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一、选择题
1.将一元二次方程$(x+1)(x-2)=3-x^2$化成一般形式为（
A.$2x^2 - x +1=0$
B.$2x^2 -x -5=0$
C.$2x^2 +x -5=0$
D.$2x^2 +x +1=0$
1.将一元二次方程$(x+1)(x-2)=3-x^2$化成一般形式为（
B
）.A.$2x^2 - x +1=0$
B.$2x^2 -x -5=0$
C.$2x^2 +x -5=0$
D.$2x^2 +x +1=0$
答案
1.B
解析
【分析】
要将给定方程化为一元二次方程的一般形式（$ax^2+bx+c=0$，$a≠0$），需按步骤运算：首先利用多项式乘多项式法则展开左边的乘积，再通过移项将所有项移到方程左边，注意移项要变号，最后合并同类项整理成标准形式，再匹配选项即可。
【解析】
解：首先展开方程左边的乘积：
$(x+1)(x-2)=x^2-2x+x-2=x^2-x-2$
原方程可化为：
$x^2 - x - 2 = 3 - x^2$
移项，将右边的项全部移到左边，移项变号：
$x^2 - x - 2 - 3 + x^2 = 0$
合并同类项：
$(x^2+x^2) - x + (-2-3) = 0$
即$2x^2 - x -5=0$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的一般形式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是基础运算题，核心考查一元二次方程一般形式的化简，解题时需注意去括号的符号规则、移项要变号，只要运算细心就能顺利得到结果。
【难度系数】
0.8
要将给定方程化为一元二次方程的一般形式（$ax^2+bx+c=0$，$a≠0$），需按步骤运算：首先利用多项式乘多项式法则展开左边的乘积，再通过移项将所有项移到方程左边，注意移项要变号，最后合并同类项整理成标准形式，再匹配选项即可。
【解析】
解：首先展开方程左边的乘积：
$(x+1)(x-2)=x^2-2x+x-2=x^2-x-2$
原方程可化为：
$x^2 - x - 2 = 3 - x^2$
移项，将右边的项全部移到左边，移项变号：
$x^2 - x - 2 - 3 + x^2 = 0$
合并同类项：
$(x^2+x^2) - x + (-2-3) = 0$
即$2x^2 - x -5=0$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的一般形式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是基础运算题，核心考查一元二次方程一般形式的化简，解题时需注意去括号的符号规则、移项要变号，只要运算细心就能顺利得到结果。
【难度系数】
0.8
2.方程$x^2 -9=0$的两个根为(
A.$x=3$
B.$x=-3$
C.$x_1=3,x_2=-3$
D.$x=\pm\sqrt{3}$
C
).A.$x=3$
B.$x=-3$
C.$x_1=3,x_2=-3$
D.$x=\pm\sqrt{3}$
答案
2.C
解析
【分析】
观察方程$x^2 -9=0$的结构，无一次项，适合选用直接开平方法求解。解题时先将常数项移到方程右侧，得到$x^2$等于正数的形式，再结合平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，即可求出方程的两个根，要注意避免只取正根漏解。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$x^2=9$
对等式两边同时开平方，得：
$x=\pm\sqrt{9}=\pm3$
因此方程的两个根为$x_1=3$，$x_2=-3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是基础题，主要考查缺一次项的一元二次方程的求解，易错点是开平方时遗漏负根，解题时需注意有两个不等实根的一元二次方程的根有两个。
【难度系数】
0.9
观察方程$x^2 -9=0$的结构，无一次项，适合选用直接开平方法求解。解题时先将常数项移到方程右侧，得到$x^2$等于正数的形式，再结合平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，即可求出方程的两个根，要注意避免只取正根漏解。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$x^2=9$
对等式两边同时开平方，得：
$x=\pm\sqrt{9}=\pm3$
因此方程的两个根为$x_1=3$，$x_2=-3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是基础题，主要考查缺一次项的一元二次方程的求解，易错点是开平方时遗漏负根，解题时需注意有两个不等实根的一元二次方程的根有两个。
【难度系数】
0.9
3.方程$x^2 - 2x -5=0$经配方后，可化为（
A.$(x-1)^2=6$
B.$(x+1)^2=6$
C.$(x-1)^2=4$
D.$(x+1)^2=4$
A
）.A.$(x-1)^2=6$
B.$(x+1)^2=6$
C.$(x-1)^2=4$
D.$(x+1)^2=4$
答案
3.A
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的配方法变形，解题思路如下：首先回忆配方法的核心步骤：第一步移项，将常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在左侧；第二步配方，在等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，右侧合并常数项即可得到配方后的结果。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x -5=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 - 2x = 5$
2. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-2÷2)^2=1$，在等式两边同时加1：
$x^2 - 2x +1 = 5 +1$
