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1.已知关于$x$的方程$(m-1)x^{|m+1|}+5x-3=0$是一元二次方程，则$m$的值是 （
A.1
B.－3
C.1或－3
D.－1或3
B
）A.1
B.－3
C.1或－3
D.－1或3
答案
1.B
2. 把关于$x$的一元二次方程$x^2 -8x +c=0$配方，得$(x+m)^2=11$，则$c+m$的值为 （
A.1
B.3
C.5
D.10
A
）A.1
B.3
C.5
D.10
答案
2.A
3.[阜阳三模]某市严格执行了义务教育阶段教师轮岗和零择校政策后，某薄弱学校2025年秋季在校人数比2023年在校人数增长了56%，已知2024年秋季在校人数增长率是$x$，2025年秋季在校人数增长率是2024年的1.5倍，根据题意，下面所列方程正确的是（
A.$x + 1.5x = 56\%$
B.$(1 + x\%)(1 + 1.5x\%) = 1 + 56\%$
C.$(1 + x)(1 + 1.5x) = 1 + 56\%$
D.$(1 - x)(1 - 1.5x) = 1 - 56\%$
C
）A.$x + 1.5x = 56\%$
B.$(1 + x\%)(1 + 1.5x\%) = 1 + 56\%$
C.$(1 + x)(1 + 1.5x) = 1 + 56\%$
D.$(1 - x)(1 - 1.5x) = 1 - 56\%$
答案
3.C
4. 现在定义一种运算，其规则为 $a*b=a^2 - b^2$，根据此规则，如果x满足 $2(x+2)*5=-1$，那么x的值为（
A.$-2+\sqrt{6}$
B.$-2+2\sqrt{6}$
C.$-2\pm\sqrt{6}$
D.$-2\pm2\sqrt{6}$
C
）A.$-2+\sqrt{6}$
B.$-2+2\sqrt{6}$
C.$-2\pm\sqrt{6}$
D.$-2\pm2\sqrt{6}$
答案
4.C
5. 新趋势学科内综合 若关于$x$的一元二次方程$mx^2 -2x -1=0$没有实数根，则一次函数$y=(m+1)x -m$的图象不经过（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
5.C
6. 若一个菱形的两条对角线的长分别是关于$x$的一元二次方程$x^2 -14x + m=0$的两个实数根，且其面积为21，则该菱形的边长为（
A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{7}$
D.$4\sqrt{14}$
C
）A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{7}$
D.$4\sqrt{14}$
答案
6.C 【点拨】设$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 -14x+m=0$的两个实数根，则菱形的两条对角线的长分别为$x_1$，$x_2$，$\therefore x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-14}{1}=14$。根据菱形的面积可得$\frac{1}{2}x_1x_2=21$，$\therefore x_1x_2=42$。$\because$菱形的对角线互相垂直平分，$\therefore$易得菱形的边长为$\sqrt{(\frac{x_1}{2})^2 + (\frac{x_2}{2})^2}=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2}{4}}=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2}{4}}=\sqrt{\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{4}}=\sqrt{\frac{14^2-2×42}{4}}=\sqrt{\frac{196-84}{4}}=\sqrt{\frac{112}{4}}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
7. 宁波模拟 新考法·数形结合法 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=m$,$BC=\frac{1}{2}n$,以点$C$为圆心,$CB$长为半径画圆弧,交$AC$于点$D$;以点$A$为圆心,$AD$长为半径画圆弧,交$AB$于点$E$,连结$BD$,则图中下列线段的长一定是关于$x$的一元二次方程$x^2 + nx = m^2$的一个根的是 (
A.$AE$
B.$BE$
C.$CD$
D.$BD$
A
)A.$AE$
B.$BE$
C.$CD$
D.$BD$
答案
7.A 【点拨】由题知$AE=AD$，$CD=BC=\frac{1}{2}n$。在直角三角形$ABC$中，$AB=m$，$BC=\frac{1}{2}n$，则$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{m^2+\frac{1}{4}n^2}$，$\therefore AE=AD=AC-CD=\sqrt{m^2+\frac{1}{4}n^2}-\frac{1}{2}n$。方程$x^2+nx=m^2$变形得$x^2+nx-m^2=0$，$\therefore x=\frac{-n\pm\sqrt{n^2+4m^2}}{2}=\pm\sqrt{\frac{n^2+4m^2}{4}}-\frac{1}{2}n=\pm\sqrt{\frac{1}{4}n^2+m^2}-\frac{1}{2}n$，$\therefore AE$的长一定是关于$x$的一元二次方程$x^2+nx=m^2$的一个根。
8. 如果关于$x$的方程$\frac{1}{2-x}-2=\frac{1-ax}{x-2}$有正数解，且关于$x$的一元二次方程$ax^2 -2\sqrt{2}x -1=0$有两个实数根，则符合条件的所有整数$a$的和是(
A.$-1$
B.$0$
C.$3$
D.$-3$
D
)A.$-1$
B.$0$
C.$3$
D.$-3$
