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2.(2023,聊城,8)如图,在平面直角坐标系中,△ABC各点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(-4,4),先作△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁,再把△A₁B₁C₁平移后得到△A₂B₂C₂.若B₂(2,1),则点A₂的坐标为(
A.(1,5)
B.(1,3)
C.(5,3)
D.(5,5)
B
).A.(1,5)
B.(1,3)
C.(5,3)
D.(5,5)
答案
2.B
解析
【分析】
要求点A₂的坐标，需按两个变换步骤推导：①先利用关于x轴对称的点的坐标特征，求出△ABC各点关于x轴对称的对应点A₁、B₁的坐标；②再根据已知的B₁、B₂坐标，确定平移的方向和距离，最后将A₁按照该平移规则变换，即可得到A₂的坐标。
【解析】
1. 求关于x轴对称的点的坐标：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数。
已知B(-1,3)，则其对称点B₁的坐标为(-1, -3)；已知A(-2,1)，则其对称点A₁的坐标为(-2, -1)。
2. 确定平移规则：对比B₁(-1,-3)和B₂(2,1)的坐标，横坐标变化为$2-(-1)=3$，即向右平移3个单位；纵坐标变化为$1-(-3)=4$，即向上平移4个单位。
3. 计算A₂坐标：将A₁(-2,-1)向右平移3个单位，横坐标变为$-2+3=1$；向上平移4个单位，纵坐标变为$-1+4=3$，因此A₂的坐标为(1,3)。
【答案】
B
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征；坐标平移规律
【点评】
本题是坐标变换的基础题型，结合了轴对称和平移两个知识点，只要熟练掌握两种变换对应的坐标变化规则，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.7
要求点A₂的坐标，需按两个变换步骤推导：①先利用关于x轴对称的点的坐标特征，求出△ABC各点关于x轴对称的对应点A₁、B₁的坐标；②再根据已知的B₁、B₂坐标，确定平移的方向和距离，最后将A₁按照该平移规则变换，即可得到A₂的坐标。
【解析】
1. 求关于x轴对称的点的坐标：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数。
已知B(-1,3)，则其对称点B₁的坐标为(-1, -3)；已知A(-2,1)，则其对称点A₁的坐标为(-2, -1)。
2. 确定平移规则：对比B₁(-1,-3)和B₂(2,1)的坐标，横坐标变化为$2-(-1)=3$，即向右平移3个单位；纵坐标变化为$1-(-3)=4$，即向上平移4个单位。
3. 计算A₂坐标：将A₁(-2,-1)向右平移3个单位，横坐标变为$-2+3=1$；向上平移4个单位，纵坐标变为$-1+4=3$，因此A₂的坐标为(1,3)。
【答案】
B
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征；坐标平移规律
【点评】
本题是坐标变换的基础题型，结合了轴对称和平移两个知识点，只要熟练掌握两种变换对应的坐标变化规则，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.7
3.点(4,1)关于第一、第三象限的角平分线的对称点的坐标为
(1,4)
.答案
3.(1,4)
解析
【分析】
首先明确第一、第三象限的角平分线对应的直线为y=x，我们需要找到点(4,1)关于这条直线的对称点。解题可以直接使用已学的关于直线y=x对称的点的坐标规律快速求解，也可以利用轴对称的性质，即对称轴是对应点连线的垂直平分线，通过坐标运算验证结果，符合八年级阶段的知识应用要求。
【解析】
1. 确定第一、三象限角平分线的特征：第一、三象限角平分线上所有点的横坐标与纵坐标相等，对应的直线表达式为$ y = x $。
2. 回忆关于直线$ y=x $对称的点的坐标规律：若原点坐标为$ (a,b) $，则其关于直线$ y=x $的对称点坐标为$ (b,a) $，即横纵坐标互换位置。
3. 对点(4,1)应用规律，将横纵坐标互换，得到对称点坐标为(1,4)。
（验证：两点连线的中点为$ (\frac{4+1}{2},\frac{1+4}{2})=(2.5,2.5) $，在直线$ y=x $上，符合轴对称对应点连线被对称轴垂直平分的性质，结果正确。）
【答案】
(1,4)
【知识点】
1. 对称点坐标特征
2. 一三象限角平分线性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系中特殊直线的对称点坐标求解，属于基础类题目，熟练掌握常见特殊直线的对称点坐标规律可快速作答，也可结合轴对称的性质推导验证答案，巩固对轴对称性质的理解。
【难度系数】
0.8