3. 左侧整理为完全平方式，右侧合并常数项：$(x-1)^2=6$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 配方法
2. 完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，核心考察配方法的操作步骤，熟练掌握移项、凑完全平方的操作即可快速求解，是一元二次方程相关知识的基础考点，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的配方法变形，解题思路如下：首先回忆配方法的核心步骤：第一步移项，将常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在左侧；第二步配方，在等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，右侧合并常数项即可得到配方后的结果。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x -5=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 - 2x = 5$
2. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-2÷2)^2=1$，在等式两边同时加1：
$x^2 - 2x +1 = 5 +1$
3. 左侧整理为完全平方式，右侧合并常数项：$(x-1)^2=6$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 配方法
2. 完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，核心考察配方法的操作步骤，熟练掌握移项、凑完全平方的操作即可快速求解，是一元二次方程相关知识的基础考点，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
4.不解方程,判断方程$-3x^2 +5x +4=0$的根的情况是(
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
B
).A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
4.B
解析
【分析】
本题要求不解方程判断一元二次方程根的情况，解题核心是运用一元二次方程根的判别式。首先我们需要明确：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的情况由判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号决定：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。解题时先确定方程中$a$、$b$、$c$的取值，再代入计算判别式的值，最后根据值的符号判断根的情况即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$-3x^2+5x+4=0$中，二次项系数$a=-3$，一次项系数$b=5$，常数项$c=4$，
将系数代入判别式得：
$\Delta = 5^2 - 4×(-3)×4 = 25 + 48 =73$，
因为$\Delta=73＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础类考题，重点考察根的判别式的应用，解题的易错点是确定系数时遗漏符号，只要牢记判别式的计算方法和不同取值对应的根的情况，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
本题要求不解方程判断一元二次方程根的情况，解题核心是运用一元二次方程根的判别式。首先我们需要明确：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的情况由判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号决定：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。解题时先确定方程中$a$、$b$、$c$的取值，再代入计算判别式的值，最后根据值的符号判断根的情况即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$-3x^2+5x+4=0$中，二次项系数$a=-3$，一次项系数$b=5$，常数项$c=4$，
将系数代入判别式得：
$\Delta = 5^2 - 4×(-3)×4 = 25 + 48 =73$，
因为$\Delta=73＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础类考题，重点考察根的判别式的应用，解题的易错点是确定系数时遗漏符号，只要牢记判别式的计算方法和不同取值对应的根的情况，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
5.某种植基地3月份蔬菜产量为80 t,5月份蔬菜产量达到100 t,求蔬菜产量的月平均增长率.设蔬菜产量的月平均增长率为$x$,则可列方程为(
A.$80(1+x)^2=100$
B.$100(1-x)^2=80$
C.$80(1+2x)=100$
D.$80(1+x^2)=100$
A
).A.$80(1+x)^2=100$
B.$100(1-x)^2=80$
C.$80(1+2x)=100$
D.$80(1+x^2)=100$
答案
5.A
解析
【分析】
这是平均增长率类应用题，解题时先明确增长基数和增长次数：3月产量是初始值80t，月均增长率为x，每过1个月产量变为上月的(1+x)倍，从3月到5月共经过2次增长（3月到4月、4月到5月各1次），因此5月产量为初始值乘(1+x)的平方，再结合5月产量100t即可列出方程。
【解析】
已知3月份蔬菜产量为80t，月平均增长率为x：
1. 4月份产量 = 3月份产量×(1+x) = $80(1+x)$ t；
2. 5月份产量 = 4月份产量×(1+x) = $80(1+x) · (1+x) = 80(1+x)^2$ t；
结合5月份产量为100t，可列方程为$80(1+x)^2=100$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的应用
