1.如图,已知四边形ABCD内接于圆,若$∠ B=110°$,则$∠ D=$.

$70°$

【分析】
首先明确题目给出的是圆内接四边形，解题时先回忆圆内接四边形的核心性质：圆内接四边形的对角互补，即对角之和为180°。已知∠B的度数，∠D与∠B是四边形的一组对角，因此直接用180°减去∠B的度数就能得到∠D的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于圆，
∴根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ D + ∠ B = 180°$，
又
∵$∠ B=110°$，
∴$∠ D = 180° - 110° = 70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
圆内接四边形的性质、角度计算
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对圆内接四边形性质的掌握，牢记相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2.如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，连接OA，OC，若$∠ AOC＝86°$，则$∠ ABC＝$.

$137°$

【分析】
解题时首先观察已知条件，已知圆心角∠AOC的度数，先结合圆周角定理求出同弧所对的圆周角∠ADC的度数，再利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠ABC的度数。
【解析】
解：根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
弧AC所对的圆心角为∠AOC=86°，所对的圆周角为∠ADC，
∴$∠ ADC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}×86° = 43°$，
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ ABC + ∠ ADC = 180°$（圆内接四边形对角互补），
∴$∠ ABC = 180° - 43° = 137°$。
【答案】
$137°$
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质，两步即可求出结果，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.75

4.如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，AB为直径，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，$∠ A＝50°$，则$∠ B＝$.

$140°$

5.如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,点E在BC的延长线上,若$∠ BCD:∠ DCE=3:2$,则$∠ BOD=$.

$144°$

【分析】
解题时首先观察已知角的位置关系，∠BCD与∠DCE是邻补角，和为180°，结合两者的比例可先求出∠DCE的度数；再根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，得到圆周角∠A的度数；最后根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵∠BCD与∠DCE为邻补角，
∴$∠ BCD + ∠ DCE = 180°$，
又
∵$∠ BCD:∠ DCE=3:2$，
∴设$∠ BCD=3x$，$∠ DCE=2x$，
则$3x + 2x = 180°$，解得$x=36°$，
∴$∠ DCE=2×36°=72°$，
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ A = ∠ DCE = 72°$（圆内接四边形的外角等于内对角），
∵$∠ BOD$和$∠ A$都对应弧$BD$，
∴$∠ BOD = 2∠ A = 2×72° = 144°$。
【答案】
$144°$
【知识点】
邻补角的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，结合邻补角的比例关系逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.7

6.如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，$∠ BCD=120°$，$\odot O$的半径为6，则BD的长为。

$6\sqrt{3}$

【分析】
要计算弦BD的长，已知圆的半径，我们只需要求出弦BD所对的圆心角，再结合垂径定理和三角函数即可求解。解题思路如下：1. 利用圆内接四边形对角互补的性质，求出∠BAD的度数；2. 根据圆周角定理，得到弧BD对应的圆心角∠BOD的度数；3. 过圆心作BD的垂线，利用垂径定理将BD转化为直角三角形的边，通过三角函数计算长度。
【解析】
解：连接OB、OD，过点O作OE⊥BD于点E。
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ BAD + ∠ BCD = 180°$（圆内接四边形对角互补），
又
∵ $∠ BCD=120°$，
∴ $∠ BAD=180°-120°=60°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ $∠ BOD=2∠ BAD=2×60°=120°$。
∵ $OE⊥ BD$，$OB=OD=6$（$\odot O$的半径为6），
∴ $BE=DE=\frac{1}{2}BD$（垂径定理），$∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOD=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ OBE$中，
$BE = OB·\sin∠ BOE = 6×\sin60° = 6×\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$，
∴ $BD=2BE=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；垂径定理
【点评】
本题属于圆的性质的基础综合题，核心是将弦长求解问题转化为解直角三角形问题，解题的关键是通过圆的相关性质求出弦所对的圆心角，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

7.如图,四边形 APBC 内接于$\odot O$,AP 的延长线和 CB 的延长线相交于点 F,AD 为$\odot O$的直径,$AD⊥BC$于点 E.
(1)连接 AB,求证:$AB=AC$.
(2)连接 CP,求证:$∠FPB=∠APC$.

(1)证明:$\because AD$ 为 $\odot O$ 的直径,$AD ⊥ BC,\therefore AD$ 垂直平分 $BC,\therefore AB=AC$.
(2)由(1)得 $AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ ACB$,
$\because \odot O$ 为四边形 $APBC$ 的外接圆,$\therefore ∠ APB+∠ ACB=180°$,
$\because ∠ APB+∠ FPB=180°,\therefore ∠ ACB=∠ FPB$,
$\because ∠ ABC=∠ APC,∠ ABC=∠ ACB,\therefore ∠ FPB=∠ APC$.

【分析】
(1) 要证明AB=AC，可先证明AD是BC的垂直平分线：已知AD是⊙O的直径且AD⊥BC，根据垂径定理可推出AD垂直平分BC，线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，因此点A到B、C的距离相等，即可得证。
(2) 要证明∠FPB=∠APC，可通过角的等量代换推导：首先由(1)的结论AB=AC可得等腰三角形底角相等，即∠ABC=∠ACB；再利用圆内接四边形对角互补的性质，结合∠FPB和∠APB是邻补角，可推出∠FPB=∠ACB；最后根据同弧所对的圆周角相等，得∠APC=∠ABC，经过等量代换即可完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵AD为$\odot O$的直径，$AD ⊥ BC$，
∴AD垂直平分BC，
∴$AB=AC$。
(2) 证明：由(1)得 $AB=AC$，
∴$∠ ABC=∠ ACB$，
∵$\odot O$ 为四边形 $APBC$ 的外接圆，
∴$∠ APB+∠ ACB=180°$，
∵$∠ APB+∠ FPB=180°$，
∴$∠ ACB=∠ FPB$，
∵$∠ ABC=∠ APC,∠ ABC=∠ ACB$，
∴$∠ FPB=∠ APC$。
【答案】
(1) $AB=AC$，证明成立；
(2) $∠FPB=∠APC$，证明成立。
【知识点】
垂径定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的性质基础应用题，解题核心是灵活运用垂径定理、圆内接四边形对角互补、同弧所对圆周角相等的性质，结合等腰三角形、邻补角的性质完成等量代换，整体逻辑链条清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7