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1.如图,已知四边形ABCD内接于圆,若$∠ B=110°$,则$∠ D=$
$70°$
.答案
$70°$
解析
【分析】
首先判断四边形ABCD是圆内接四边形，解题需用到圆内接四边形的核心性质：对角互补。已知对角∠B的度数，只需用180°减去∠B的度数，即可求出∠D的数值。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于圆，根据圆内接四边形对角互补的性质，
∴ ∠B + ∠D = 180°，
又
∵ ∠B = 110°，
∴ ∠D = 180° - 110° = 70°。
【答案】
$70°$
【知识点】
圆内接四边形性质、补角计算
【点评】
本题是基础概念应用题，考察对圆内接四边形性质的掌握程度，牢记相关性质即可快速解题，得分难度低。
【难度系数】
0.9
首先判断四边形ABCD是圆内接四边形，解题需用到圆内接四边形的核心性质：对角互补。已知对角∠B的度数，只需用180°减去∠B的度数，即可求出∠D的数值。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于圆，根据圆内接四边形对角互补的性质，
∴ ∠B + ∠D = 180°，
又
∵ ∠B = 110°，
∴ ∠D = 180° - 110° = 70°。
【答案】
$70°$
【知识点】
圆内接四边形性质、补角计算
【点评】
本题是基础概念应用题，考察对圆内接四边形性质的掌握程度，牢记相关性质即可快速解题，得分难度低。
【难度系数】
0.9
2.如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，连接OA，OC，若$∠ AOC＝86°$，则$∠ ABC＝$
$137°$
.答案
$137°$
解析
【分析】
解题时先回忆圆周角定理和圆内接四边形的性质：首先，已知圆心角∠AOC的度数，可先求出它所对的劣弧AC对应的圆周角∠ADC的度数；再利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠ABC的度数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
∠AOC是劣弧AC对应的圆心角，劣弧AC对应的圆周角为∠ADC，因此：
$∠ ADC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×86°=43°$
又因为四边形ABCD内接于$\odot O$，圆内接四边形的对角互补，即$∠ ABC+∠ ADC=180°$，代入∠ADC的度数得：
$∠ ABC=180°-43°=137°$
【答案】
$137°$
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的性质基础应用题，解题核心是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的对角互补性质，理清圆心角与圆周角的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆圆周角定理和圆内接四边形的性质：首先，已知圆心角∠AOC的度数，可先求出它所对的劣弧AC对应的圆周角∠ADC的度数；再利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠ABC的度数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
∠AOC是劣弧AC对应的圆心角，劣弧AC对应的圆周角为∠ADC，因此：
$∠ ADC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×86°=43°$
又因为四边形ABCD内接于$\odot O$，圆内接四边形的对角互补，即$∠ ABC+∠ ADC=180°$，代入∠ADC的度数得：
$∠ ABC=180°-43°=137°$
【答案】
$137°$
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的性质基础应用题，解题核心是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的对角互补性质，理清圆心角与圆周角的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4.如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，AB为直径，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，$∠ A＝50°$，则$∠ B＝$
$140°$
.答案
$140°$
5.如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,点E在BC的延长线上,若$∠ BCD:∠ DCE=3:2$,则$∠ BOD=$
$144°$
.答案
$144°$
解析
【分析】
解题时首先观察到∠BCD与∠DCE为邻补角，和为180°，结合二者的比例可先求出两个角的度数；再利用圆内接四边形的性质，得到弧BD对应的圆周角∠BAD的度数；最后根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
1. 求∠BCD和∠DCE的度数：
∵ ∠BCD与∠DCE是邻补角，
∴ $∠ BCD + ∠ DCE = 180°$，
又
∵ $∠ BCD:∠ DCE=3:2$，
设每份角度为$x$，则$3x+2x=180°$，解得$x=36°$，
∴ $∠ BCD=3×36°=108°$，$∠ DCE=2×36°=72°$。
2. 求圆周角$∠ BAD$的度数：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，圆内接四边形的对角互补，
∴ $∠ BAD + ∠ BCD=180°$，
∴ $∠ BAD=180° - 108°=72°$。
3. 求圆心角$∠ BOD$的度数：
∵ $∠ BAD$是弧$BD$所对的圆周角，$∠ BOD$是弧$BD$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴ $∠ BOD=2∠ BAD=2×72°=144°$。
【答案】
$144°$
【知识点】
邻补角的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理
【点评】
