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12[较难]（1）探究：如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若∠B=30°，则∠ACD的度数是
（2）拓展：如图（2），∠MCN=90°，射线CP在∠MCN的内部，点A，B分别在CM，CN上，分别过点A，B作AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，若∠CBE=70°，求∠CAD的度数；
（3）应用：如图（3），点A，B分别在∠MCN的边CM，CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D，E在射线CP上，连接AD，BE，若∠ADP=∠BEP=60°，则∠CAD + ∠CBE + ∠ACB =
30
°；（2）拓展：如图（2），∠MCN=90°，射线CP在∠MCN的内部，点A，B分别在CM，CN上，分别过点A，B作AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，若∠CBE=70°，求∠CAD的度数；
（3）应用：如图（3），点A，B分别在∠MCN的边CM，CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D，E在射线CP上，连接AD，BE，若∠ADP=∠BEP=60°，则∠CAD + ∠CBE + ∠ACB =
120
°。答案
12.【解】(1) 在△ABC 中,∠ACB = 90°, ∠B = 30°,
∴ ∠A = 60°.
∵ CD⊥AB,
∴ ∠ADC = 90°,
∴ ∠ACD = 90°−∠A = 30°. 故答案为 30.
(2)
∵ BE⊥CP,
∴ ∠BEC = 90°.
∵ ∠CBE = 70°,
∴ ∠BCE = 90°−∠CBE = 20°.
∵ ∠MCN = 90°,
∴ ∠ACD = 90°−∠BCE = 70°.
∵ AD⊥CP,
∴ ∠CAD = 90°−∠ACD = 20°.
(3)
∵ ∠ADP 是 △ACD 的外角,
∴ ∠ADP = ∠ACD+∠CAD = 60°, 同理,∠BEP = ∠BCE+∠CBE = 60°,
∴ ∠CAD + ∠CBE + ∠ACB = ∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE = ( ∠CAD+∠ACD ) + ( ∠CBE + ∠BCE ) = 120°. 故答案为 120.
∴ ∠A = 60°.
∵ CD⊥AB,
∴ ∠ADC = 90°,
∴ ∠ACD = 90°−∠A = 30°. 故答案为 30.
(2)
∵ BE⊥CP,
∴ ∠BEC = 90°.
∵ ∠CBE = 70°,
∴ ∠BCE = 90°−∠CBE = 20°.
∵ ∠MCN = 90°,
∴ ∠ACD = 90°−∠BCE = 70°.
∵ AD⊥CP,
∴ ∠CAD = 90°−∠ACD = 20°.
(3)
∵ ∠ADP 是 △ACD 的外角,
∴ ∠ADP = ∠ACD+∠CAD = 60°, 同理,∠BEP = ∠BCE+∠CBE = 60°,
∴ ∠CAD + ∠CBE + ∠ACB = ∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE = ( ∠CAD+∠ACD ) + ( ∠CBE + ∠BCE ) = 120°. 故答案为 120.
13[2025浙江温州质检,中]如图,△ABC中,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,∠EAD=15°,∠B=50°,求∠C的度数.
答案
13.【解】
∵ AD 是 BC 边上的高, ∠B = 50°,
∴ ∠ADB = 90°,
∴ ∠BAD = 90°−50° = 40°.
∵ ∠EAD = 15°,
∴ ∠BAE = ∠BAD−∠EAD = 40°−15° = 25°.
∵ AE 是 ∠BAC 的平分线,
∴ ∠BAC = 2 ∠BAE = 50°. 在 △ABC 中,∠BAC+∠B+∠C = 180°, ∠B = 50°, ∠BAC = 50°,
∴ ∠C = 180°−∠B−∠BAC = 180°−50°−50° = 80°.
∵ AD 是 BC 边上的高, ∠B = 50°,
∴ ∠ADB = 90°,
∴ ∠BAD = 90°−50° = 40°.
∵ ∠EAD = 15°,
∴ ∠BAE = ∠BAD−∠EAD = 40°−15° = 25°.
∵ AE 是 ∠BAC 的平分线,
∴ ∠BAC = 2 ∠BAE = 50°. 在 △ABC 中,∠BAC+∠B+∠C = 180°, ∠B = 50°, ∠BAC = 50°,
∴ ∠C = 180°−∠B−∠BAC = 180°−50°−50° = 80°.
14[较难]综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动.
【操作判断】(1)在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°，作∠BAC的平分线AD交BC于点D.
①操作一:在图(1)中，用三角尺作BC边上的高AE，垂足为点E，求∠DAE的度数；
②操作二:如图(2)，在AD上任取点F，作FE⊥BC，垂足为点E，直接写出∠DFE的度数.
【迁移探究】(2)如图(3)，将操作二中“在AD上任取点F”改为“在DA的延长线上任取点F”，其他条件不变，判断∠DFE的度数是否会发生变化，并说明理由.
【拓展应用】(3)如图(4)、图(5)，在△ABC中，∠ABC=α，∠ACB=β，AD是∠BAC的平分线，在直线AD上任取点F，过点F作EF⊥AD与直线BC交于点E，请求出∠DEF与α，β之间的数量关系.
【操作判断】(1)在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°，作∠BAC的平分线AD交BC于点D.
①操作一:在图(1)中，用三角尺作BC边上的高AE，垂足为点E，求∠DAE的度数；
②操作二:如图(2)，在AD上任取点F，作FE⊥BC，垂足为点E，直接写出∠DFE的度数.