答案
8.D 【点拨】$\because$关于$x$的一元二次方程$ax^2-2\sqrt{2}x-1=0$有两个实数根，$\therefore a≠0$且$\Delta=(-2\sqrt{2})^2-4a·(-1)\ge0$，解得$a\ge-2$且$a≠0$。$\frac{1}{2-x}-2=\frac{1-ax}{x-2}$去分母，得$-1-2(x-2)=1-ax$，$\therefore (a-2)x=-2$。$\because$关于$x$的方程$\frac{1}{2-x}-2=\frac{1-ax}{x-2}$有正数解，$\therefore -\frac{2}{a-2}＞0$且$-\frac{2}{a-2}≠2$，解得$a＜2$且$a≠1$。$\therefore a$的取值范围为$-2\le a＜2$且$a≠0,a≠1$。$\therefore$符合条件的整数$a$的值是$-2,-1$。$\therefore$符合条件的所有整数$a$的和为$(-2)+(-1)=-3$。
9. 新考法整体代入法 已知$m$是方程$x^2 + 4x - 1 = 0$的一个根，则$(m + 5)(m - 1)$的值为
-4
。答案
9.-4
10.已知$y^2 - x = 0, x^2 + 2y^2 - x - 6 = 0$，则x的值为
2
。答案
10.2
11. 新视角新定义题 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”.例如$x^2+x=0$是“差1方程”.已知关于x的方程$x^2-(m-1)x-m=0$（m是常数）是“差1方程”，则m的值为
-2或0
.答案
11.-2或0 【点拨】设方程的两个根为$x_1,x_2(x_1＜x_2)$，由题意，得$x_1+x_2=m-1$，$x_1x_2=-m$，$x_2-x_1=1$，$\therefore (x_2-x_1)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(m-1)^2+4m=1$，解得$m=-2$或$m=0$，故答案为$-2$或$0$。
12. ★★★★ 已知关于x的方程$(a-1)x^2 +2x -a -1=0$的根都是整数，那么符合条件的整数a有
5
个。答案
12.5 【点拨】$\because (a-1)x^2+2x-a-1=0$的根都是整数，$\therefore$①当$a=1$时，原方程为$2x-2=0$，解得$x=1$；②当$a≠1$时，原方程可整理为$[(a-1)x+a+1](x-1)=0$，则$x-1=0$或$(a-1)x+a+1=0$，解得$x=1$或$x=-1+\frac{2}{1-a}$，易知$x=1$是方程的整数根，要使$x=-1+\frac{2}{1-a}$为整数，则$1-a=\pm1$或$1-a=\pm2$，解得$a=0$或$a=2$或$a=-1$或$a=3$，综上，符合条件的整数$a$有1,0,2,-1,3，共5个。
三、解答题(共48分)
13.(12分)用适当的方法解方程：
(1)$x^2 + 2x -5=0$；
(2)$(x-2)^2 +x(x-2)=0$；
(3)$x^2 +5=2\sqrt{5}x$；
(4)$\frac{1-x^2}{2} + \frac{2-x}{3} = \frac{2}{3}$。
13.(12分)用适当的方法解方程：
(1)$x^2 + 2x -5=0$；
(2)$(x-2)^2 +x(x-2)=0$；
(3)$x^2 +5=2\sqrt{5}x$；
(4)$\frac{1-x^2}{2} + \frac{2-x}{3} = \frac{2}{3}$。
答案
13.【解】(1)$x^2 + 2x -5=0$，
变形，得$x^2+2x+1=6$，即$(x+1)^2=6$，
$\therefore x+1=\pm\sqrt{6}$，解得$x_1=-1+\sqrt{6},x_2=-1-\sqrt{6}$。
(2)$(x-2)^2 +x(x-2)=0$，
因式分解，得$(x-2)(x-2+x)=0$，
即$(x-2)(2x-2)=0$，
$\therefore x-2=0$或$2x-2=0$，解得$x_1=2,x_2=1$。
(3)原方程整理为$x^2 -2\sqrt{5}x +5=0$，
$\therefore (x-\sqrt{5})^2=0$，
$\therefore x_1=x_2=\sqrt{5}$。
(4)原方程可化为$3x^2+2x-3=0$。
$\because a=3,b=2,c=-3$，
$\therefore \Delta=b^2-4ac=2^2-4×3×(-3)=40＞0$。
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2\pm\sqrt{40}}{2×3}=\frac{-1\pm\sqrt{10}}{3}$，
$\therefore x_1=\frac{-1+\sqrt{10}}{3},x_2=\frac{-1-\sqrt{10}}{3}$。
变形，得$x^2+2x+1=6$，即$(x+1)^2=6$，
$\therefore x+1=\pm\sqrt{6}$，解得$x_1=-1+\sqrt{6},x_2=-1-\sqrt{6}$。
(2)$(x-2)^2 +x(x-2)=0$，
因式分解，得$(x-2)(x-2+x)=0$，
即$(x-2)(2x-2)=0$，
$\therefore x-2=0$或$2x-2=0$，解得$x_1=2,x_2=1$。
(3)原方程整理为$x^2 -2\sqrt{5}x +5=0$，
$\therefore (x-\sqrt{5})^2=0$，
$\therefore x_1=x_2=\sqrt{5}$。
(4)原方程可化为$3x^2+2x-3=0$。
$\because a=3,b=2,c=-3$，
$\therefore \Delta=b^2-4ac=2^2-4×3×(-3)=40＞0$。
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2\pm\sqrt{40}}{2×3}=\frac{-1\pm\sqrt{10}}{3}$，
$\therefore x_1=\frac{-1+\sqrt{10}}{3},x_2=\frac{-1-\sqrt{10}}{3}$。