本题是圆性质的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握圆相关的基础性质，结合角度比例关系即可快速求解，是圆章节的常规考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到∠BCD与∠DCE为邻补角，和为180°，结合二者的比例可先求出两个角的度数；再利用圆内接四边形的性质，得到弧BD对应的圆周角∠BAD的度数；最后根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
1. 求∠BCD和∠DCE的度数：
∵ ∠BCD与∠DCE是邻补角，
∴ $∠ BCD + ∠ DCE = 180°$，
又
∵ $∠ BCD:∠ DCE=3:2$，
设每份角度为$x$，则$3x+2x=180°$，解得$x=36°$，
∴ $∠ BCD=3×36°=108°$，$∠ DCE=2×36°=72°$。
2. 求圆周角$∠ BAD$的度数：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，圆内接四边形的对角互补，
∴ $∠ BAD + ∠ BCD=180°$，
∴ $∠ BAD=180° - 108°=72°$。
3. 求圆心角$∠ BOD$的度数：
∵ $∠ BAD$是弧$BD$所对的圆周角，$∠ BOD$是弧$BD$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴ $∠ BOD=2∠ BAD=2×72°=144°$。
【答案】
$144°$
【知识点】
邻补角的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理
【点评】
本题是圆性质的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握圆相关的基础性质，结合角度比例关系即可快速求解，是圆章节的常规考题。
【难度系数】
0.7
6.如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，$∠ BCD=120°$，$\odot O$的半径为6，则BD的长为
$6\sqrt{3}$
。答案
$6\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先利用圆内接四边形的性质，由已知的∠BCD求出其对角∠BAD的度数；再根据圆周角定理，得到弧BD所对的圆心角∠BOD的度数；最后在由两条半径和BD构成的等腰三角形中，结合垂径定理和勾股定理计算BD的长度即可。
【解析】
1. 解：连接OB、OD，过点O作OE⊥BD于点E。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°（圆内接四边形对角互补），
已知∠BCD=120°，则∠BAD=180°-120°=60°。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧BD对应的圆周角为∠BAD，
∴ 圆心角∠BOD=2∠BAD=2×60°=120°。
3.
∵ OB=OD=6（⊙O的半径），OE⊥BD，
∴ 由垂径定理得E为BD中点，即BD=2BE，且△BOD为等腰三角形，
∴ ∠OBE=(180°-120°)÷2=30°。
在Rt△OBE中，∠OBE=30°，则OE=½OB=3，
由勾股定理得：$BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，
∴ $BD=2BE=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理
【点评】
本题属于圆的性质的基础综合题，解题的关键是通过圆内接四边形和圆周角定理转化角度，再结合等腰三角形、勾股定理求解弦长，是圆相关计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先利用圆内接四边形的性质，由已知的∠BCD求出其对角∠BAD的度数；再根据圆周角定理，得到弧BD所对的圆心角∠BOD的度数；最后在由两条半径和BD构成的等腰三角形中，结合垂径定理和勾股定理计算BD的长度即可。
【解析】
1. 解：连接OB、OD，过点O作OE⊥BD于点E。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°（圆内接四边形对角互补），
已知∠BCD=120°，则∠BAD=180°-120°=60°。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧BD对应的圆周角为∠BAD，
∴ 圆心角∠BOD=2∠BAD=2×60°=120°。
3.
∵ OB=OD=6（⊙O的半径），OE⊥BD，
∴ 由垂径定理得E为BD中点，即BD=2BE，且△BOD为等腰三角形，
∴ ∠OBE=(180°-120°)÷2=30°。
在Rt△OBE中，∠OBE=30°，则OE=½OB=3，
由勾股定理得：$BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，
∴ $BD=2BE=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理
【点评】
本题属于圆的性质的基础综合题，解题的关键是通过圆内接四边形和圆周角定理转化角度，再结合等腰三角形、勾股定理求解弦长，是圆相关计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
7.如图,四边形 APBC 内接于$\odot O$,AP 的延长线和 CB 的延长线相交于点 F,AD 为$\odot O$的直径,$AD⊥BC$于点 E.
(1)连接 AB,求证:$AB=AC$.
(2)连接 CP,求证:$∠FPB=∠APC$.
(1)连接 AB,求证:$AB=AC$.
(2)连接 CP,求证:$∠FPB=∠APC$.
答案
(1)证明:$\because AD$ 为 $\odot O$ 的直径,$AD ⊥ BC,\therefore AD$ 垂直平分 $BC,\therefore AB=AC$.
(2)由(1)得 $AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ ACB$,
$\because \odot O$ 为四边形 $APBC$ 的外接圆,$\therefore ∠ APB+∠ ACB=180°$,
$\because ∠ APB+∠ FPB=180°,\therefore ∠ ACB=∠ FPB$,
$\because ∠ ABC=∠ APC,∠ ABC=∠ ACB,\therefore ∠ FPB=∠ APC$.
