规律方法 1. 在平面直角坐标系中求图形的面积,当图形的面积不易直接求出时,常用的一个方法是先把图形分割成易于计算面积的两个或多个图形,再利用图形的顶点坐标分别求出这些分割而成的图形的面积,最后相加.
2. 在典型例题3的(3)(4)问中,可以把解方程和解不等式的问题转化,利用函数的图象求解.解方程就是求两个函数图象公共点的横坐标;解不等式就是求一个函数图象在另一个函数图象的上方或下方时,对应的$ x $的取值范围.

【分析】
这两类规律是解决平面直角坐标系中几何面积问题、函数与方程不等式综合问题的核心思路。遇到坐标系中不规则图形求面积时，直接套用通用面积公式无法计算，因此要将复杂图形拆分为三角形、矩形等熟悉的规则图形，利用坐标可直接计算线段长度的特点分别求面积再求和；遇到方程、不等式求解问题时，纯代数计算容易出现漏解、错算的问题，利用函数图象的几何意义，将抽象的代数问题转化为直观的图象位置关系判断，就能快速得到结果，降低解题难度。
【解析】
1. 平面直角坐标系图形面积计算方法应用：
（1）先判断待求图形类型：如果是边平行于坐标轴的规则图形，直接代入对应面积公式计算；如果是不规则图形，优先选用割补法：
①分割法：过图形的顶点作x轴或y轴的平行线，将原图形分割为直角三角形、直角梯形、矩形等易计算面积的规则图形；
②根据坐标计算各规则图形的边长：水平线段长度=两端点横坐标差的绝对值，竖直线段长度=两端点纵坐标差的绝对值，代入对应面积公式算出各部分面积；
③累加所有分割部分的面积，即可得到原图形的总面积。也可选用补形法，将原图形补为大的规则图形，再减去周围空白部分的面积，最终结果一致。
2. 函数与方程、不等式的转化应用：
（1）解方程：关于x的两个函数表达式相等的方程，它的解就对应两个函数图象交点的横坐标，直接读取交点的横坐标即可得到方程的解，无需复杂代数计算；
（2）解不等式：形如“函数1表达式＞函数2表达式”的不等式，它的解集对应函数1的图象位于函数2图象上方的所有点的横坐标的取值范围；若为“＜”则对应函数1图象在函数2图象下方的区域，不等式带等号时，解集包含交点的横坐标。
【答案】
1. 平面直角坐标系中求不规则图形面积常用割补法，将图形分割为易计算面积的规则图形后分别计算，再求和得到总面积；2. 解方程可转化为求两个函数图象公共点的横坐标，解不等式可转化为求一个函数图象在另一个函数图象上方或下方时对应的x的取值范围。
【知识点】
坐标系面积计算、函数与方程不等式的关系、数形结合思想
【点评】
这两类方法是函数与几何综合题型的常用基础方法，割补法能高效解决坐标系中的不规则图形面积问题，数形结合的转化思想可以将抽象的代数问题直观化，简化计算过程，降低出错概率，需要熟练掌握其应用场景和操作步骤。
【难度系数】
0.7

3.若$A(-5,2),B(2,-5)$是一次函数$y=kx+b(k$为常数,$k≠0)$的图象和反比例函数$y=\frac{m}{x}(m$为常数,$m≠0)$的图象的两个公共点,则关于$x$的方程$kx+b=\frac{m}{x}$的解是.

3. $x_1=-5,x_2=2$

【分析】
要求解方程$kx+b=\frac{m}{x}$的解，首先明确该方程解的几何意义：它对应一次函数$y=kx+b$和反比例函数$y=\frac{m}{x}$图象交点的横坐标。题目已经直接给出两个函数图象的两个公共点坐标，只需提取两个点的横坐标即可得到方程的解，无需额外计算函数解析式。
【解析】
因为一次函数$y=kx+b$和反比例函数$y=\frac{m}{x}$图象交点的横坐标就是方程$kx+b=\frac{m}{x}$的解，
已知两个交点为$A(-5,2)$、$B(2,-5)$，其横坐标分别为$x=-5$和$x=2$，
所以方程$kx+b=\frac{m}{x}$的解为$x_1=-5,x_2=2$。
【答案】
$x_1=-5,x_2=2$
【知识点】
一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、函数与方程的关系
【点评】
本题核心考查函数图象交点与对应方程解的关联，只要理解两个函数解析式联立得到的方程的解就是两函数图象交点的横坐标，无需计算就能快速得出结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

4. 如图，一次函数 $ y = kx + b(k ≠ 0) $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{m}{x}(m ≠ 0) $ 的图象交于点 $ A(-3,n) $，点 $ B(2,m) $，则关于 $ x $ 的不等式 $ kx + b ＜ \frac{m}{x} $ 的解集为 。

