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11.已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k-3)x+k^2-1=0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若$x_1,x_2$满足$x_1^2+x_2^2=1-x_1x_2$,求实数$k$的值.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若$x_1,x_2$满足$x_1^2+x_2^2=1-x_1x_2$,求实数$k$的值.
答案
【解】(1)由题意得 $\Delta≥0$，$\therefore (2k-3)^2 -4(k^2 -1)≥0$，解得 $k≤\dfrac{13}{12}$.
(2)$\because x_1^2 + x_2^2 = 1 - x_1 x_2$，$\therefore (x_1 + x_2)^2 - x_1 x_2 = 1$.
由根与系数的关系，得 $x_1 + x_2 = -(2k-3)$，$x_1 x_2 = k^2 - 1$，
$\therefore [-(2k-3)]^2 -(k^2 -1) = 1$，
解得 $k_1 = 1$，$k_2 = 3$.
由(1)知 $k≤\dfrac{13}{12}$，$\therefore k=1$.
(2)$\because x_1^2 + x_2^2 = 1 - x_1 x_2$，$\therefore (x_1 + x_2)^2 - x_1 x_2 = 1$.
由根与系数的关系，得 $x_1 + x_2 = -(2k-3)$，$x_1 x_2 = k^2 - 1$，
$\therefore [-(2k-3)]^2 -(k^2 -1) = 1$，
解得 $k_1 = 1$，$k_2 = 3$.
由(1)知 $k≤\dfrac{13}{12}$，$\therefore k=1$.
12.[泉州期末]已知方程$x^2+bx+c=0$（$x$为实数），请解答下列各题：
(1)若$b-c=1$，求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程有两个不相等的实数根，分别为$x_1,x_2$，$c=2$，求证：$x_1^2+x_2^2＞4$。
(1)若$b-c=1$，求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程有两个不相等的实数根，分别为$x_1,x_2$，$c=2$，求证：$x_1^2+x_2^2＞4$。
答案
【证明】(1)$\because b-c=1$，$\therefore c=b-1$，
$\therefore \Delta = b^2 -4c = b^2 -4b +4 = (b-2)^2≥0$，
$\therefore$ 此方程总有两个实数根.
(2)$\because$ 方程有两个不相等的实数根，分别为 $x_1,x_2$，$c=2$，
$\therefore x_1 + x_2 = -b$，$x_1 x_2 = 2$，$\Delta = b^2 -8＞0$.
$\therefore x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 -2x_1 x_2 = b^2 -4 = b^2 -8 +4＞0 +4=4$.
$\therefore \Delta = b^2 -4c = b^2 -4b +4 = (b-2)^2≥0$，
$\therefore$ 此方程总有两个实数根.
(2)$\because$ 方程有两个不相等的实数根，分别为 $x_1,x_2$，$c=2$，
$\therefore x_1 + x_2 = -b$，$x_1 x_2 = 2$，$\Delta = b^2 -8＞0$.
$\therefore x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 -2x_1 x_2 = b^2 -4 = b^2 -8 +4＞0 +4=4$.
13. 南京建邺区期中 新考法·分类讨论法 关于$x$的方程$(n-1)x^2 + 2nx + n + 3 = 0$。
(1)方程有实数根，求$n$的取值范围。
(2)是否存在$n$的值使得方程有两个根$x_1,x_2$且满足$(x_1 - 1)(x_2 - 1)=10$？若存在，请求出$n$的值；若不存在，请说明理由。
(1)方程有实数根，求$n$的取值范围。
(2)是否存在$n$的值使得方程有两个根$x_1,x_2$且满足$(x_1 - 1)(x_2 - 1)=10$？若存在，请求出$n$的值；若不存在，请说明理由。
答案
【解】(1)当 $n=1$ 时，方程为 $2x+4=0$，有实数根；
当 $n≠1$ 时，$\Delta=(2n)^2 -4(n-1)(n+3)=-8n+12≥0$，解得 $n≤\dfrac{3}{2}$.
综上，$n$ 的取值范围为 $n≤\dfrac{3}{2}$.
(2)不存在.理由如下：
由(1)可知，当 $n≤\dfrac{3}{2}$ 且 $n≠1$ 时，方程为一元二次方程且有实数根.
由根与系数的关系可得 $x_1 + x_2 = -\dfrac{2n}{n-1}$，$x_1 x_2 = \dfrac{n+3}{n-1}$.
$\because (x_1 -1)(x_2 -1) = x_1 x_2 -(x_1 + x_2)+1=10$，
$\therefore \dfrac{n+3}{n-1} + \dfrac{2n}{n-1} +1=10$，解得 $n=2$，不符合条件.