(2)由(1)得 $AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ ACB$,
$\because \odot O$ 为四边形 $APBC$ 的外接圆,$\therefore ∠ APB+∠ ACB=180°$,
$\because ∠ APB+∠ FPB=180°,\therefore ∠ ACB=∠ FPB$,
$\because ∠ ABC=∠ APC,∠ ABC=∠ ACB,\therefore ∠ FPB=∠ APC$.
解析
【分析】
(1)要证AB=AC，可通过证明AD是BC的垂直平分线推导：已知AD为⊙O的直径且AD⊥BC，根据垂径定理可知AD平分弦BC，因此AD是BC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，即可得到AB=AC。
(2)要证∠FPB=∠APC，可通过角的等量代换推导：首先由(1)中AB=AC可得等腰△ABC的底角∠ABC=∠ACB；再利用圆内接四边形的对角互补，结合∠FPB是∠APB的邻补角，可推出∠FPB=∠ACB；最后根据同弧所对的圆周角相等，可得∠APC=∠ABC，经过等量代换即可证明∠FPB=∠APC。
【解析】
(1)
∵AD是⊙O的直径，且AD⊥BC，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得AD垂直平分BC，
∵点A在BC的垂直平分线AD上，
∴AB=AC。
(2)由(1)可知AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵四边形APBC内接于⊙O，根据圆内接四边形的对角互补，得∠APB+∠ACB=180°，
又
∵∠FPB+∠APB=180°（邻补角的和为180°），
∴∠FPB=∠ACB，
∵∠APC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，得∠APC=∠ABC，
结合∠ABC=∠ACB，∠FPB=∠ACB，可得∠FPB=∠APC。
【答案】
(1)证明:$\because AD$ 为 $\odot O$ 的直径,$AD ⊥ BC,\therefore AD$ 垂直平分 $BC,\therefore AB=AC$.
(2)由(1)得 $AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ ACB$,
$\because \odot O$ 为四边形 $APBC$ 的外接圆,$\therefore ∠ APB+∠ ACB=180°$,
$\because ∠ APB+∠ FPB=180°,\therefore ∠ ACB=∠ FPB$,
$\because ∠ ABC=∠ APC,∠ ABC=∠ ACB,\therefore ∠ FPB=∠ APC$.
【知识点】
垂径定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础证明题，主要考察圆的相关性质的综合应用，解题时需要结合等腰三角形的性质，通过角的等量代换完成证明，能帮助学生巩固圆的核心性质，锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8
(1)要证AB=AC，可通过证明AD是BC的垂直平分线推导：已知AD为⊙O的直径且AD⊥BC，根据垂径定理可知AD平分弦BC，因此AD是BC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，即可得到AB=AC。
(2)要证∠FPB=∠APC，可通过角的等量代换推导：首先由(1)中AB=AC可得等腰△ABC的底角∠ABC=∠ACB；再利用圆内接四边形的对角互补，结合∠FPB是∠APB的邻补角，可推出∠FPB=∠ACB；最后根据同弧所对的圆周角相等，可得∠APC=∠ABC，经过等量代换即可证明∠FPB=∠APC。
【解析】
(1)
∵AD是⊙O的直径，且AD⊥BC，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得AD垂直平分BC，
∵点A在BC的垂直平分线AD上，
∴AB=AC。
(2)由(1)可知AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵四边形APBC内接于⊙O，根据圆内接四边形的对角互补，得∠APB+∠ACB=180°，
又
∵∠FPB+∠APB=180°（邻补角的和为180°），
∴∠FPB=∠ACB，
∵∠APC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，得∠APC=∠ABC，
结合∠ABC=∠ACB，∠FPB=∠ACB，可得∠FPB=∠APC。
【答案】
(1)证明:$\because AD$ 为 $\odot O$ 的直径,$AD ⊥ BC,\therefore AD$ 垂直平分 $BC,\therefore AB=AC$.
(2)由(1)得 $AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ ACB$,
$\because \odot O$ 为四边形 $APBC$ 的外接圆,$\therefore ∠ APB+∠ ACB=180°$,
$\because ∠ APB+∠ FPB=180°,\therefore ∠ ACB=∠ FPB$,
$\because ∠ ABC=∠ APC,∠ ABC=∠ ACB,\therefore ∠ FPB=∠ APC$.
【知识点】
垂径定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础证明题，主要考察圆的相关性质的综合应用，解题时需要结合等腰三角形的性质，通过角的等量代换完成证明，能帮助学生巩固圆的核心性质，锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8
