1.(2024，兰州，4)计算：$2a(a-1)-2a^2=(\quad)$.

A.$a$
B.$-a$
C.$2a$
D.$-2a$

1.D

【分析】
本题考查整式的混合运算，解题思路如下：第一步，观察算式结构，包含单项式乘多项式和减法运算，需先依据单项式乘多项式的运算法则展开括号部分；第二步，去括号后识别同类项，再合并同类项得到最终化简结果，最后匹配对应选项即可，运算过程中注意符号的正确性。
【解析】
第一步，根据单项式乘多项式法则展开括号：
$2a(a-1) = 2a· a - 2a·1 = 2a^2 - 2a$
第二步，将展开结果代入原式，合并同类项：
$2a(a-1)-2a^2 = 2a^2 - 2a - 2a^2 = (2a^2 - 2a^2) - 2a = -2a$
因此计算结果为$-2a$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题，核心考查基础运算法则的掌握程度，运算时注意不要漏乘多项式的项、符号处理正确即可顺利求解。
【难度系数】
0.9

2.计算$-2x^2(x^2 - 3x - 1)+(-2x^2)(-x+1)$的结果为().

A.$2x^3+8x^4$
B.$-2x^2+8x^4$
C.$2x^4-8x^3$
D.$-2x^4+8x^3$

2.D

【分析】
本题考查整式的混合运算，解题思路分为三步：第一步，运用单项式乘多项式的法则，分别计算两个乘法部分，计算时注意负号的处理；第二步，去掉两个乘积的括号；第三步，合并同类项，将结果与选项对比即可得到答案。
【解析】
根据单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，计算如下：
原式$=-2x^2· x^2 + (-2x^2)·(-3x) + (-2x^2)·(-1) + (-2x^2)·(-x) + (-2x^2)·1$
$=-2x^4 + 6x^3 + 2x^2 + 2x^3 - 2x^2$
合并同类项：
$=-2x^4 + (6x^3+2x^3) + (2x^2-2x^2)$
$=-2x^4 + 8x^3$
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式，合并同类项，整式混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是熟练掌握整式乘法的运算法则，解题时要重点注意运算过程中的符号变化，避免因符号判断错误失分，掌握相关运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3.下列计算正确的是().

A.$(2xy)·(2x^2y - 3xy^2)=4x^2y^2 - 6x^3y$
B.$(-x)·(3x^2 + 2x + 1)= -3x^3 - 2x^2$
C.$(-2ab)·(ab - 3ab^2 -1)= -2a^2b^2 +6a^2b^3 +2ab$
D.$x^2(x - 3) -3x(x^2 -x -1)= -3x^3 +3x$

3.C

【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路为：根据单项式乘多项式的运算法则（用单项式去乘多项式的每一项，再把所有乘积相加，注意符号处理和同底数幂的运算规则），逐一计算四个选项的运算结果，和选项给出的结果对比，选出正确选项。
【解析】
根据单项式乘多项式法则$a(b+c+d)=ab+ac+ad$，逐一计算：
A选项：$(2xy)·(2x^2y - 3xy^2)=2xy·2x^2y + 2xy·(-3xy^2)=4x^3y^2 - 6x^2y^3$，与选项给出的$4x^2y^2 - 6x^3y$不符，A错误；
B选项：$(-x)·(3x^2 + 2x + 1)=-x·3x^2 + (-x)·2x + (-x)·1=-3x^3 - 2x^2 -x$，与选项给出的$-3x^3 - 2x^2$不符，漏乘了常数项，B错误；
C选项：$(-2ab)·(ab - 3ab^2 -1)=(-2ab)·ab + (-2ab)·(-3ab^2) + (-2ab)·(-1)=-2a^2b^2 +6a^2b^3 +2ab$，和选项结果一致，C正确；
D选项：先展开再合并同类项：
$x^2(x - 3) -3x(x^2 -x -1)=x^3 -3x^2 -3x^3 +3x^2 +3x=-2x^3 +3x$，与选项给出的$-3x^3 +3x$不符，D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，解题的核心是严格遵守运算法则，计算时要注意三点：一是不要漏乘多项式的常数项，二是负号乘多项式时每一项都要变号，三是同底数幂相乘时指数相加，不要和合并同类项的指数运算混淆。
【难度系数】
0.7

4.下列各式:①$2a^3(3a^2 - 2ab^2)$;②$-(2a^3)^2(b^2 - 3a)$;③$2a(2a^4 - a^2b^4)$;④$-a^4(4b^2 - 6a)$.其中相等的两个是().

