5$,$\therefore 5≤3m+1＜6$,解得$\dfrac{4}{3}≤m＜\dfrac{5}{3}$.
由$\dfrac{x}{2}-2m=-\dfrac{5}{2}$,解得$x=4m-5$.根据“相依方程”的定义可得$1＜4m-5≤3m+1$,解得$\begin{cases} m＞\dfrac{3}{2}, \\ m≤6, \end{cases}$即$\dfrac{3}{2}＜m≤6$.综上,$\dfrac{3}{2}＜m＜\dfrac{5}{3}$.
解不等式$2x-1＞x+1$得$x＞2$,解不等式$3(x-2)-x≤4$得$x≤5$,$\therefore$ 不等式组的解集为$2＜x≤5$.根据新定义可知方程②是不等式组的“相依方程”.
(2) 解不等式①得$x＞-1$,解不等式②得$x≤1$,$\therefore$ 不等式组的解集为$-1＜x≤1$.$\because 3x-k=6$,$\therefore x=\dfrac{k+6}{3}$,根据“相依方程”的定义可得$-1＜\dfrac{k+6}{3}≤1$,解得$-9＜k≤-3$.
(3) 解不等式①得$x＞1$,解不等式②得$x≤3m+1$,$\therefore$ 不等式组的解集为$1＜x≤3m+1$,此时不等式组有4个整数解,$\therefore$ 整数解为$2,3,4,5$,$\therefore 5≤3m+1＜6$,解得$\dfrac{4}{3}≤m＜\dfrac{5}{3}$.
由$\dfrac{x}{2}-2m=-\dfrac{5}{2}$,解得$x=4m-5$.根据“相依方程”的定义可得$1＜4m-5≤3m+1$,解得$\begin{cases} m＞\dfrac{3}{2}, \\ m≤6, \end{cases}$即$\dfrac{3}{2}＜m≤6$.综上,$\dfrac{3}{2}＜m＜\dfrac{5}{3}$.
2. (2026·宁波期中)对$m,n$定义一种新运算“▽”,规定:$m▽n=am-bn+5$(其中$a,b$均为非零常数),等式右边的运算都是通常的四则运算,例如:$5▽6=5a-6b+5$.
(1)已知$2▽3=1,3▽(-1)=10$.
①求$a,b$的值;
②若关于$x$的不等式组$\begin{cases} x▽(2x-3)＜9, \\ 3x▽(-6)≤t \end{cases}$有且只有两个整数解,求字母$t$的取值范围.
(2)若运算“▽”满足加法交换律,即对于我们所学过的任意数$m,n$,结论“$m▽n=n▽m$”都成立,试探究$a,b$应满足的关系.
(1)已知$2▽3=1,3▽(-1)=10$.
①求$a,b$的值;
②若关于$x$的不等式组$\begin{cases} x▽(2x-3)＜9, \\ 3x▽(-6)≤t \end{cases}$有且只有两个整数解,求字母$t$的取值范围.
(2)若运算“▽”满足加法交换律,即对于我们所学过的任意数$m,n$,结论“$m▽n=n▽m$”都成立,试探究$a,b$应满足的关系.
答案
2.(1)①$\because 2▽3=1,3▽(-1)=10$,$\therefore \begin{cases} 2a-3b+5=1, \\ 3a+b+5=10, \end{cases}$解得$a=1,b=2$.
②$\because \begin{cases} x▽(2x-3)＜9, \\ 3x▽(-6)≤t, \end{cases}$$a=1,b=2$,$\therefore xa-(2x-3)b+5=-3x+11＜9$,$3xa-(-6)b+5=3x+17≤t$,即$\begin{cases} -3x+11＜9, \\ 3x+17≤t, \end{cases}$解得$\begin{cases} x＞\dfrac{2}{3}, \\ x≤\dfrac{t-17}{3}. \end{cases}$
$\because$ 关于$x$的不等式组$\begin{cases} x▽(2x-3)＜9, \\ 3x▽(-6)≤t \end{cases}$有且只有两个整数解,
$\therefore 2≤\dfrac{t-17}{3}＜3$,解得$23≤t＜26$,即字母$t$的取值范围是$23≤t＜26$.
(2)$\because m▽n=n▽m$,$\therefore ma-nb+5=na-mb+5$,$\therefore ma-nb-na+mb=0$,$\therefore m(a+b)-n(a+b)=0$,$\therefore (a+b)(m-n)=0$.$\because m,n$为任意数,$\therefore m-n$不一定等于0,$\therefore a+b=0$,即$a,b$应满足的关系是$a+b=0$.
②$\because \begin{cases} x▽(2x-3)＜9, \\ 3x▽(-6)≤t, \end{cases}$$a=1,b=2$,$\therefore xa-(2x-3)b+5=-3x+11＜9$,$3xa-(-6)b+5=3x+17≤t$,即$\begin{cases} -3x+11＜9, \\ 3x+17≤t, \end{cases}$解得$\begin{cases} x＞\dfrac{2}{3}, \\ x≤\dfrac{t-17}{3}. \end{cases}$
$\because$ 关于$x$的不等式组$\begin{cases} x▽(2x-3)＜9, \\ 3x▽(-6)≤t \end{cases}$有且只有两个整数解,
$\therefore 2≤\dfrac{t-17}{3}＜3$,解得$23≤t＜26$,即字母$t$的取值范围是$23≤t＜26$.
(2)$\because m▽n=n▽m$,$\therefore ma-nb+5=na-mb+5$,$\therefore ma-nb-na+mb=0$,$\therefore m(a+b)-n(a+b)=0$,$\therefore (a+b)(m-n)=0$.$\because m,n$为任意数,$\therefore m-n$不一定等于0,$\therefore a+b=0$,即$a,b$应满足的关系是$a+b=0$.
