6[中]如图,在△ABC中,∠A=52°,∠ABC与∠ACB的平分线交于点D₁,∠ABD₁与∠ACD₁的平分线交于点D₂,…,依次类推,∠ABD₃与∠ACD₃的平分线交于点D₄,则∠D₄的度数是。

6. 60° 【解析】
∵ ∠A = 52°,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 D₁,
∴ ∠ABC+∠ACB = 128°,∠CBD₁ = 1/2 ∠ABC, ∠BCD₁ = 1/2 ∠ACB,
∴ ∠CBD₁+∠BCD₁ = 1/2 ( ∠ABC + ∠ACB ) = 64°,即∠ABD₁+∠ACD₁ = 64°,
∴ ∠D₁ = 116°.
∵ ∠ABD₁ 与 ∠ACD₁ 的平分线交于点 D₂,
∴ ∠D₂BD₁+∠D₂CD₁ = 1/2(∠ABD₁+∠ACD₁) = 32°,
∴ ∠CBD₂+∠BCD₂ = ∠D₁BD₂+∠D₁BC+∠D₂CD₁+∠D₁CB = 96°,
∴ ∠D₂ = 84°. 同理可得∠D₃ = 68°,∠D₄ = 60°. 故答案为 60°.

7[2026湖南长沙期末,中]如图,点C为线段AB上一点,分别以AC,BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE,且∠D = 2∠DAC,∠E = 2∠EBC,∠1=12°,若∠DAC的平分线与∠EBC的平分线交于点P,则∠2的度数为。

7. 148° 【解】设∠PAB = x°, ∠PBA = y°.
∵ AP, BP 分别是 ∠DAC 与 ∠EBC 的平分线,
∴ ∠DAC = 2∠PAB = 2x°, ∠EBC = 2∠PBA = 2y°.
∵ ∠D = 2∠DAC, ∠E = 2∠EBC,
∴ ∠D = 4x°,∠E = 4y°.
∵ ∠D+∠ACD+∠DAC = 180°,∠E+∠EBC+∠ECB = 180°,
∴ ∠ACD = 180°−∠D−∠DAC = 180°−6x°, ∠ECB = 180°−∠E−∠EBC = 180°−6y°.
∵ ∠1 = 12°,
∴ 180°−(180°−6x°)−(180°−6y°) = 12°,
∴ 180°−180°+6x°−180°+6y° = 12°,
∴ 6(x°+y°) = 192°,
∴ x°+y° = 32°,
∴ ∠2 = 180°−(x°+y°) = 148°. 故答案为 148°.

8[较难]如图,在$△ ABC$中,$∠ A=α$,$∠ ABC$的平分线与$△ ACB$的外角($∠ ACD$)的平分线交于点$A_1$；$∠ A_1BC$的平分线与$△ A_1CB$的外角($∠ A_1CD$)的平分线交于点$A_2$；…,以此类推,则$∠ A_{2022}=$.(用含$α$的式子表示)

$8. 1/2^2022 α 【$解析】
∵ ∠ACD = 180°−∠ACB,∠ABC 的平分线与△ACB 的外角(∠ACD)的平分线交于点 A₁,
∴ ∠A₁ = 180°−(∠A₁BC+∠ACB+∠ACA₁) = 180°−1/2∠ABC−∠ACB−1/2(180°−∠ACB) = 90°−1/2(180°−∠A) = 1/2∠A. 同理可得 ∠A₂ = 1/2∠A₁ = 1/2²∠A,∠A₃ = 1/2 ∠A₂ = 1/2³ ∠A, …,
∴$ ∠A₂₀₂₂ = 1/2^2022∠A. $
∵ ∠A = α,
∴$ ∠A₂₀₂₂ = 1/2^2022 α. $故答案为$ 1/2^2022 α.$

9[2026 四川巴中期末,中]如图,△ABC的边BC在直线MN上,∠ABC与∠ACN的平分线交于点D,∠BAC的平分线交BD于点E.若∠AEB=α,∠MBA=β,∠D=γ,则下列关系正确的是 ()


A.$2α + 2\gamma - β = 180°$
B.$2β + 2\gamma - α = 180°$
C.$2α - 2\gamma + β = 180°$
D.$β - 2\gamma + α = 180°$

9. A 【解析】设∠CBD = x, ∠DCN = m, ∠CAE = y.
∵ ∠ABC 与 ∠ACN 的平分线交于点 D,
∴ ∠ABD = ∠CBD = x, ∠ACD = ∠NCD = m.
∵ ∠BAC 的平分线交 BD 于点 E,
∴ ∠BAE = ∠CAE = y.
∵ ∠ACN 是 △ABC 的外角,
∴ 2x+2y = 2m,
∴ x+y = m.
∵ ∠DCN 是 △BCD 的外角,
∴ x+γ = m,
∴ y = γ.
∵ ∠ABC+∠ABM = 2x+β = 180°,
∴ x = 90°−1/2β. 在 △ABE 中,180°−α = x+y = 90°−1/2β+y,
∴ 180°−α = 90°−1/2β+γ,
∴ 2α+2γ−β = 180°,故选 A.

10[2025广东湛江校级期中,中]在$△ ABC$中，$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线相交于点$P$.
(1)如图(1),若$∠ BPC = α$,则$∠ A =$;(用含$α$的代数式表示)
(2)如图(2),作$△ ABC$外角$∠ MBC,∠ NCB$的平分线交于点$Q$,试探究$∠ Q$与$∠ BPC$之间的数量关系,并说明理由.

10.【解】(1) 因为 BP, CP 分别平分 ∠ABC 与 ∠ACB, 所以 ∠PBC = 1/2 ∠ABC, ∠PCB = 1/2 ∠ACB. 因为 ∠BPC = 180°−( ∠PBC + ∠PCB ), 所以 ∠BPC = 180°−1/2( ∠ABC+∠ACB ), 所以 ∠BPC = 180°−1/2(180°−∠A) = 90°+1/2∠A. 因为 ∠BPC = α, 所以 ∠A = 2α−180°. 故答案为 2α−180°.
(2) ∠BPC+∠Q = 180°. 理由: 因为 BQ,CQ 分别平分 ∠MBC, ∠NCB, 所以 ∠QBC = 1/2∠CBM,∠BCQ = 1/2∠BCN, 所以 ∠QBC+∠QCB = 1/2(∠CBM+∠BCN), 所以 ∠QBC+∠QCB = 1/2(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC) = 1/2(180°+∠A), 所以 ∠QBC+∠QCB = 90°+1/2∠A, 所以 ∠Q = 180°−(90°+1/2∠A) = 90°−1/2∠A. 由(1)知∠BPC = 90°+1/2∠A, 所以 ∠BPC+∠Q = 180°.

11[中]如图,在$△ ABC$中,$AB=8$,$BC=10$,$CF ⊥ AB$于点$F$,$AD ⊥ BC$于点$D$,$AD$与$CF$交于点$E$,$∠ B=46°$.
(1)求$∠ AEC$的度数.
(2)若$AD=6$,求$CF$的长.

11.【解】(1)
∵ CF⊥AB,
∴ ∠CFB = 90°.
∵ ∠B = 46°,
∴ ∠BCF = 44°.
∵ AD⊥BC,
∴ ∠ADC = 90°,
∴ ∠AEC = ∠ADC + ∠BCF = 90° + 44° = 134°.
(2)
∵ CF⊥AB,AD⊥BC,
∴ S△ABC = 1/2 BC · AD = 1/2 AB · CF.
∵ AB = 8, BC = 10, AD = 6,
∴ CF = (AD · BC)/AB = (6×10)/8 = 15/2.