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8.如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,若$∠ A:∠ B:∠ C=4:3:5$,则$∠ D=$
$120°$
.答案
$120°$
解析
【分析】
本题可根据圆内接四边形的性质求解，首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即两组对角的和均为180°。已知∠A、∠B、∠C的比例关系，我们可以先设参数表示三个角的度数，利用∠A和∠C是对角、和为180°求出参数值，再计算∠B的度数，最后根据∠B和∠D互补求出∠D的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$
∴根据圆内接四边形对角互补的性质，得$∠ A + ∠ C = 180°$，$∠ B + ∠ D = 180°$
已知$∠ A:∠ B:∠ C=4:3:5$，设$∠ A=4k$，$∠ B=3k$，$∠ C=5k$（$k＞0$）
代入$∠ A + ∠ C = 180°$，得：
$4k + 5k = 180°$
$9k = 180°$
解得$k=20°$
∴$∠ B=3k=3×20°=60°$
∴$∠ D=180° - ∠ B=180° - 60°=120°$
【答案】
$120°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；比例计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查圆内接四边形对角互补的性质，解题时通过设参数将比例关系转化为具体角度的表达式，结合对角和为180°的性质即可快速求解，掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题可根据圆内接四边形的性质求解，首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即两组对角的和均为180°。已知∠A、∠B、∠C的比例关系，我们可以先设参数表示三个角的度数，利用∠A和∠C是对角、和为180°求出参数值，再计算∠B的度数，最后根据∠B和∠D互补求出∠D的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$
∴根据圆内接四边形对角互补的性质，得$∠ A + ∠ C = 180°$，$∠ B + ∠ D = 180°$
已知$∠ A:∠ B:∠ C=4:3:5$，设$∠ A=4k$，$∠ B=3k$，$∠ C=5k$（$k＞0$）
代入$∠ A + ∠ C = 180°$，得：
$4k + 5k = 180°$
$9k = 180°$
解得$k=20°$
∴$∠ B=3k=3×20°=60°$
∴$∠ D=180° - ∠ B=180° - 60°=120°$
【答案】
$120°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；比例计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查圆内接四边形对角互补的性质，解题时通过设参数将比例关系转化为具体角度的表达式，结合对角和为180°的性质即可快速求解，掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
9.如图，AB为$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的弦且与AB平行，连接AC，OD，若$∠ D=50°$，则$∠ C=$
$115°$
.答案
$115°$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 由CD平行AB，利用平行线内错角相等得到∠BOD=∠D=50°；2. 结合圆的半径相等，可知△OCD为等腰三角形，求出∠COD的度数；3. 由平角180°算出∠AOC的度数，再根据OA=OC得到△OAC为等腰三角形，求出∠CAB的度数；4. 最后利用平行线同旁内角互补，即可求出∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵ CD//AB，
∴ ∠BOD = ∠D = 50°（两直线平行，内错角相等）。
∵ OC、OD均为⊙O的半径，
∴ OC = OD，△OCD为等腰三角形，
∴ ∠OCD = ∠D = 50°，
∴ ∠COD = 180° - 50°×2 = 80°。
∵ AB为⊙O的直径，∠AOB为平角，
∴ ∠AOC = 180° - ∠COD - ∠BOD = 180° - 80° - 50° = 50°。
又
∵ OA = OC，△OAC为等腰三角形，
∴ ∠OAC = ∠OCA = (180° - ∠AOC)÷2 = (180° - 50°)÷2 = 65°。
∵ CD//AB，
∴ ∠ACD + ∠OAC = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠ACD = 180° - 65° = 115°。
【答案】
$115°$
