登录
14.(12分)已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 5 = 0$的两个实数根.
(1)若$x_1,x_2$恰好是矩形的两邻边长，且$m=3$，求该矩形的周长和面积；
(2)若等腰三角形$ABC$的一边长为7，且$x_1,x_2$恰好是$△ ABC$另外两边的长，求这个三角形的周长.
(1)若$x_1,x_2$恰好是矩形的两邻边长，且$m=3$，求该矩形的周长和面积；
(2)若等腰三角形$ABC$的一边长为7，且$x_1,x_2$恰好是$△ ABC$另外两边的长，求这个三角形的周长.
答案
14.【解】(1)$\because m=3$，$\therefore$原方程可化为$x^2-8x+14=0$，
$\therefore x_1+x_2=8,x_1x_2=14$。
$\therefore$该矩形的周长$=2(x_1+x_2)=16$，面积$=x_1x_2=14$。
(2)①当7为底边长时，方程的两根为腰长，由题意知$\Delta=0$，解得$m=2$，代入原方程可解得$x_1=x_2=3$。
$\because 3+3＜7$，$\therefore$不能构成三角形，故舍去；
②当7为腰长时，$x=7$是方程的一个根，把$x=7$代入方程，得$49-14(m+1)+m^2+5=0$，整理得$m^2-14m+40=0$，解得$m_1=10,m_2=4$。
当$m=10$时，$x_1+x_2=2m+2=22$，
$\therefore$另一个根为15，而$7+7＜15$，不能构成三角形，故舍去；
当$m=4$时，$x_1+x_2=2m+2=10$，$\therefore$另一个根为3，
易知能构成三角形，则三角形的周长为$3+7+7=17$。
综上，这个三角形的周长为17。
$\therefore x_1+x_2=8,x_1x_2=14$。
$\therefore$该矩形的周长$=2(x_1+x_2)=16$，面积$=x_1x_2=14$。
(2)①当7为底边长时，方程的两根为腰长，由题意知$\Delta=0$，解得$m=2$，代入原方程可解得$x_1=x_2=3$。
$\because 3+3＜7$，$\therefore$不能构成三角形，故舍去；
②当7为腰长时，$x=7$是方程的一个根，把$x=7$代入方程，得$49-14(m+1)+m^2+5=0$，整理得$m^2-14m+40=0$，解得$m_1=10,m_2=4$。
当$m=10$时，$x_1+x_2=2m+2=22$，
$\therefore$另一个根为15，而$7+7＜15$，不能构成三角形，故舍去；
当$m=4$时，$x_1+x_2=2m+2=10$，$\therefore$另一个根为3，
易知能构成三角形，则三角形的周长为$3+7+7=17$。
综上，这个三角形的周长为17。
15.(12分) 已知关于x的一元二次方程$x^2 +4x+a=1$.
(1)当$a=5$时,试判断此方程根的情况;
(2)若$x_1,x_2$是该方程不相等的两个实数根,且$(x_1^2 +4x_1 -2)(x_2^2 +4x_2 +2)=45$,求a的值;
(3)若a为正整数,并且该方程的两个不相等的实数根都为整数,求a的值.
(1)当$a=5$时,试判断此方程根的情况;
(2)若$x_1,x_2$是该方程不相等的两个实数根,且$(x_1^2 +4x_1 -2)(x_2^2 +4x_2 +2)=45$,求a的值;
(3)若a为正整数,并且该方程的两个不相等的实数根都为整数,求a的值.
答案
15.【解】(1)当$a=5$时，$x^2+4x+5=1$，即$x^2+4x+4=0$，$\therefore \Delta=4^2-4×4=0$。$\therefore$此方程有两个相等的实数根。
(2)$\because x_1,x_2$是方程$x^2+4x+a=1$不相等的两个实数根，
$\therefore x_1^2+4x_1+a=1$，$x_2^2+4x_2+a=1$。
$\therefore x_1^2+4x_1-2=-a-1$，$x_2^2+4x_2+2=-a+3$。
又$\because (x_1^2+4x_1-2)(x_2^2+4x_2+2)=45$，
$\therefore (-a-1)(-a+3)=45$。
$\therefore a^2-2a-3=45$，即$a^2-2a-48=0$。
$\therefore (a-8)(a+6)=0$，解得$a=8$或$a=-6$。
当$a=8$时，$x^2+4x+8=1$，即$x^2+4x+7=0$，$\Delta=16-28=-12＜0$，$\therefore$方程无实数根。
$\therefore a=8$舍去。
当$a=-6$时，$x^2+4x-6=1$，即$x^2+4x-7=0$，$\Delta=16+28=44＞0$，$\therefore a=-6$符合题意。
$\therefore a$的值为$-6$。
(3)$\because x^2+4x+a=1$，$\therefore x^2+4x+a-1=0$。
$\therefore x=\frac{-4\pm\sqrt{16-4a+4}}{2}=-2\pm\sqrt{5-a}$。
又$\because$方程的两个不相等的实数根都为整数，
$\therefore \sqrt{5-a}$为正整数。
又$\because a$为正整数，$\therefore 5-a=4$或$5-a=1$。
$\therefore a=1$或$a=4$，即$a$的值为1或4。
(2)$\because x_1,x_2$是方程$x^2+4x+a=1$不相等的两个实数根，
$\therefore x_1^2+4x_1+a=1$，$x_2^2+4x_2+a=1$。
$\therefore x_1^2+4x_1-2=-a-1$，$x_2^2+4x_2+2=-a+3$。
又$\because (x_1^2+4x_1-2)(x_2^2+4x_2+2)=45$，
$\therefore (-a-1)(-a+3)=45$。
