1. $\sin 60°$的值为 （）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

1.D

【分析】
本题考查特殊锐角的三角函数值，解题时有两种思路：一是直接记忆30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值直接判断；二是结合锐角正弦的定义，通过构造含60°的直角三角形推导计算。首先明确正弦是直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，再结合30°直角三角形的边长性质就能推导得出结果。
【解析】
方法1（直接记忆）：牢记特殊角的三角函数值可知，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
方法2（推导法）：在含30°、60°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，设30°角对的直角边长为1，则斜边长为2，由勾股定理可得60°角对的直角边长为$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。根据正弦的定义，锐角的正弦=对边/斜边，因此$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
综上答案选D。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是基础题型，重点考查对特殊锐角三角函数值的掌握，熟练记忆常见特殊角的三角函数值即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2. 下列三角函数的值是1的是 （）

A.$\sin 45°$
B.$\tan 30°$
C.$\cos 45°$
D.$\tan 45°$

2.D

【分析】
本题考查特殊锐角的三角函数值，解题思路是先准确回忆30°、45°角的正弦、余弦、正切函数值，再逐一对比每个选项的数值是否等于1，即可选出正确答案。
【解析】
我们依次判断各选项的三角函数值：
A选项：$\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2} ≠ 1$，不符合要求；
B选项：$\tan 30°=\frac{\sqrt{3}}{3} ≠ 1$，不符合要求；
C选项：$\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2} ≠ 1$，不符合要求；
D选项：$\tan 45°=1$，符合要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，核心考查对常见特殊锐角三角函数值的识记，准确熟记相关数值即可快速解题。
【难度系数】
0.9

3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=2∠ A$，那么$\cos A$的值为（）
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $\sqrt{3}$
(4)$\sqrt{2}\sin 60° -4\cos^2 30° +\sin 45° · \tan 60°$

3.A (4)原式=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-4×(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{2}-3+\frac{\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}-3$

【分析】
第3题：首先利用直角三角形两锐角和为90°的性质，结合已知∠B=2∠A的条件，先计算出∠A的度数，再根据特殊角的三角函数值即可求出cosA的结果。第(4)题：先准确记忆30°、45°、60°角的各三角函数值，将其代入原式后，按照先乘方、再乘除、最后加减的实数运算顺序，结合二次根式的运算法则计算即可。
【解析】
3. 解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，因此$∠ A+∠ B=90°$。
已知$∠ B=2∠ A$，代入得$∠ A+2∠ A=90°$，即$3∠ A=90°$，解得$∠ A=30°$。
因此$\cos A=\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，答案选A。
(4) 解：先代入特殊角的三角函数值：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$。
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-4×(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{3}\\&=\frac{\sqrt{6}}{2}-4×\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{6}}{2}\\&=\frac{\sqrt{6}}{2}-3+\frac{\sqrt{6}}{2}\\&=\sqrt{6}-3\end{aligned}$
【答案】
3. A；(4) $\sqrt{6}-3$
【知识点】
直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，二次根式混合运算
【点评】
两道题均属于基础题型，第3题需要结合直角三角形内角关系先求角度，再对应三角函数值求解；第(4)题核心是准确记忆特殊角的三角函数值，按照运算顺序计算即可，是三角函数章节的基础必掌握内容。
【难度系数】
0.85

6.若$\cosα=\frac{1}{2}$，则锐角$α$的度数是 （）

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
7.（教材P146复习题T7变式）若$α$为锐角，且

6.C

【分析】
本题考查特殊锐角的余弦函数值，解题思路为先回忆30°、45°、60°这几个常见锐角的余弦值，再结合已知条件$\cosα=\frac{1}{2}$且α是锐角的限定，匹配对应的角度即可，通过逐一核对各选项对应角度的余弦值就能排除错误选项得到答案。
【解析】
首先牢记常见锐角的余弦值：
$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\cos90°=0$；
已知$\cosα=\frac{1}{2}$，且α为锐角，对比上述数值可得，α的度数为60°。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值、锐角的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查对特殊锐角三角函数值的识记，熟练掌握30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值即可快速作答。
【难度系数】
0.9

4. 比较大小：$\sin 30°$ $\cos 45°$.（填“＞”“＜”或“=”）

4.＜

【分析】
要比较两个三角函数值的大小，首先需要准确记忆特殊锐角的三角函数值，分别求出$\sin 30°$和$\cos 45°$的具体数值，再按照实数大小比较的规则判断两者的大小关系即可。
【解析】
第一步：写出两个特殊角的三角函数值
$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
第二步：比较两个数值的大小
因为$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，所以$\frac{1}{2}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$\sin30°＜\cos45°$。
【答案】
＜
【知识点】
特殊角的三角函数值，实数大小比较
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对特殊锐角三角函数值的记忆，只要准确掌握30°、45°、60°角的三角函数值，就能快速完成解答。
【难度系数】
0.8

5. 计算：
(1)$\sin 60° - \tan 30° · \tan 60°$；
(2)$\dfrac{\tan 45°}{2\sin 45° - 1}$；
(3)$\cos^2 45° - \dfrac{\sin 60°}{3\tan 30°} + \cos 30°$；

5.解:(1)原式=$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$.(2)原式=$\frac{1}{2×\frac{\sqrt{2}}{2}-1}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$.(3)原式=$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2-\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{3×\frac{\sqrt{3}}{3}}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