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的核心是抓住圆的半径相等得到等腰三角形，再结合平行线的角的关系逐步推导，能很好地考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：1. 由CD平行AB，利用平行线内错角相等得到∠BOD=∠D=50°；2. 结合圆的半径相等，可知△OCD为等腰三角形，求出∠COD的度数；3. 由平角180°算出∠AOC的度数，再根据OA=OC得到△OAC为等腰三角形，求出∠CAB的度数；4. 最后利用平行线同旁内角互补，即可求出∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵ CD//AB，
∴ ∠BOD = ∠D = 50°（两直线平行，内错角相等）。
∵ OC、OD均为⊙O的半径，
∴ OC = OD，△OCD为等腰三角形，
∴ ∠OCD = ∠D = 50°，
∴ ∠COD = 180° - 50°×2 = 80°。
∵ AB为⊙O的直径，∠AOB为平角，
∴ ∠AOC = 180° - ∠COD - ∠BOD = 180° - 80° - 50° = 50°。
又
∵ OA = OC，△OAC为等腰三角形，
∴ ∠OAC = ∠OCA = (180° - ∠AOC)÷2 = (180° - 50°)÷2 = 65°。
∵ CD//AB，
∴ ∠ACD + ∠OAC = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠ACD = 180° - 65° = 115°。
【答案】
$115°$
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的核心是抓住圆的半径相等得到等腰三角形，再结合平行线的角的关系逐步推导，能很好地考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
10.如图，点C，D，E在以AB为直径的$\odot O$上，若$∠ C=125°$，则$∠ E=$
$35°$
。答案
$35°$
解析
【分析】
本题可结合圆的相关性质逐步推导：首先观察到A、C、D、B四点都在⊙O上，构成圆内接四边形，利用圆内接四边形对角互补可求出∠ABD的度数；再根据AB是直径，可知直径所对的圆周角∠ADB为直角，进而在直角三角形ABD中求出∠BAD的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，∠BAD和所求的∠E都对应弧BD，二者度数相等，即可得到∠E的大小。
【解析】
解：
∵ 四边形ACDB是⊙O的内接四边形
∴ ∠ACD + ∠ABD = 180°（圆内接四边形对角互补）
将∠ACD=125°代入得：
∠ABD = 180° - 125° = 55°
∵ AB为⊙O的直径
∴ ∠ADB = 90°（直径所对的圆周角是直角）
在Rt△ABD中，∠BAD + ∠ABD = 90°
∴ ∠BAD = 90° - 55° = 35°
又
∵ ∠BAD与∠BED（即∠E）同为弧BD所对的圆周角
∴ ∠E = ∠BAD = 35°（同弧所对的圆周角相等）
【答案】
$35°$
【知识点】
圆内接四边形性质；圆周角定理；直径所对圆周角特征
【点评】
本题属于圆的性质的基础综合题，主要考查对圆的核心性质的掌握与应用能力，解题关键是找到已知角和所求角之间的关联，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
本题可结合圆的相关性质逐步推导：首先观察到A、C、D、B四点都在⊙O上，构成圆内接四边形，利用圆内接四边形对角互补可求出∠ABD的度数；再根据AB是直径，可知直径所对的圆周角∠ADB为直角，进而在直角三角形ABD中求出∠BAD的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，∠BAD和所求的∠E都对应弧BD，二者度数相等，即可得到∠E的大小。
【解析】
解：
∵ 四边形ACDB是⊙O的内接四边形
∴ ∠ACD + ∠ABD = 180°（圆内接四边形对角互补）
将∠ACD=125°代入得：
∠ABD = 180° - 125° = 55°
∵ AB为⊙O的直径
∴ ∠ADB = 90°（直径所对的圆周角是直角）
在Rt△ABD中，∠BAD + ∠ABD = 90°
∴ ∠BAD = 90° - 55° = 35°
又
∵ ∠BAD与∠BED（即∠E）同为弧BD所对的圆周角
∴ ∠E = ∠BAD = 35°（同弧所对的圆周角相等）
【答案】
$35°$
【知识点】
圆内接四边形性质；圆周角定理；直径所对圆周角特征
【点评】
本题属于圆的性质的基础综合题，主要考查对圆的核心性质的掌握与应用能力，解题关键是找到已知角和所求角之间的关联，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
11.如图,四边形ABDC是$\odot O$的内接四边形,AD是对角线,过点A作$EA⊥ AD$,$EA$交DB的延长线于点E,$AB=AC$.
(1)求证:$∠ ABE=∠ ACD$.
(2)若$BE=CD$,求证:$BC$为$\odot O$的直径.
(1)求证:$∠ ABE=∠ ACD$.
(2)若$BE=CD$,求证:$BC$为$\odot O$的直径.