A.①和②
B.②和③
C.①和④
D.③和④

4.C

【分析】
要判断哪两个式子相等，需先将4个式子分别化简后对比结果。化简时遵循整式运算顺序：先算乘方，再算乘法；进行单项式乘多项式运算时，要用单项式去乘多项式的每一项，再把所有积相加，计算过程中要注意符号变化，同底数幂相乘时底数不变、指数相加。
【解析】
分别计算四个式子的化简结果：
① $2a^3(3a^2 - 2ab^2) = 2a^3 · 3a^2 + 2a^3 · (-2ab^2) = 6a^5 - 4a^4b^2$
② 先算乘方：$-(2a^3)^2(b^2 - 3a) = -4a^6(b^2 - 3a) = -4a^6 · b^2 + (-4a^6) · (-3a) = -4a^6b^2 + 12a^7$
③ $2a(2a^4 - a^2b^4) = 2a · 2a^4 + 2a · (-a^2b^4) = 4a^5 - 2a^3b^4$
④ $-a^4(4b^2 - 6a) = -a^4 · 4b^2 + (-a^4) · (-6a) = 6a^5 - 4a^4b^2$
对比结果可知，①和④的化简结果相等。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式；幂的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查运算法则的熟练度，计算时注意不要漏乘项、不要弄错符号，即可准确得出结论。
【难度系数】
0.7

5.若$xy(x^m - \frac{1}{3}xy^n +1)$的展开式是一个三次二项式，则$mn$的值有可能是().

A.0
B.1
C.0或1
D.0或2

5.A

【分析】
解题时首先利用单项式乘多项式的法则将原式展开，再结合“三次二项式”的定义分析：①多项式的最高次数为3；②合并同类项后仅含2项。先计算展开式中每一项的次数，再根据最高次为3确定m、n的取值范围，最后根据二项式的要求判断m、n的取值，计算mn即可。
【解析】
先展开原式：
$\begin{aligned}xy(x^m - \frac{1}{3}xy^n +1)&=xy· x^m + xy·(-\frac{1}{3}xy^n) + xy·1\\&=x^{m+1}y - \frac{1}{3}x^2y^{n+1} + xy\end{aligned}$
展开后原式共有3项，要得到三次二项式，需满足：
1. 最高次项次数为3：
三项的次数分别为：第一项$m+1+1=m+2$，第二项$2+n+1=n+3$，第三项$1+1=2$，因此最高次项次数为3，可得$n+3≤3$且$m+2≤3$，因为m、n为非负整数，故$n=0$。
2. 合并后仅2项：
当$n=0$时，第二项为$-\frac{1}{3}x^2y$（次数为3），此时有两种情况：
① 第一项与第三项为同类项：即$m+1=1$，得$m=0$，合并后第一项和第三项为$xy+xy=2xy$，最终多项式为$-\frac{1}{3}x^2y + 2xy$，是三次二项式，此时$mn=0×0=0$；
② 第一项与第二项为同类项：即$m+1=2$，得$m=1$，合并后第一项和第二项为$x^2y - \frac{1}{3}x^2y=\frac{2}{3}x^2y$，最终多项式为$\frac{2}{3}x^2y + xy$，是三次二项式，此时$mn=1×0=0$。
综上，无论哪种情况，$mn$的值都是0。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘多项式、多项式的相关概念、同类项
【点评】
本题是整式乘法与多项式概念的综合应用题，解题的关键是准确展开原式，再结合多项式次数、项数的限制条件分类讨论参数取值，要注意整式的指数均为非负整数这一隐含条件。
【难度系数】
0.65

6.计算$(-4x^2)·(-4x^3 + 3x^2y +7xy^3)$的结果为.