【分析】
解决这类计算题的核心思路如下：首先要准确牢记30°、45°、60°三个特殊角的各三角函数值，将原式中的三角函数替换为对应的实数；再按照实数混合运算的顺序计算：先算乘方、再算乘除、最后算加减，若分母含有根式需要通过分母有理化化简，最终得到最简结果。
【解析】
(1) 代入特殊角三角函数值：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan60°=\sqrt{3}$
原式$=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}$
先计算乘法：$\frac{\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}=1$
可得结果：$\frac{\sqrt{3}}{2}-1$
(2) 代入特殊角三角函数值：$\tan45°=1$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
原式$=\frac{1}{2×\frac{\sqrt{2}}{2}-1}$
先计算分母：$2×\frac{\sqrt{2}}{2}-1=\sqrt{2}-1$
再对分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}+1$：
$\frac{1×(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1$
(3) 代入特殊角三角函数值：$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
原式$=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2-\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{3×\frac{\sqrt{3}}{3}}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
依次计算：
乘方部分：$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}$
除法部分：分母$3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，故$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$
加减运算：$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{3}}{2}-1$；(2) $\sqrt{2}+1$；(3) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数混合运算、分母有理化
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查特殊角三角函数值的记忆准确性和实数运算规则的掌握程度，计算时注意遵循运算顺序，正确处理根式化简即可避免出错。
【难度系数】
0.8

7.(教材P146复习题T7变式)若α为锐角，且$\sin(20°+α)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则α的度数为。

7.40°

【分析】
解决本题的思路如下：第一步，回忆特殊角的三角函数值，明确正弦值等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$的锐角是60°；第二步，结合α为锐角的条件，确定$20°+α$的取值范围，排除不符合范围的角度（若取正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的120°，则α为钝角，不符合题意）；第三步，列一元一次方程求解α的度数即可。
【解析】
∵ 特殊角的三角函数值中，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又
∵ α是锐角，即$0°＜α＜90°$，
∴ $20°＜20°+α＜110°$，在该范围内正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的角只有60°，
∴ $20°+α=60°$，
解得$α=60°-20°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
特殊角的三角函数值、锐角的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的熟练记忆，解题时需注意结合题干给出的锐角限制条件筛选符合要求的解，避免因忽略范围多解出错。
【难度系数】
0.85

8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，$\frac{AC}{BC}=\sqrt{3}$，则∠A的度数为。

8.30°

【分析】
本题是直角三角形中已知直角边比值求角度的问题，解题思路如下：首先明确在直角三角形中，锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值，要求∠A的度数，可先求∠A的正切值；题目给出AC与BC的比值，结合tanA=BC/AC，对已知比值取倒数即可得到tanA的值，再对照特殊角的三角函数值就能确定∠A的度数。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，根据锐角正切的定义可得：
$\tan A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \frac{BC}{AC}$
已知$\frac{AC}{BC}=\sqrt{3}$，因此$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
结合特殊角的三角函数值，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故$∠ A=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
1. 锐角三角函数的定义
2. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，核心是利用正切函数的定义建立边的比值与角度的联系，只要准确掌握锐角三角函数的对应边关系，牢记30°、45°、60°角的三角函数值，就能快速解答。
【难度系数】
0.8

9. 在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$a,b,c$ 分别是 $∠ A,∠ B,∠ C$ 的对边。已知 $c=2\sqrt{3},b=\sqrt{6}$，求 $∠ A$ 的度数。

9.解:在 Rt△ABC 中,$c=2\sqrt{3},b=\sqrt{6},∴\cos A=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.∴∠A=45°.$

【分析】
本题是直角三角形中求锐角度数的问题，解题思路如下：首先明确已知条件为直角三角形的斜边c和∠A的邻边b，结合锐角三角函数的定义，余弦函数表示的是锐角的邻边与斜边的比值，正好匹配已知的两条边，因此选择余弦函数求解；接着代入边长计算出cosA的数值；最后对照30°、45°、60°的三角函数值，找到对应余弦值的角度即为∠A的度数。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦的定义：
$\cos A = \frac{∠A的邻边}{斜边} = \frac{b}{c}$
将$c=2\sqrt{3}$，$b=\sqrt{6}$代入上式：
$\cos A = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
结合特殊角的三角函数值，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$∠ A=45°$。
【答案】
$∠ A=45°$
【知识点】
余弦的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，核心考查锐角三角函数的应用，只要掌握锐角三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值，就能快速求解。
【难度系数】
0.85

10. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=2$，$BC=\sqrt{3}$，则$\sin \frac{A}{2}$的值为。

10.$\frac{1}{2}$

【分析】
本题是解直角三角形与特殊角三角函数值结合的基础题，解题思路如下：第一步，先在Rt△ABC中，利用锐角正弦的定义求出∠A的正弦值，结合特殊角的三角函数值确定∠A的度数；第二步，计算出∠A/2的度数，再代入对应特殊角的正弦值即可得到结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
根据锐角正弦的定义：$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB}$
代入已知$AB=2$，$BC=\sqrt{3}$，可得：
$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$
∵$∠ A$是直角三角形的锐角，
∴$∠ A=60°$
∴$\frac{A}{2} = 30°$
∴$\sin \frac{A}{2} = \sin 30° = \frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查对锐角三角函数定义的理解和特殊角三角函数值的记忆，熟练掌握相关基础知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.8