答案
(1)证明:$\because$ 四边形 $ABDC$ 是 $\odot O$ 的内接四边形,$\therefore ∠ ABD+∠ ACD=180°$,
$\because ∠ ABD+∠ ABE=180°,\therefore ∠ ABE=∠ ACD$.
(2)证明:$\because ∠ ABE=∠ ACD,AB=AC,BE=CD,\therefore △ ABE ≌ △ ACD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ BAE=∠ CAD$,
$\because EA ⊥ AD,\therefore ∠ EAD=90°,\therefore ∠ BAC=90°$,
$\therefore BC$ 为 $\odot O$ 的直径.
$\because ∠ ABD+∠ ABE=180°,\therefore ∠ ABE=∠ ACD$.
(2)证明:$\because ∠ ABE=∠ ACD,AB=AC,BE=CD,\therefore △ ABE ≌ △ ACD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ BAE=∠ CAD$,
$\because EA ⊥ AD,\therefore ∠ EAD=90°,\therefore ∠ BAC=90°$,
$\therefore BC$ 为 $\odot O$ 的直径.
解析
【分析】
(1) 要证∠ABE=∠ACD，可利用补角的性质推导：首先由圆内接四边形的性质可得∠ABD与∠ACD互补，再结合∠ABD与∠ABE是邻补角也互补，根据同角的补角相等即可证明两角相等。
(2) 要证BC为⊙O的直径，根据圆周角定理的推论，只需证明∠BAC=90°即可。结合已知条件AB=AC、BE=CD，以及(1)中证得的等角，可先证明△ABE≌△ACD，得到∠BAE=∠CAD，再结合EA⊥AD的条件，通过角的和差关系推出∠BAC=90°，即可得证BC是直径。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABDC是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ ABD+∠ ACD=180°$，
∵ $∠ ABD+∠ ABE=180°$，
∴ $∠ ABE=∠ ACD$。
(2) 证明：
∵ $∠ ABE=∠ ACD$，$AB=AC$，$BE=CD$，
∴ $△ ABE ≌ △ ACD(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠ BAE=∠ CAD$，
∵ $EA ⊥ AD$，
∴ $∠ EAD=90°$，即$∠ BAE+∠ BAD=90°$，
∴ $∠ CAD+∠ BAD=∠ BAC=90°$，
∴ $BC$为$\odot O$的直径。
【答案】
(1) $∠ ABE=∠ ACD$得证；
(2) $BC$为$\odot O$的直径得证。
【知识点】
圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理推论
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，第一问侧重对圆内接四边形性质的直接考查，难度较低；第二问需要结合前一问的结论，通过全等三角形实现角的转化，再结合圆周角定理的推论完成证明，解题时要注意利用已证的前问结论，降低推导难度。
【难度系数】
0.7
(1) 要证∠ABE=∠ACD，可利用补角的性质推导：首先由圆内接四边形的性质可得∠ABD与∠ACD互补，再结合∠ABD与∠ABE是邻补角也互补，根据同角的补角相等即可证明两角相等。
(2) 要证BC为⊙O的直径，根据圆周角定理的推论，只需证明∠BAC=90°即可。结合已知条件AB=AC、BE=CD，以及(1)中证得的等角，可先证明△ABE≌△ACD，得到∠BAE=∠CAD，再结合EA⊥AD的条件，通过角的和差关系推出∠BAC=90°，即可得证BC是直径。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABDC是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ ABD+∠ ACD=180°$，
∵ $∠ ABD+∠ ABE=180°$，
∴ $∠ ABE=∠ ACD$。
(2) 证明：
∵ $∠ ABE=∠ ACD$，$AB=AC$，$BE=CD$，
∴ $△ ABE ≌ △ ACD(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠ BAE=∠ CAD$，
∵ $EA ⊥ AD$，
∴ $∠ EAD=90°$，即$∠ BAE+∠ BAD=90°$，
∴ $∠ CAD+∠ BAD=∠ BAC=90°$，
∴ $BC$为$\odot O$的直径。
【答案】
(1) $∠ ABE=∠ ACD$得证；
(2) $BC$为$\odot O$的直径得证。
【知识点】
圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理推论
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，第一问侧重对圆内接四边形性质的直接考查，难度较低；第二问需要结合前一问的结论，通过全等三角形实现角的转化，再结合圆周角定理的推论完成证明，解题时要注意利用已证的前问结论，降低推导难度。
【难度系数】
0.7
12.如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,BD是$\odot O$的直径,点F是CD延长线上的一点,且AD平分$∠ BDF$,$AE⊥ CF$于点E.
