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三、解答题(共52分)
13. (12分)化简下列各式：
(1) $-|-8|$；
(2) $-(-0.78)$；
(3) $-[ -( +\dfrac{3}{7} ) ]$；
(4) $+[ -( -3.5 ) ]$。
13. (12分)化简下列各式：
(1) $-|-8|$；
(2) $-(-0.78)$；
(3) $-[ -( +\dfrac{3}{7} ) ]$；
(4) $+[ -( -3.5 ) ]$。
答案
13. (1) $-8$ (2) $0.78$ (3) $\dfrac{3}{7}$ (4) $3.5$
解析
【分析】
本题考查绝对值和多重符号的化简，解题思路如下：1. 牢记两个核心规则：一是绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；二是多重符号化简的“奇负偶正”规则：式子中负号的个数为奇数时，最终结果为负，负号个数为偶数时，最终结果为正。2. 运算顺序：如果式子中含有绝对值，先计算绝对值的结果，再处理绝对值外层的符号；如果是多重括号的符号化简，可从内向外逐层去括号，也可以直接数负号的个数用“奇负偶正”快速得出结果。
【解析】
(1) 先计算绝对值：$|-8|=8$，再添加外层的负号，可得$-|-8|=-8$；
(2) 式子中共有2个负号，负号个数为偶数，根据“奇负偶正”规则，可得$-(-0.78)=0.78$；
(3) 可直接数负号总个数为2，是偶数，结果为正，即$-[-(+\frac{3}{7})]=\frac{3}{7}$；也可从内向外逐层去括号验证：先去小括号得$-(+\frac{3}{7})=-\frac{3}{7}$，再去中括号得$-(-\frac{3}{7})=\frac{3}{7}$；
(4) 数负号总个数为2，是偶数，结果为正，可得$+[-(-3.5)]=3.5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-8}$；(2) $\boldsymbol{0.78}$；(3) $\boldsymbol{\dfrac{3}{7}}$；(4) $\boldsymbol{3.5}$
【知识点】
绝对值的性质、多重符号化简、相反数运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，主要考察符号化简的基本规则，难度较低，只要熟练掌握绝对值的运算顺序和多重符号化简的“奇负偶正”规则，数清负号个数，避免粗心失误就能准确作答，是后续有理数混合运算的重要基础。
【难度系数】
0.85
本题考查绝对值和多重符号的化简，解题思路如下：1. 牢记两个核心规则：一是绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；二是多重符号化简的“奇负偶正”规则：式子中负号的个数为奇数时，最终结果为负，负号个数为偶数时，最终结果为正。2. 运算顺序：如果式子中含有绝对值，先计算绝对值的结果，再处理绝对值外层的符号；如果是多重括号的符号化简，可从内向外逐层去括号，也可以直接数负号的个数用“奇负偶正”快速得出结果。
【解析】
(1) 先计算绝对值：$|-8|=8$，再添加外层的负号，可得$-|-8|=-8$；
(2) 式子中共有2个负号，负号个数为偶数，根据“奇负偶正”规则，可得$-(-0.78)=0.78$；
(3) 可直接数负号总个数为2，是偶数，结果为正，即$-[-(+\frac{3}{7})]=\frac{3}{7}$；也可从内向外逐层去括号验证：先去小括号得$-(+\frac{3}{7})=-\frac{3}{7}$，再去中括号得$-(-\frac{3}{7})=\frac{3}{7}$；
(4) 数负号总个数为2，是偶数，结果为正，可得$+[-(-3.5)]=3.5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-8}$；(2) $\boldsymbol{0.78}$；(3) $\boldsymbol{\dfrac{3}{7}}$；(4) $\boldsymbol{3.5}$
【知识点】
绝对值的性质、多重符号化简、相反数运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，主要考察符号化简的基本规则，难度较低，只要熟练掌握绝对值的运算顺序和多重符号化简的“奇负偶正”规则，数清负号个数，避免粗心失误就能准确作答，是后续有理数混合运算的重要基础。
【难度系数】
0.85
14. (12分)已知代数式$A=4x^2+6xy+1,B=x^2+2xy-2$. 请通过计算比较A与3B的大小.