首先明确第一、第三象限的角平分线对应的直线为y=x，我们需要找到点(4,1)关于这条直线的对称点。解题可以直接使用已学的关于直线y=x对称的点的坐标规律快速求解，也可以利用轴对称的性质，即对称轴是对应点连线的垂直平分线，通过坐标运算验证结果，符合八年级阶段的知识应用要求。
【解析】
1. 确定第一、三象限角平分线的特征：第一、三象限角平分线上所有点的横坐标与纵坐标相等，对应的直线表达式为$ y = x $。
2. 回忆关于直线$ y=x $对称的点的坐标规律：若原点坐标为$ (a,b) $，则其关于直线$ y=x $的对称点坐标为$ (b,a) $，即横纵坐标互换位置。
3. 对点(4,1)应用规律，将横纵坐标互换，得到对称点坐标为(1,4)。
（验证：两点连线的中点为$ (\frac{4+1}{2},\frac{1+4}{2})=(2.5,2.5) $，在直线$ y=x $上，符合轴对称对应点连线被对称轴垂直平分的性质，结果正确。）
【答案】
(1,4)
【知识点】
1. 对称点坐标特征
2. 一三象限角平分线性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系中特殊直线的对称点坐标求解，属于基础类题目，熟练掌握常见特殊直线的对称点坐标规律可快速作答，也可结合轴对称的性质推导验证答案，巩固对轴对称性质的理解。
【难度系数】
0.8
4.(2024,临夏,14)如图,在△ABC中,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(4,1),点C的坐标为(3,4),点D在第一象限(不与点C重合),且△ABD与△ABC全等,点D的坐标是
(1,4)
.答案
4.(1,4)
解析
【分析】
解题时先抓住△ABD和△ABC有公共边AB这一特征，全等时AB为公共对应边。首先分析AB的坐标特征：A(0,1)、B(4,1)，可知AB平行于x轴，长度为4，其垂直平分线为直线x=2。因为D在第一象限且不与点C重合，先排除D在AB下方的情况（对应点纵坐标为负，不在第一象限），因此只需计算点C关于AB垂直平分线的对称点坐标，即可得到D的坐标。
【解析】
解：已知点A(0,1)，点B(4,1)，可得：
1. AB上所有点纵坐标均为1，即AB//x轴，AB的中点坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{1+1}{2})=(2,1)$，因此AB的垂直平分线为直线$x=2$。
2. 因为$△ ABD ≌ △ ABC$，AB为公共边，且D在第一象限不与C重合，所以点D和点C关于直线$x=2$对称。
3. 设D的坐标为$(x,y)$，对称点纵坐标不变，故$y=4$；横坐标满足$\frac{3+x}{2}=2$，解得$x=1$。
另一种全等情况为D在AB下方，此时D纵坐标为$1-(4-1)=-2$，不在第一象限，不符合要求，舍去。
因此点D的坐标为$(1,4)$。
【答案】
$(1,4)$
【知识点】
全等三角形的性质，坐标与图形性质，轴对称的性质
【点评】
本题是全等三角形与平面直角坐标系结合的基础题，解题时要先利用公共边确定对应关系，再结合限定条件（第一象限、不与C重合）筛选符合要求的解，注意分类讨论避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题时先抓住△ABD和△ABC有公共边AB这一特征，全等时AB为公共对应边。首先分析AB的坐标特征：A(0,1)、B(4,1)，可知AB平行于x轴，长度为4，其垂直平分线为直线x=2。因为D在第一象限且不与点C重合，先排除D在AB下方的情况（对应点纵坐标为负，不在第一象限），因此只需计算点C关于AB垂直平分线的对称点坐标，即可得到D的坐标。
【解析】
解：已知点A(0,1)，点B(4,1)，可得：
1. AB上所有点纵坐标均为1，即AB//x轴，AB的中点坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{1+1}{2})=(2,1)$，因此AB的垂直平分线为直线$x=2$。
2. 因为$△ ABD ≌ △ ABC$，AB为公共边，且D在第一象限不与C重合，所以点D和点C关于直线$x=2$对称。
3. 设D的坐标为$(x,y)$，对称点纵坐标不变，故$y=4$；横坐标满足$\frac{3+x}{2}=2$，解得$x=1$。
另一种全等情况为D在AB下方，此时D纵坐标为$1-(4-1)=-2$，不在第一象限，不符合要求，舍去。
因此点D的坐标为$(1,4)$。
【答案】
$(1,4)$
【知识点】
全等三角形的性质，坐标与图形性质，轴对称的性质
【点评】
本题是全等三角形与平面直角坐标系结合的基础题，解题时要先利用公共边确定对应关系，再结合限定条件（第一象限、不与C重合）筛选符合要求的解，注意分类讨论避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
5.如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(2,5),点 B 的坐标为(4,5).