(1)求证:$AB=AC$.
(2)若$BD=12$,$DE=2$,求BC的长.
(1)求证:$AB=AC$.
(2)若$BD=12$,$DE=2$,求BC的长.
答案
(1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O,\therefore ∠ ABC+∠ ADC=180°$,
$\because AD$ 平分 $∠ BDF,\therefore ∠ ADB=∠ ADF$,
$\because ∠ ADC+∠ ADF=180°,∠ ADB=∠ ACB,\therefore ∠ ABC=∠ ACB$,
$\therefore AB=AC$.
(2)过点 $A$ 作 $AG ⊥ BD$ 于点 $G$.
$\because AD$ 平分 $∠ BDF,AE ⊥ CF,AG ⊥ BD,\therefore AG=AE,∠ AGB=∠ AEC=90°$,
又 $\because AB=AC,\therefore \mathrm{Rt}△ AED ≌ \mathrm{Rt}△ AGD(\mathrm{HL}),\mathrm{Rt}△ AEC ≌ \mathrm{Rt}△ AGB(\mathrm{HL})$,
$\therefore GD=DE=2,BG=CE$.
$\because BD=12,\therefore BG=BD-GD=10,\therefore CE=10,\therefore CD=CE-DE=8$.
$\because BD$ 是 $\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ BCD=90°$,
$\therefore BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=\sqrt{12^2-8^2}=4\sqrt{5}$.
$\because AD$ 平分 $∠ BDF,\therefore ∠ ADB=∠ ADF$,
$\because ∠ ADC+∠ ADF=180°,∠ ADB=∠ ACB,\therefore ∠ ABC=∠ ACB$,
$\therefore AB=AC$.
(2)过点 $A$ 作 $AG ⊥ BD$ 于点 $G$.
$\because AD$ 平分 $∠ BDF,AE ⊥ CF,AG ⊥ BD,\therefore AG=AE,∠ AGB=∠ AEC=90°$,
又 $\because AB=AC,\therefore \mathrm{Rt}△ AED ≌ \mathrm{Rt}△ AGD(\mathrm{HL}),\mathrm{Rt}△ AEC ≌ \mathrm{Rt}△ AGB(\mathrm{HL})$,
$\therefore GD=DE=2,BG=CE$.
$\because BD=12,\therefore BG=BD-GD=10,\therefore CE=10,\therefore CD=CE-DE=8$.
$\because BD$ 是 $\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ BCD=90°$,
$\therefore BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=\sqrt{12^2-8^2}=4\sqrt{5}$.
解析
【分析】
(1)要证明$AB=AC$，可通过证明其对应角相等即$∠ABC=∠ACB$推导。首先利用圆内接四边形对角互补、邻补角互补可得$∠ABC=∠ADF$，再结合$AD$是角平分线得$∠ADF=∠ADB$，最后根据同弧所对的圆周角相等，$∠ADB=∠ACB$，即可证得$∠ABC=∠ACB$，推出$AB=AC$。
(2)要求$BC$的长，已知$BD$是直径，故$∠BCD=90°$，只需先求出$CD$的长度，即可用勾股定理计算$BC$。结合$AD$是角平分线、$AE⊥CF$的条件，过$A$作$AG⊥BD$，利用角平分线的性质得$AG=AE$，通过证明两组直角三角形全等，将已知线段$DE$转化为$GD=2$，求出$BG=10$，再转化得到$CE=10$，进而算出$CD=8$，最后代入勾股定理计算即可。
【解析】
(1)证明：
∵四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
∴$∠ABC+∠ADC=180°$，
又
∵$∠ADC+∠ADF=180°$，
∴$∠ABC=∠ADF$，
∵$AD$平分$∠BDF$，
∴$∠ADB=∠ADF$，
又
∵同弧$AB$所对的圆周角相等，即$∠ADB=∠ACB$，
∴$∠ABC=∠ACB$，
∴$AB=AC$。
(2)解：过点$A$作$AG⊥BD$于点$G$，
∵$AD$平分$∠BDF$，$AE⊥CF$，$AG⊥BD$，
∴$AG=AE$，$∠AED=∠AGD=∠AEC=∠AGB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△AED$和$\mathrm{Rt}△AGD$中，