答案
因为$A-3B=(4x^2+6xy+1)-3(x^2+2xy-2)=4x^2+6xy+1-3x^2-6xy+6=x^2+7≥7＞0$,所以$A＞3B$
解析
【分析】
比较两个代数式的大小，常用作差法：先计算两个代数式的差，再根据差的正负判断大小，若差＞0则被减数更大，若差＜0则减数更大，若差=0则两者相等。本题先写出A-3B的表达式，再按照整式加减的规则去括号、合并同类项，最后结合平方的非负性判断差的符号即可。
【解析】
计算$A-3B$，代入$A$、$B$的表达式：
$\begin{aligned}A-3B&=(4x^2+6xy+1)-3(x^2+2xy-2)\\&=4x^2+6xy+1-3x^2-6xy+6\\&=x^2+7\end{aligned}$
因为任意实数的平方都是非负数，即$x^2≥0$，因此$x^2+7≥7＞0$，即$A-3B＞0$，所以$A＞3B$。
【答案】
$A＞3B$
【知识点】
作差法比较大小、整式的加减、平方的非负性
【点评】
本题是代数式大小比较的基础题型，核心是熟练掌握整式加减的去括号、合并同类项法则，再结合非负数的性质判断差的正负即可快速求解。
【难度系数】
0.8
比较两个代数式的大小，常用作差法：先计算两个代数式的差，再根据差的正负判断大小，若差＞0则被减数更大，若差＜0则减数更大，若差=0则两者相等。本题先写出A-3B的表达式，再按照整式加减的规则去括号、合并同类项，最后结合平方的非负性判断差的符号即可。
【解析】
计算$A-3B$，代入$A$、$B$的表达式：
$\begin{aligned}A-3B&=(4x^2+6xy+1)-3(x^2+2xy-2)\\&=4x^2+6xy+1-3x^2-6xy+6\\&=x^2+7\end{aligned}$
因为任意实数的平方都是非负数，即$x^2≥0$，因此$x^2+7≥7＞0$，即$A-3B＞0$，所以$A＞3B$。
【答案】
$A＞3B$
【知识点】
作差法比较大小、整式的加减、平方的非负性
【点评】
本题是代数式大小比较的基础题型，核心是熟练掌握整式加减的去括号、合并同类项法则，再结合非负数的性质判断差的正负即可快速求解。
【难度系数】
0.8
15. (14分)化简并求值：$4x^2y - [3xy - 2(3xy - 2) + 2x^2y]$，其中有理数$x,y$满足$(x+2)^2$与$|y-1|$互为相反数。
答案
原式$=2x^2y+3xy-4$. 因为$(x+2)^2$与$|y-1|$互为相反数,所以$(x+2)^2+|y-1|=0$. 所以$x+2=0,y-1=0$. 所以$x=-2,y=1$. 所以原式$=2×(-2)^2×1+3×(-2)×1-4=-2$
解析
【分析】
这道题属于整式化简求值类题目，解题思路分为三步：①先对整式进行化简，去括号时要注意符号规则，若括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号，再合并同类项得到最简式；②再根据相反数的性质和非负数的特征求x、y的值：互为相反数的两个数和为0，而平方、绝对值的结果都是非负数，两个非负数相加得0时，每个非负数都为0，据此列方程即可求出x、y；③最后将x、y的值代入最简式计算出结果即可。
【解析】
步骤1：化简整式
$\begin{aligned}原式&=4x^2y - [3xy - 2(3xy - 2) + 2x^2y]\\&=4x^2y - [3xy - 6xy + 4 + 2x^2y] \quad \mathrm{去小括号，应用乘法分配律}\\&=4x^2y - 3xy + 6xy - 4 - 2x^2y \quad \mathrm{去中括号，括号前为负号，各项变号}\\&=(4x^2y-2x^2y)+(-3xy+6xy)-4 \quad \mathrm{合并同类项}\\&=2x^2y+3xy-4\end{aligned}$
步骤2：求x、y的值
因为$(x+2)^2$与$|y-1|$互为相反数，所以$(x+2)^2 + |y-1|=0$
又因为$(x+2)^2≥0$，$|y-1|≥0$，两个非负数的和为0，则每一项都为0：
$x+2=0$，解得$x=-2$；$y-1=0$，解得$y=1$
步骤3：代入求值
将$x=-2,y=1$代入$2x^2y+3xy-4$得：
$\begin{aligned}原式&=2×(-2)^2×1 + 3×(-2)×1 -4\\&=2×4×1 -6 -4\\&=8-6-4\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
$-2$
【知识点】
整式的加减；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的典型题型，综合考查了去括号、合并同类项的运算规则，以及非负数的性质，解题时要格外注意去括号的符号变化，代入求值时遵循运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
这道题属于整式化简求值类题目，解题思路分为三步：①先对整式进行化简，去括号时要注意符号规则，若括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号，再合并同类项得到最简式；②再根据相反数的性质和非负数的特征求x、y的值：互为相反数的两个数和为0，而平方、绝对值的结果都是非负数，两个非负数相加得0时，每个非负数都为0，据此列方程即可求出x、y；③最后将x、y的值代入最简式计算出结果即可。
【解析】
步骤1：化简整式
$\begin{aligned}原式&=4x^2y - [3xy - 2(3xy - 2) + 2x^2y]\\&=4x^2y - [3xy - 6xy + 4 + 2x^2y] \quad \mathrm{去小括号，应用乘法分配律}\\&=4x^2y - 3xy + 6xy - 4 - 2x^2y \quad \mathrm{去中括号，括号前为负号，各项变号}\\&=(4x^2y-2x^2y)+(-3xy+6xy)-4 \quad \mathrm{合并同类项}\\&=2x^2y+3xy-4\end{aligned}$
步骤2：求x、y的值
因为$(x+2)^2$与$|y-1|$互为相反数，所以$(x+2)^2 + |y-1|=0$
又因为$(x+2)^2≥0$，$|y-1|≥0$，两个非负数的和为0，则每一项都为0：
$x+2=0$，解得$x=-2$；$y-1=0$，解得$y=1$
步骤3：代入求值
将$x=-2,y=1$代入$2x^2y+3xy-4$得：
$\begin{aligned}原式&=2×(-2)^2×1 + 3×(-2)×1 -4\\&=2×4×1 -6 -4\\&=8-6-4\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
$-2$
【知识点】
整式的加减；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的典型题型，综合考查了去括号、合并同类项的运算规则，以及非负数的性质，解题时要格外注意去括号的符号变化，代入求值时遵循运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
16. (14分)一辆大客车上原有乘客$(3m-n)$人，中途下车一半，又上来若干，使车上共有乘客$(8m-5n)$人. 问:中途上车的乘客有多少人? 当$m=10,n=8$时,中途上车的乘客有多少人?