【迁移探究】(2)如图(3)，将操作二中“在AD上任取点F”改为“在DA的延长线上任取点F”，其他条件不变，判断∠DFE的度数是否会发生变化，并说明理由.
【拓展应用】(3)如图(4)、图(5)，在△ABC中，∠ABC=α，∠ACB=β，AD是∠BAC的平分线，在直线AD上任取点F，过点F作EF⊥AD与直线BC交于点E，请求出∠DEF与α，β之间的数量关系.
答案
14.【解】(1) ①如图,AE 即为所求.
∵ 在△ABC 中,∠B = 40°, ∠C = 70°,
∴ ∠BAC = 180°−40°−70° = 70°.
∵ AD 是 ∠BAC 的平分线,
∴ ∠BAD = 1/2 ∠BAC = 35°.
∵ ∠ADC 是 △ABD 的一个外角,
∴ ∠ADC = ∠B+∠BAD = 40°+35° = 75°.
∵ 用三角尺作 BC 边上的高 AE, 垂足为点 E,
∴ ∠DAE = 90°−75° = 15°.
②∠DFE = 15°.
∵ ∠ADC 是 △ABD 的一个外角,
∴ ∠ADC = ∠B+∠BAD = 40°+35° = 75°.
∵ FE⊥BC,
∴ ∠DFE = 90°−∠ADC = 15°.
(2) 不会发生变化. 理由如下:
∵ ∠BAD = 1/2 ∠BAC = 35°, ∠B = 40°, ∠ADC 是 △ABD 的一个外角,
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD = 40° + 35° = 75°.
∵ FE ⊥ BC,
∴ ∠DFE = 90°−∠ADC = 15°,
∴ ∠DFE 的度数不会发生变化.
(3) 如题图(4)所示,
∵ 在△ABC 中,∠ABC = α, ∠ACB = β,
∴ ∠BAC = 180°−α−β.
∵ AD 是 ∠BAC 的平分线,
∴ ∠BAD = 1/2 ∠BAC = 90°−(α+β)/2.
∵ ∠ADC 是 △ABD 的一个外角,
∴ ∠ADC = ∠ABC + ∠BAD = α + 90°−(α+β)/2 = 90°+(α−β)/2.
∵ FE⊥AD,
∴ ∠DEF = 90°−∠ADC = 90°−(90°+(α−β)/2) = (β−α)/2.
如题图(5)所示,
∵ 在△ABC 中,∠ABC = α, ∠ACB = β,
∴ ∠BAC = 180°−α−β.
∵ AD 是 ∠BAC 的平分线,
∴ ∠BAD = 1/2 ∠BAC = 90°−(α+β)/2,
∴ ∠ADB = 180°−∠ABC − ∠BAD = 180°−α−(90°−(α+β)/2) = 90°−(α−β)/2.
∵ FE ⊥ AD,
∴ ∠DEF = 90°−∠ADB = 90°−( 90°−(α−β)/2 ) = (α−β)/2. 综上所述, ∠DEF = (β−α)/2 或 ∠DEF = (α−β)/2.
∵ 在△ABC 中,∠B = 40°, ∠C = 70°,
∴ ∠BAC = 180°−40°−70° = 70°.
∵ AD 是 ∠BAC 的平分线,
∴ ∠BAD = 1/2 ∠BAC = 35°.
∵ ∠ADC 是 △ABD 的一个外角,
∴ ∠ADC = ∠B+∠BAD = 40°+35° = 75°.
∵ 用三角尺作 BC 边上的高 AE, 垂足为点 E,
∴ ∠DAE = 90°−75° = 15°.
②∠DFE = 15°.
∵ ∠ADC 是 △ABD 的一个外角,
∴ ∠ADC = ∠B+∠BAD = 40°+35° = 75°.
∵ FE⊥BC,
∴ ∠DFE = 90°−∠ADC = 15°.
(2) 不会发生变化. 理由如下:
∵ ∠BAD = 1/2 ∠BAC = 35°, ∠B = 40°, ∠ADC 是 △ABD 的一个外角,
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD = 40° + 35° = 75°.
∵ FE ⊥ BC,
∴ ∠DFE = 90°−∠ADC = 15°,
∴ ∠DFE 的度数不会发生变化.
(3) 如题图(4)所示,
∵ 在△ABC 中,∠ABC = α, ∠ACB = β,
∴ ∠BAC = 180°−α−β.
∵ AD 是 ∠BAC 的平分线,
∴ ∠BAD = 1/2 ∠BAC = 90°−(α+β)/2.
∵ ∠ADC 是 △ABD 的一个外角,
∴ ∠ADC = ∠ABC + ∠BAD = α + 90°−(α+β)/2 = 90°+(α−β)/2.
∵ FE⊥AD,
∴ ∠DEF = 90°−∠ADC = 90°−(90°+(α−β)/2) = (β−α)/2.
如题图(5)所示,
∵ 在△ABC 中,∠ABC = α, ∠ACB = β,
∴ ∠BAC = 180°−α−β.
∵ AD 是 ∠BAC 的平分线,
∴ ∠BAD = 1/2 ∠BAC = 90°−(α+β)/2,
∴ ∠ADB = 180°−∠ABC − ∠BAD = 180°−α−(90°−(α+β)/2) = 90°−(α−β)/2.
∵ FE ⊥ AD,
∴ ∠DEF = 90°−∠ADB = 90°−( 90°−(α−β)/2 ) = (α−β)/2. 综上所述, ∠DEF = (β−α)/2 或 ∠DEF = (α−β)/2.