$\therefore$ 不存在 $n$ 的值使得方程有两个根 $x_1,x_2$ 且满足 $(x_1 -1)(x_2 -1)=10$.
点规律 解答涉及一元二次方程字母系数值的存在性问题，一般先假设存在，根据根与系数的关系列出关于字母系数的方程，求出字母系数的值，再看它是否满足根的判别式大于或等于 0，最后确定字母系数值的存在性.
当 $n≠1$ 时，$\Delta=(2n)^2 -4(n-1)(n+3)=-8n+12≥0$，解得 $n≤\dfrac{3}{2}$.
综上，$n$ 的取值范围为 $n≤\dfrac{3}{2}$.
(2)不存在.理由如下：
由(1)可知，当 $n≤\dfrac{3}{2}$ 且 $n≠1$ 时，方程为一元二次方程且有实数根.
由根与系数的关系可得 $x_1 + x_2 = -\dfrac{2n}{n-1}$，$x_1 x_2 = \dfrac{n+3}{n-1}$.
$\because (x_1 -1)(x_2 -1) = x_1 x_2 -(x_1 + x_2)+1=10$，
$\therefore \dfrac{n+3}{n-1} + \dfrac{2n}{n-1} +1=10$，解得 $n=2$，不符合条件.
$\therefore$ 不存在 $n$ 的值使得方程有两个根 $x_1,x_2$ 且满足 $(x_1 -1)(x_2 -1)=10$.
点规律 解答涉及一元二次方程字母系数值的存在性问题，一般先假设存在，根据根与系数的关系列出关于字母系数的方程，求出字母系数的值，再看它是否满足根的判别式大于或等于 0，最后确定字母系数值的存在性.
14. 衡阳期末 新视角 存在性探究题 已知平行四边形ABCD的两边长AB,AD是关于x的一元二次方程$x^2 - (k - 3)x + k - 4 = 0$的两个实数根.
(1)若AB的长为2,则k的值为
(2)当k为
(3)是否存在k,使得平行四边形ABCD为对角线长为$\sqrt{26}$的矩形?若存在,请求出k的值以及矩形面积;若不存在,请说明理由.
(1)若AB的长为2,则k的值为
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.(2)当k为
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时,平行四边形ABCD为菱形.(3)是否存在k,使得平行四边形ABCD为对角线长为$\sqrt{26}$的矩形?若存在,请求出k的值以及矩形面积;若不存在,请说明理由.
答案
【解】(1)6
(2)5 【点拨】$\because$ 菱形的邻边相等，$\therefore AB=AD$，即方程有两个相等的实数根，$\therefore \Delta=[-(k-3)]^2 -4(k-4)=0$，即 $k^2 -10k +25=0$，$\therefore (k-5)^2=0$，$\therefore k=5$.
(3)存在.
设 $AB=x_1$，$AD=x_2$，则 $x_1＞0$，$x_2＞0$.
由根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = k-3$，$x_1 x_2 = k-4$.
若平行四边形ABCD为对角线长为 $\sqrt{26}$ 的矩形，则有 $AB^2 + AD^2 = (\sqrt{26})^2$，即 $x_1^2 + x_2^2 = 26$，
$\therefore (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 26$.
$\therefore (k-3)^2 - 2(k-4) = 26$.
整理得 $k^2 -8k -9=0$，
解得 $k=-1$ 或 $k=9$.
当 $k=-1$ 时，$x_1 x_2 = -5＜0$，不符合题意，舍去，
$\therefore k=9$.
$\therefore$ 矩形的面积为 $AB× AD = x_1 x_2 = k-4 = 9-4 = 5$.
(2)5 【点拨】$\because$ 菱形的邻边相等，$\therefore AB=AD$，即方程有两个相等的实数根，$\therefore \Delta=[-(k-3)]^2 -4(k-4)=0$，即 $k^2 -10k +25=0$，$\therefore (k-5)^2=0$，$\therefore k=5$.
(3)存在.
设 $AB=x_1$，$AD=x_2$，则 $x_1＞0$，$x_2＞0$.
由根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = k-3$，$x_1 x_2 = k-4$.
若平行四边形ABCD为对角线长为 $\sqrt{26}$ 的矩形，则有 $AB^2 + AD^2 = (\sqrt{26})^2$，即 $x_1^2 + x_2^2 = 26$，
$\therefore (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 26$.
$\therefore (k-3)^2 - 2(k-4) = 26$.
整理得 $k^2 -8k -9=0$，
解得 $k=-1$ 或 $k=9$.
当 $k=-1$ 时，$x_1 x_2 = -5＜0$，不符合题意，舍去，
$\therefore k=9$.
$\therefore$ 矩形的面积为 $AB× AD = x_1 x_2 = k-4 = 9-4 = 5$.