$\therefore a^2-2a-3=45$，即$a^2-2a-48=0$。
$\therefore (a-8)(a+6)=0$，解得$a=8$或$a=-6$。
当$a=8$时，$x^2+4x+8=1$，即$x^2+4x+7=0$，$\Delta=16-28=-12＜0$，$\therefore$方程无实数根。
$\therefore a=8$舍去。
当$a=-6$时，$x^2+4x-6=1$，即$x^2+4x-7=0$，$\Delta=16+28=44＞0$，$\therefore a=-6$符合题意。
$\therefore a$的值为$-6$。
(3)$\because x^2+4x+a=1$，$\therefore x^2+4x+a-1=0$。
$\therefore x=\frac{-4\pm\sqrt{16-4a+4}}{2}=-2\pm\sqrt{5-a}$。
又$\because$方程的两个不相等的实数根都为整数，
$\therefore \sqrt{5-a}$为正整数。
又$\because a$为正整数，$\therefore 5-a=4$或$5-a=1$。
$\therefore a=1$或$a=4$，即$a$的值为1或4。
16.（12分） 新考法分类讨论法 已知关于$x$的方程$(m^2 -1)x^2 -3(3m -1)x +18=0$有两个正整数根($m$是整数). $△ ABC$的三边$a,b,c$满足$c=2\sqrt{3},m^2 +a^2m -8a=0,m^2 +b^2m -8b=0$.
(1)求$m$的值；
(2)求$△ ABC$的面积(结果可保留根号).
(1)求$m$的值；
(2)求$△ ABC$的面积(结果可保留根号).
答案
16.【解】(1)$\because$关于$x$的方程有两个正整数根，
$\therefore m^2-1≠0$。
解方程$(m^2-1)x^2-3(3m-1)x+18=0$，
得$x_1=\frac{6}{m+1},x_2=\frac{3}{m-1}$。
$\therefore m+1=1$或2或3或6，$m-1=1$或3，$\therefore m=2$。
(2)将$m=2$代入$m^2+a^2m-8a=0$和$m^2+b^2m-8b=0$，化简得$a^2-4a+2=0$，$b^2-4b+2=0$。
易得当$a=b$时，$a=b=2\pm\sqrt{2}$；
当$a≠ b$时，$a,b$是方程$x^2-4x+2=0$的两根，
$\therefore a+b=4,ab=2$。
①当$a≠ b,c=2\sqrt{3}$时，
$\because a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2×2=12=c^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ C=90°$，$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=1$。
②当$a=b=2-\sqrt{2},c=2\sqrt{3}$时，
$\because a+b=2(2-\sqrt{2})＜2\sqrt{3}=c$，
$\therefore$不能构成三角形，不合题意，舍去。
③当$a=b=2+\sqrt{2},c=2\sqrt{3}$时，
$\because a+b=2(2+\sqrt{2})＞2\sqrt{3}=c$，
$\therefore$能构成三角形，符合题意。
$\therefore$易得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{(2+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+12\sqrt{2}}$。
综上，$△ ABC$的面积为1或$\sqrt{9+12\sqrt{2}}$。
$\therefore m^2-1≠0$。
解方程$(m^2-1)x^2-3(3m-1)x+18=0$，
得$x_1=\frac{6}{m+1},x_2=\frac{3}{m-1}$。
$\therefore m+1=1$或2或3或6，$m-1=1$或3，$\therefore m=2$。
(2)将$m=2$代入$m^2+a^2m-8a=0$和$m^2+b^2m-8b=0$，化简得$a^2-4a+2=0$，$b^2-4b+2=0$。
易得当$a=b$时，$a=b=2\pm\sqrt{2}$；
当$a≠ b$时，$a,b$是方程$x^2-4x+2=0$的两根，
$\therefore a+b=4,ab=2$。
①当$a≠ b,c=2\sqrt{3}$时，
$\because a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2×2=12=c^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ C=90°$，$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=1$。
②当$a=b=2-\sqrt{2},c=2\sqrt{3}$时，
$\because a+b=2(2-\sqrt{2})＜2\sqrt{3}=c$，
$\therefore$不能构成三角形，不合题意，舍去。
③当$a=b=2+\sqrt{2},c=2\sqrt{3}$时，
$\because a+b=2(2+\sqrt{2})＞2\sqrt{3}=c$，
$\therefore$能构成三角形，符合题意。
$\therefore$易得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{(2+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+12\sqrt{2}}$。
综上，$△ ABC$的面积为1或$\sqrt{9+12\sqrt{2}}$。