6.$16x^5 -12x^4 y -28x^3 y^3$

【分析】
本题属于单项式乘多项式的运算题，解题思路如下：首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。运算时需注意两点：①符号判断：同号相乘得正，异号相乘得负；②同底数幂的运算规则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。按照规则分别计算单项式与多项式三个项的乘积，再合并结果即可。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开计算：
$\begin{aligned}(-4x^2)·(-4x^3 + 3x^2y +7xy^3)&=(-4x^2)·(-4x^3) + (-4x^2)·3x^2y + (-4x^2)·7xy^3\\&= [(-4)×(-4)]x^{2+3} + [(-4)×3]x^{2+2}y + [(-4)×7]x^{2+1}y^3\\&=16x^5 -12x^4y -28x^3y^3\end{aligned}$
【答案】
$16x^5 -12x^4 y -28x^3 y^3$
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法；单项式乘单项式
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算规则，运算时需重点注意符号的判断以及同底数幂的指数运算，避免出现系数计算错误、指数混淆相加与相乘的失误。
【难度系数】
0.8

7. $(3x)^2(\dfrac{1}{3}x^2 - \dfrac{1}{9}x - 2) =$ .

7.$3x^4 -x^3 -18x^2$

【分析】
这道题属于整式乘法运算，解题思路分为两步：第一步先计算单项式部分的乘方，化简得到最简单项式；第二步根据单项式乘多项式的运算法则，用化简后的单项式乘多项式的每一项，再把所有乘积相加。计算过程中要注意每一项的符号、同底数幂的指数运算规则，不要漏乘多项式的项。
【解析】
解：先计算乘方部分：
$(3x)^2=3^2· x^2=9x^2$
再根据单项式乘多项式的分配律展开计算：
$9x^2(\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{1}{9}x-2)$
$=9x^2·\dfrac{1}{3}x^2 + 9x^2·(-\dfrac{1}{9}x) + 9x^2·(-2)$
分别计算每一项：
第一项：$9×\dfrac{1}{3}· x^{2+2}=3x^4$
第二项：$9×(-\dfrac{1}{9})· x^{2+1}=-x^3$
第三项：$9×(-2)· x^2=-18x^2$
合并各项得最终结果：$3x^4 -x^3 -18x^2$
【答案】
$3x^4 -x^3 -18x^2$
【知识点】
积的乘方，单项式乘多项式，同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，解题时要注意运算顺序，先算乘方再算乘法，运算过程中避免漏乘多项式的项，同时要准确判断每一项的符号，熟练掌握幂的运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8

8.要使$(x^2 + ax -1)(-2x^3)$的展开式中不含$x^4$项，则$a$的值为。

8.0

【分析】
解题思路：首先根据单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再定位展开式中$x^4$项的系数；题目要求展开式不含$x^4$项，说明$x^4$项的系数为0，据此列方程求解即可得到$a$的值。
【解析】
解：根据单项式乘多项式的法则展开原式：
$\begin{aligned}(x^2 + ax -1)(-2x^3)&=x^2·(-2x^3)+ax·(-2x^3)+(-1)·(-2x^3)\\&=-2x^5 -2a x^4 + 2x^3\end{aligned}$
∵展开式中不含$x^4$项，即$x^4$项的系数为0，
∴$-2a=0$，
解得$a=0$。
【答案】
0
【知识点】
单项式乘多项式；单项式的系数；不含某项的条件
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，解题核心是明确“展开式不含某一项”等价于该项的系数为0，计算时需注意单项式相乘时的符号和指数运算规则，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8

9.某同学在计算$-3x^2$乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是$x^2 - x +1$，由此可以推断正确的计算结果是。

9.$-12x^4 +3x^3 -3x^2$

【分析】
本题需要先根据错误的加法运算反推出原本要相乘的多项式，再代入正确的乘法运算得到结果。解题思路分为两步：第一步，根据加法运算中“和减去一个加数等于另一个加数”的关系，用错误计算得到的结果$x^2 - x +1$减去已知的加数$-3x^2$，即可求出未知多项式；第二步，用$-3x^2$乘以求出的多项式，按照单项式乘多项式的运算法则计算，就能得到正确结果。
【解析】
解：设这个多项式为$A$，由题意得：
$-3x^2 + A = x^2 - x + 1$
$\begin{aligned}∴A&=(x^2 - x + 1) - (-3x^2)\\&=x^2 - x + 1 + 3x^2\\&=4x^2 - x + 1\end{aligned}$
则正确的计算结果为：
$\begin{aligned}-3x^2 · A&=-3x^2(4x^2 - x + 1)\\&=-3x^2 · 4x^2 + (-3x^2) · (-x) + (-3x^2) · 1\\&=-12x^4 + 3x^3 - 3x^2\end{aligned}$
【答案】
$-12x^4 +3x^3 -3x^2$
【知识点】
整式的加减运算，单项式乘多项式
【点评】
本题考查逆向思维的运用，需要先通过错误运算反推未知整式，再代入正确运算求解，解题时要注意去括号的符号变化，以及单项式乘多项式时系数相乘、同底数幂指数相加的运算规则，避免出现符号或指数计算错误。
【难度系数】
0.7