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ AE=AG\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△AED≌\mathrm{Rt}△AGD(\mathrm{HL})$，
∴$GD=DE=2$，
∵$BD=12$，
∴$BG=BD-GD=12-2=10$，
在$\mathrm{Rt}△AEC$和$\mathrm{Rt}△AGB$中，
$\{\begin{array}{l}AC=AB\\ AE=AG\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△AEC≌\mathrm{Rt}△AGB(\mathrm{HL})$，
∴$CE=BG=10$，
∴$CD=CE-DE=10-2=8$，
∵$BD$是$\odot O$的直径，
∴$∠BCD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=\sqrt{12^2-8^2}=\sqrt{144-64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$
【答案】
(1)$AB=AC$，证明成立；
(2)$4\sqrt{5}$
【知识点】
1.圆周角定理
2.角平分线的性质
3.勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的综合应用题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形、圆周角、角平分线的性质，合理构造辅助线证明三角形全等，实现线段长度的转化，最后结合勾股定理求解线段长度，是圆与三角形结合的典型题型。
【难度系数】
0.6
(1)要证明$AB=AC$，可通过证明其对应角相等即$∠ABC=∠ACB$推导。首先利用圆内接四边形对角互补、邻补角互补可得$∠ABC=∠ADF$，再结合$AD$是角平分线得$∠ADF=∠ADB$，最后根据同弧所对的圆周角相等，$∠ADB=∠ACB$，即可证得$∠ABC=∠ACB$，推出$AB=AC$。
(2)要求$BC$的长，已知$BD$是直径，故$∠BCD=90°$，只需先求出$CD$的长度，即可用勾股定理计算$BC$。结合$AD$是角平分线、$AE⊥CF$的条件，过$A$作$AG⊥BD$，利用角平分线的性质得$AG=AE$，通过证明两组直角三角形全等，将已知线段$DE$转化为$GD=2$，求出$BG=10$，再转化得到$CE=10$，进而算出$CD=8$，最后代入勾股定理计算即可。
【解析】
(1)证明：
∵四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
∴$∠ABC+∠ADC=180°$，
又
∵$∠ADC+∠ADF=180°$，
∴$∠ABC=∠ADF$，
∵$AD$平分$∠BDF$，
∴$∠ADB=∠ADF$，
又
∵同弧$AB$所对的圆周角相等，即$∠ADB=∠ACB$，
∴$∠ABC=∠ACB$，
∴$AB=AC$。
(2)解：过点$A$作$AG⊥BD$于点$G$，
∵$AD$平分$∠BDF$，$AE⊥CF$，$AG⊥BD$，
∴$AG=AE$，$∠AED=∠AGD=∠AEC=∠AGB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△AED$和$\mathrm{Rt}△AGD$中，
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ AE=AG\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△AED≌\mathrm{Rt}△AGD(\mathrm{HL})$，
∴$GD=DE=2$，
∵$BD=12$，
∴$BG=BD-GD=12-2=10$，
在$\mathrm{Rt}△AEC$和$\mathrm{Rt}△AGB$中，
$\{\begin{array}{l}AC=AB\\ AE=AG\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△AEC≌\mathrm{Rt}△AGB(\mathrm{HL})$，
∴$CE=BG=10$，
∴$CD=CE-DE=10-2=8$，
∵$BD$是$\odot O$的直径，
∴$∠BCD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=\sqrt{12^2-8^2}=\sqrt{144-64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$
【答案】
(1)$AB=AC$，证明成立；
(2)$4\sqrt{5}$
【知识点】
1.圆周角定理
2.角平分线的性质
3.勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的综合应用题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形、圆周角、角平分线的性质，合理构造辅助线证明三角形全等，实现线段长度的转化，最后结合勾股定理求解线段长度，是圆与三角形结合的典型题型。
【难度系数】
0.6