(1)只用直尺(没有刻度)和圆规,求作一点 P,使点 P 同时满足下列两个条件:
①点 P 到 A,B 两点的距离相等;
②点 P 到∠xOy 两边的距离相等.
(2)直接写出点 P 的坐标.
(1)只用直尺(没有刻度)和圆规,求作一点 P,使点 P 同时满足下列两个条件:
①点 P 到 A,B 两点的距离相等;
②点 P 到∠xOy 两边的距离相等.
(2)直接写出点 P 的坐标.
答案
5.解:(1)如图,点 P 即为所求.
(2)点 P 的坐标为(3,3).
解析
【分析】
要找到同时满足两个条件的点P，可分别分析两个条件对应的点的轨迹：①到A、B两点距离相等的点，在AB的垂直平分线上，依据是到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②到∠xOy两边距离相等的点，在∠xOy的角平分线上，依据是角平分线上的点到角两边的距离相等。因此只需用尺规作出这两条线，交点即为所求点P。求坐标时，先确定AB垂直平分线对应的直线，再确定∠xOy角平分线对应的直线，联立即可得到交点坐标。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，即为AB的垂直平分线；
② 以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交x轴、y轴于两点，再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离的$\frac{1}{2}$为半径画弧，两弧在∠xOy内部交于一点，过O和该交点作射线，即为∠xOy的角平分线；
③ 两条直线的交点就是所求的点P。
(2) 计算点P坐标：
已知A(2,5)、B(4,5)，两点纵坐标相同，说明线段AB平行于x轴，因此AB的垂直平分线是垂直于x轴的直线，横坐标为$\frac{2+4}{2}=3$，即垂直平分线为直线$x=3$。
∠xOy是直角，其角平分线上的点横、纵坐标相等，即角平分线对应直线为$y=x$。
联立$x=3$和$y=x$，解得$x=3,y=3$，即点P坐标为(3,3)。
【答案】
(1)如图,点 P 即为所求.
(2)点 P 的坐标为(3,3)
【知识点】
线段垂直平分线性质，角平分线性质，坐标与图形计算
【点评】
本题结合尺规作图与坐标运算，考查对几何基本性质的应用能力，作图过程需规范掌握两种基本作图的操作方法，坐标计算结合线段与角的特征即可快速求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
要找到同时满足两个条件的点P，可分别分析两个条件对应的点的轨迹：①到A、B两点距离相等的点，在AB的垂直平分线上，依据是到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②到∠xOy两边距离相等的点，在∠xOy的角平分线上，依据是角平分线上的点到角两边的距离相等。因此只需用尺规作出这两条线，交点即为所求点P。求坐标时，先确定AB垂直平分线对应的直线，再确定∠xOy角平分线对应的直线，联立即可得到交点坐标。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，即为AB的垂直平分线；
② 以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交x轴、y轴于两点，再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离的$\frac{1}{2}$为半径画弧，两弧在∠xOy内部交于一点，过O和该交点作射线，即为∠xOy的角平分线；
③ 两条直线的交点就是所求的点P。
(2) 计算点P坐标：
已知A(2,5)、B(4,5)，两点纵坐标相同，说明线段AB平行于x轴，因此AB的垂直平分线是垂直于x轴的直线，横坐标为$\frac{2+4}{2}=3$，即垂直平分线为直线$x=3$。
∠xOy是直角，其角平分线上的点横、纵坐标相等，即角平分线对应直线为$y=x$。
联立$x=3$和$y=x$，解得$x=3,y=3$，即点P坐标为(3,3)。
【答案】
(1)如图,点 P 即为所求.
(2)点 P 的坐标为(3,3)
【知识点】
线段垂直平分线性质，角平分线性质，坐标与图形计算
【点评】
本题结合尺规作图与坐标运算，考查对几何基本性质的应用能力，作图过程需规范掌握两种基本作图的操作方法，坐标计算结合线段与角的特征即可快速求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