10.如图，两个正方形边长分别为a，b，若$a^2 + b^2 =23$，$ab=13$，则阴影部分的面积为。

10.5

【分析】
要计算阴影部分的面积，可通过“总面积减空白面积”的思路求解：先计算大小两个正方形的总面积，再分别求出两块空白三角形的面积，用总面积减去两个空白面积得到阴影面积的表达式，化简后将已知的$a^2+b^2$和$ab$整体代入计算即可，不需要单独求解$a$、$b$的数值。
【解析】
解：阴影部分面积等于两个正方形的面积和减去两块空白三角形的面积。
大小正方形总面积：$S_{总}=a^2 + b^2$
大正方形内左上角空白直角三角形面积：$S_{空1}=\frac{1}{2}a^2$
下方底为$a+b$、高为$b$的空白直角三角形面积：$S_{空2}=\frac{1}{2}b(a+b)$
则阴影面积：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=S_{总}-S_{空1}-S_{空2}\\&=a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b(a+b)\\&=\frac{1}{2}a^2 + b^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2\\&=\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}(a^2 + b^2 - ab)\end{aligned}$
将$a^2 + b^2=23$，$ab=13$代入上式得：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}×(23 - 13)=5$
【答案】
5
【知识点】
面积的和差计算，整式的化简，整体代入求值
【点评】
本题将几何面积计算与整式化简相结合，运用整体代入的思想可以大大简化运算，避免了求解未知数的复杂过程，解题的关键是正确表示出各部分的面积。
【难度系数】
0.7

11.计算：
(1)$(-2x^3y) · (x^2 + 3x -6)$；
(2)$(a^2b + ab^2 -3b^3) · (4ab^2) - (-2ab^2)^2$。

11.解:(1)原式$=-2x^5 y -6x^4 y +12x^3 y$；
(2)原式$=4a^3 b^3 +4a^2 b^4 -12ab^5 -4a^2 b^4$
$=4a^3 b^3 -12ab^5$.

【分析】
本题考查整式的乘法运算，解题思路如下：
(1) 第一小题是单项式乘多项式，依据单项式乘多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，运算时注意结合同底数幂相乘的法则（底数不变，指数相加），同时要注意各项的符号处理。
(2) 第二小题是整式的混合运算，遵循“先乘方，再乘除，后加减”的运算顺序，先分别计算单项式乘多项式、积的乘方，再识别同类项进行合并即可得到结果。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则展开计算：
原式$= (-2x^3y)·x^2 + (-2x^3y)·3x + (-2x^3y)·(-6)$
$= -2x^{3+2}y -6x^{3+1}y + 12x^3y$
$= -2x^5 y -6x^4 y +12x^3 y$
(2) 按照运算顺序分步计算：
① 计算单项式乘多项式：
$(a^2b + ab^2 -3b^3) · 4ab^2 = a^2b·4ab^2 + ab^2·4ab^2 + (-3b^3)·4ab^2 = 4a^3b^3 + 4a^2b^4 -12ab^5$
② 计算积的乘方：
$(-2ab^2)^2 = (-2)^2·a^2·(b^2)^2 = 4a^2b^4$
③ 合并同类项：
原式$= 4a^3 b^3 +4a^2 b^4 -12ab^5 -4a^2 b^4$
$= 4a^3 b^3 -12ab^5$
【答案】
(1) $-2x^5 y -6x^4 y +12x^3 y$；
(2) $4a^3 b^3 -12ab^5$
【知识点】
单项式乘多项式；幂的运算；合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题，重点考查运算法则的掌握程度，运算时需注意符号的变化，幂的指数运算不要出错，合并同类项时要准确判断同类项，避免不必要的计算失误。
【难度系数】
0.8