答案
中途上车的乘客有$(8m-5n)-\dfrac{1}{2}(3m-n)=\dfrac{13m-9n}{2}$人,当$m = 10, n = 8$时,$\dfrac{13m-9n}{2}=\dfrac{13×10-9×8}{2}=29$,所以中途上车的乘客有29人
解析
【分析】
解题时首先明确核心数量关系：中途上车的乘客人数 = 现在车上总乘客数 - 中途下车后剩余的乘客数。第一步先计算中途下车一半后剩余的乘客数，为原有人数的$\frac{1}{2}$；第二步根据等量关系列出代数式，再通过去括号、合并同类项化简代数式；最后将$m、n$的取值代入化简后的代数式，计算出具体数值即可。
【解析】
解：1. 求中途上车人数的代数式
中途下车一半后，车上剩余乘客为$\frac{1}{2}(3m-n)$人，因此中途上车的乘客人数为：
$\begin{aligned}&(8m-5n)-\frac{1}{2}(3m-n)\\=&8m-5n-\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}n\\=&(8m-\frac{3}{2}m)+(-5n+\frac{1}{2}n)\\=&\frac{13}{2}m-\frac{9}{2}n\\=&\frac{13m-9n}{2}\end{aligned}$
2. 代入数值计算具体人数
当$m=10，n=8$时，将值代入化简后的代数式：
$\begin{aligned}&\frac{13×10-9×8}{2}\\=&\frac{130-72}{2}\\=&\frac{58}{2}\\=&29\end{aligned}$
【答案】
中途上车的乘客有$\frac{13m-9n}{2}$人；当$m=10，n=8$时，中途上车的乘客有29人。
【知识点】
列代数式，整式加减运算，代数式求值
【点评】
本题属于整式加减的实际应用类题型，解题关键是找准数量关系正确列出代数式，化简时需注意去括号的符号规则，代入求值时要保证运算准确，整体难度较低。
【难度系数】
0.75
解题时首先明确核心数量关系：中途上车的乘客人数 = 现在车上总乘客数 - 中途下车后剩余的乘客数。第一步先计算中途下车一半后剩余的乘客数，为原有人数的$\frac{1}{2}$；第二步根据等量关系列出代数式，再通过去括号、合并同类项化简代数式；最后将$m、n$的取值代入化简后的代数式，计算出具体数值即可。
【解析】
解：1. 求中途上车人数的代数式
中途下车一半后，车上剩余乘客为$\frac{1}{2}(3m-n)$人，因此中途上车的乘客人数为：
$\begin{aligned}&(8m-5n)-\frac{1}{2}(3m-n)\\=&8m-5n-\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}n\\=&(8m-\frac{3}{2}m)+(-5n+\frac{1}{2}n)\\=&\frac{13}{2}m-\frac{9}{2}n\\=&\frac{13m-9n}{2}\end{aligned}$
2. 代入数值计算具体人数
当$m=10，n=8$时，将值代入化简后的代数式：
$\begin{aligned}&\frac{13×10-9×8}{2}\\=&\frac{130-72}{2}\\=&\frac{58}{2}\\=&29\end{aligned}$
【答案】
中途上车的乘客有$\frac{13m-9n}{2}$人；当$m=10，n=8$时，中途上车的乘客有29人。
【知识点】
列代数式，整式加减运算，代数式求值
【点评】
本题属于整式加减的实际应用类题型，解题关键是找准数量关系正确列出代数式，化简时需注意去括号的符号规则，代入求值时要保证运算准确，整体难度较低。
【难度系数】
0.75