【点评】
本题是平均增长率的基础题型，核心是掌握“经过n次增长后，最终量=初始量×(1+增长率)ⁿ”的公式，明确增长次数即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这是平均增长率类应用题，解题时先明确增长基数和增长次数：3月产量是初始值80t，月均增长率为x，每过1个月产量变为上月的(1+x)倍，从3月到5月共经过2次增长（3月到4月、4月到5月各1次），因此5月产量为初始值乘(1+x)的平方，再结合5月产量100t即可列出方程。
【解析】
已知3月份蔬菜产量为80t，月平均增长率为x：
1. 4月份产量 = 3月份产量×(1+x) = $80(1+x)$ t；
2. 5月份产量 = 4月份产量×(1+x) = $80(1+x) · (1+x) = 80(1+x)^2$ t；
结合5月份产量为100t，可列方程为$80(1+x)^2=100$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的应用
【点评】
本题是平均增长率的基础题型，核心是掌握“经过n次增长后，最终量=初始量×(1+增长率)ⁿ”的公式，明确增长次数即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6.若关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$中的$a,b,c$满足$a+b+c=0$，则方程必有根(
A.0
B.1
C.$-1$
D.$\pm1$
B
)。A.0
B.1
C.$-1$
D.$\pm1$
答案
6.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知条件给出$a+b+c=0$，我们只需要找到$x$取哪个选项的值时，代入方程左边$ax^2+bx+c$后结果刚好等于$a+b+c$，即可确定这个$x$就是方程必有的根，也可通过逐个代入选项验证的方法求解。
【解析】
根据方程根的定义，将各选项的$x$值代入方程左边计算：
1. 当$x=1$时，左边$=a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$，由题可知$a+b+c=0$，即左边$=0=$右边，因此$x=1$是方程的根；
2. 验证其他选项：
当$x=0$时，左边$=c$，$c$不一定为0，故$x=0$不一定是根；
当$x=-1$时，左边$=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a-b+c$，不一定等于0，故$x=-1$不一定是根。
因此方程必有根$x=1$。
【答案】
B
【知识点】
方程根的定义；代入求值
【点评】
本题是方程部分的基础常考题，解题核心是理解方程根的定义，用代入验证的方法可以快速得出结果，熟练掌握根的定义能大幅提高这类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知条件给出$a+b+c=0$，我们只需要找到$x$取哪个选项的值时，代入方程左边$ax^2+bx+c$后结果刚好等于$a+b+c$，即可确定这个$x$就是方程必有的根，也可通过逐个代入选项验证的方法求解。
【解析】
根据方程根的定义，将各选项的$x$值代入方程左边计算：
1. 当$x=1$时，左边$=a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$，由题可知$a+b+c=0$，即左边$=0=$右边，因此$x=1$是方程的根；
2. 验证其他选项：
当$x=0$时，左边$=c$，$c$不一定为0，故$x=0$不一定是根；
当$x=-1$时，左边$=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a-b+c$，不一定等于0，故$x=-1$不一定是根。
因此方程必有根$x=1$。
【答案】
B
【知识点】
方程根的定义；代入求值
【点评】
本题是方程部分的基础常考题，解题核心是理解方程根的定义，用代入验证的方法可以快速得出结果，熟练掌握根的定义能大幅提高这类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
7.关于$x$的方程$x^2 -4x +m=0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$，且$x_1 +3x_2=5$，则$m$的值为(
A.0
B.$\frac{7}{6}$
C.$\frac{7}{5}$
D.$\frac{7}{4}$
D
).A.0
B.$\frac{7}{6}$
C.$\frac{7}{5}$
D.$\frac{7}{4}$
答案
7.D
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。本题可先根据韦达定理求出两根之和，再结合已知的$x_1+3x_2=5$联立求解出其中一个根，最后将根代入原方程即可求出$m$的值。
【解析】
对于方程$x^2 -4x +m=0$，其中$a=1$，$b=-4$，根据韦达定理可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4$ ①
已知$x_1 + 3x_2 = 5$ ②
用②式减去①式可得：$(x_1+3x_2)-(x_1+x_2)=5-4$，即$2x_2=1$，解得$x_2=\frac{1}{2}$。
因为$x_2$是方程$x^2 -4x +m=0$的根，将$x_2=\frac{1}{2}$代入方程得：
$(\frac{1}{2})^2 -4×\frac{1}{2} + m = 0$
计算得：$\frac{1}{4} - 2 + m =0$，解得$m=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
1.韦达定理 2.一元二次方程根的定义
【点评】
本题是典型的一元二次方程参数求解问题，将韦达定理与已知条件结合求根，再代入原方程求参数，解题思路清晰，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。本题可先根据韦达定理求出两根之和，再结合已知的$x_1+3x_2=5$联立求解出其中一个根，最后将根代入原方程即可求出$m$的值。
【解析】