4. $x＜-3$ 或 $0＜x＜2$

【分析】
要解决一次函数值小于反比例函数值的不等式问题，可利用数形结合思想：不等式$kx + b ＜ \frac{m}{x}$的几何意义是一次函数$y=kx+b$的图象位于反比例函数$y=\frac{m}{x}$图象下方时对应的$x$的取值范围。已知两函数交点的横坐标为$x=-3$和$x=2$，且反比例函数定义域为$x≠0$，因此分$x＜0$和$x＞0$两个区间，结合图象上下位置关系即可判断对应$x$的范围。
【解析】
不等式$kx + b ＜ \frac{m}{x}$的解对应一次函数图象在反比例函数图象下方的$x$的取值范围：
1. 当$x＜0$时，两函数交点横坐标为$-3$，观察图象可得，$x＜-3$时一次函数图象在反比例函数图象下方，满足不等式；$-3＜x＜0$时一次函数图象在上方，不满足。
2. 当$x＞0$时，两函数交点横坐标为$2$，观察图象可得，$0＜x＜2$时一次函数图象在反比例函数图象下方，满足不等式；$x＞2$时一次函数图象在上方，不满足。
综上，不等式的解集为$x＜-3$或$0＜x＜2$。
【答案】
$x＜-3$ 或 $0＜x＜2$
【知识点】
一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；图象法解不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心是理解函数值的大小关系和图象上下位置的对应关系，解题时注意不要忽略反比例函数自变量$x≠0$的限制，结合交点坐标分区间判断即可。
【难度系数】
0.7

1. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 图象上的一点,过点 A 分别作 $AM⊥x$ 轴,垂足为 M, $AN⊥y$ 轴,垂足为 N. 若四边形 AMON 的面积为 2,则 k 的值为 （）

A.2
B.-2
C.1
D.-1

（第1题图）
（第2题图）

1. A

【分析】
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点，分别向x轴、y轴作垂线，所得矩形的面积等于|k|。第一步先判断四边形AMON的形状，得出它的面积和|k|的关系，求出k的可能取值；第二步结合反比例函数图象所在的象限判断k的正负，最终确定k的值。
【解析】
∵ AM⊥x轴，AN⊥y轴，且∠MON=90°，
∴ 四边形AMON是矩形，
根据反比例函数k的几何意义可知，矩形AMON的面积$S=|k|=2$，
解得$k=\pm 2$，
又
∵ 反比例函数图象位于第一、三象限，
∴ $k＞0$，
∴ $k=2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，核心考查k的几何意义的应用，解题时要注意结合函数图象所在象限判断k的符号，避免漏看符号导致错选。
【难度系数】
0.8

2.如图,反比例函数$y_1=\frac{3}{x}$的图象与一次函数$y_2=kx+b(k≠0)$的图象交于A,B两点.若$y_1＞y_2$,则x的取值范围是 （）

A.$1＜x＜3$
B.$x＜0$或$1＜x＜3$
C.$0＜x＜1$
D.$0＜x＜1$或$x＞3$

2. D

【分析】
要解决反比例函数与一次函数值大小比较的问题，核心是利用函数图象的位置判断：同一x取值下，图象在上方的函数值更大。首先找到两个函数交点的横坐标，将x轴划分为不同区间，逐个区间判断反比例函数图象是否在一次函数图象上方，即可得到$y_1＞y_2$时x的取值范围。
【解析】
由图可知，反比例函数$y_1=\frac{3}{x}$和一次函数$y_2=kx+b$的交点A横坐标为1，交点B横坐标为3，我们分区间讨论：
1. 当$x＜0$时：反比例函数图象位于第三象限，$y_1$为负数；一次函数图象位于第二象限，$y_2$为正数，此时$y_1＜y_2$，不符合要求；
2. 当$0＜x＜1$时：观察图象，反比例函数图象在一次函数图象上方，此时$y_1＞y_2$，符合要求；
3. 当$1＜x＜3$时：观察图象，一次函数图象在反比例函数图象上方，此时$y_2＞y_1$，不符合要求；
4. 当$x＞3$时：观察图象，反比例函数图象在一次函数图象上方，此时$y_1＞y_2$，符合要求。
综上，$y_1＞y_2$时x的取值范围是$0＜x＜1$或$x＞3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象性质、一次函数图象性质、函数值大小比较
【点评】
本题是函数图象比较大小的典型题，解题关键是理解“图象位置越高对应函数值越大”的规律，讨论时要注意划分完整区间，避免遗漏$x＞3$的范围，同时要关注x的正负对应的不同象限的函数图象特征。
【难度系数】
0.7