对于方程$x^2 -4x +m=0$，其中$a=1$，$b=-4$，根据韦达定理可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4$ ①
已知$x_1 + 3x_2 = 5$ ②
用②式减去①式可得：$(x_1+3x_2)-(x_1+x_2)=5-4$，即$2x_2=1$，解得$x_2=\frac{1}{2}$。
因为$x_2$是方程$x^2 -4x +m=0$的根，将$x_2=\frac{1}{2}$代入方程得：
$(\frac{1}{2})^2 -4×\frac{1}{2} + m = 0$
计算得：$\frac{1}{4} - 2 + m =0$，解得$m=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
1.韦达定理 2.一元二次方程根的定义
【点评】
本题是典型的一元二次方程参数求解问题，将韦达定理与已知条件结合求根，再代入原方程求参数，解题思路清晰，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
8.在一幅长 80 cm、宽 50 cm 的矩形图片四周加上同样宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图.如果要使整幅挂图的面积是 5 000 cm²，设金色纸边的宽为 x cm，则所列方程化为一般形式为(
A.$x^2 + 65x - 250 = 0$
B.$x^2 - 130x - 1\ 000 = 0$
C.$x^2 + 130x - 1\ 000 = 0$
D.$x^2 - 65x - 250 = 0$
A
).A.$x^2 + 65x - 250 = 0$
B.$x^2 - 130x - 1\ 000 = 0$
C.$x^2 + 130x - 1\ 000 = 0$
D.$x^2 - 65x - 250 = 0$
答案
8.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确加金色纸边后整幅挂图的长和宽的表达式。因为纸边是在图片四周均匀添加，宽度为x cm，所以图片的长和宽都要分别加上左右、上下各x cm的宽度，即新的长为(80+2x)cm，新的宽为(50+2x)cm。再根据矩形面积=长×宽，已知总面积为5000 cm²，列出方程后整理为一元二次方程的一般形式即可得到答案。
【解析】
解：由题意可知，加纸边后挂图的长为$(80 + 2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(50 + 2x)\ \mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式可得：
$(80 + 2x)(50 + 2x) = 5000$
展开左边得：
$4000 + 160x + 100x + 4x^2 = 5000$
合并同类项：
$4x^2 + 260x + 4000 = 5000$
移项并整理为一般形式：
$4x^2 + 260x - 1000 = 0$
两边同时除以4化简得：
$x^2 + 65x - 250 = 0$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形面积计算；一元二次方程的实际应用；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程几何应用的常规题型，解题的核心是注意边框为四周等宽，因此长和宽都要增加2倍的边框宽度，避免出现仅加1倍x的错误，再结合面积公式列方程化简即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确加金色纸边后整幅挂图的长和宽的表达式。因为纸边是在图片四周均匀添加，宽度为x cm，所以图片的长和宽都要分别加上左右、上下各x cm的宽度，即新的长为(80+2x)cm，新的宽为(50+2x)cm。再根据矩形面积=长×宽，已知总面积为5000 cm²，列出方程后整理为一元二次方程的一般形式即可得到答案。
【解析】
解：由题意可知，加纸边后挂图的长为$(80 + 2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(50 + 2x)\ \mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式可得：
$(80 + 2x)(50 + 2x) = 5000$
展开左边得：
$4000 + 160x + 100x + 4x^2 = 5000$
合并同类项：
$4x^2 + 260x + 4000 = 5000$
移项并整理为一般形式：
$4x^2 + 260x - 1000 = 0$
两边同时除以4化简得：
$x^2 + 65x - 250 = 0$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形面积计算；一元二次方程的实际应用；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程几何应用的常规题型，解题的核心是注意边框为四周等宽，因此长和宽都要增加2倍的边框宽度，避免出现仅加1倍x的错误，再结合面积公式列方程化简即可。
【难度系数】
0.7
9.若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 + 2x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，则实数$a$的取值范围是(
A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a＜2$且$a≠1$
D.$a≤2$且$a≠1$
C
).A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a＜2$且$a≠1$
D.$a≤2$且$a≠1$
答案
9.C
解析
【分析】
要确定实数a的取值范围，需结合题目给出的两个条件分析：首先该方程是一元二次方程，需满足二次项系数不为0；其次方程有两个不相等的实数根，需满足根的判别式大于0。分别求出两个条件对应的a的范围，再取公共部分即可得到最终取值范围。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，即：
$a-1≠0$，解得$a≠1$。
第二步：方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入得：
$\Delta=2^2 - 4×(a-1)×1 ＞ 0$
计算得：$4 - 4(a-1) ＞ 0$
展开化简：$4 -4a +4 ＞0$，即$8-4a＞0$
移项得：$4a ＜ 8$，解得$a＜2$。
第三步：结合两个条件，取交集得$a$的取值范围是$a＜2$且$a≠1$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的常考基础题，解题时容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”这个隐含条件，导致误选B选项，做题时要注意全面考虑题目给出的所有条件，包括隐含条件。
【难度系数】
0.7
要确定实数a的取值范围，需结合题目给出的两个条件分析：首先该方程是一元二次方程，需满足二次项系数不为0；其次方程有两个不相等的实数根，需满足根的判别式大于0。分别求出两个条件对应的a的范围，再取公共部分即可得到最终取值范围。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，即：
$a-1≠0$，解得$a≠1$。
第二步：方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入得：
$\Delta=2^2 - 4×(a-1)×1 ＞ 0$
计算得：$4 - 4(a-1) ＞ 0$
展开化简：$4 -4a +4 ＞0$，即$8-4a＞0$
移项得：$4a ＜ 8$，解得$a＜2$。
第三步：结合两个条件，取交集得$a$的取值范围是$a＜2$且$a≠1$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的常考基础题，解题时容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”这个隐含条件，导致误选B选项，做题时要注意全面考虑题目给出的所有条件，包括隐含条件。
【难度系数】
0.7
10.对于形如$x^2 + ax = b^2(a＞0,b＞0)$的方程,有一种图解法:画$\mathrm{Rt}△ ABC$,使$∠ ACB=90°$,$BC=\frac{a}{2}$,$AC=b$,再在斜边$AB$上截取$BD=\frac{a}{2}$.则该方程的一个正根是(
A.CD 的长
B.AC 的长
C.AD 的长
D.BC 的长
C
).A.CD 的长
B.AC 的长
C.AD 的长
D.BC 的长
答案
10.C
解析
【分析】
解题时先利用直角三角形勾股定理表示出斜边AB的长度，再结合BD的长度得到AD的表达式；之后用配方法求解题干给出的一元二次方程的正根，将两者表达式进行对比，即可匹配到对应线段。这类数形结合的问题，核心是分别完成几何线段长度推导、代数方程求解，再做对应即可。
【解析】
1. 计算线段AD的长度：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=b$，$BC=\frac{a}{2}$，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{b^2+(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}$
已知$BD=\frac{a}{2}$，因此$AD=AB-BD=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}-\frac{a}{2}$。
2. 求解方程$x^2+ax=b^2$的正根：
对方程配方：$x^2+ax+(\frac{a}{2})^2=b^2+(\frac{a}{2})^2$
整理得：$(x+\frac{a}{2})^2=b^2+\frac{a^2}{4}$
由于求正根，开方取正号得：$x+\frac{a}{2}=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}$
移项得正根：$x=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}-\frac{a}{2}$
对比可知，该正根和AD的长度相等。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，将一元二次方程的解和几何线段长度对应，既检验了基础运算能力，也要求学生理解代数问题几何化的转化逻辑。
【难度系数】
0.7
解题时先利用直角三角形勾股定理表示出斜边AB的长度，再结合BD的长度得到AD的表达式；之后用配方法求解题干给出的一元二次方程的正根，将两者表达式进行对比，即可匹配到对应线段。这类数形结合的问题，核心是分别完成几何线段长度推导、代数方程求解，再做对应即可。
【解析】
1. 计算线段AD的长度：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=b$，$BC=\frac{a}{2}$，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{b^2+(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}$
已知$BD=\frac{a}{2}$，因此$AD=AB-BD=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}-\frac{a}{2}$。
2. 求解方程$x^2+ax=b^2$的正根：
对方程配方：$x^2+ax+(\frac{a}{2})^2=b^2+(\frac{a}{2})^2$
整理得：$(x+\frac{a}{2})^2=b^2+\frac{a^2}{4}$
由于求正根，开方取正号得：$x+\frac{a}{2}=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}$
移项得正根：$x=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}-\frac{a}{2}$
对比可知，该正根和AD的长度相等。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，将一元二次方程的解和几何线段长度对应，既检验了基础运算能力，也要求学生理解代数问题几何化的转化逻辑。
【难度系数】
0.7
