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11.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，$∠ AOC=45°$，$OC=\sqrt{2}$，则点B的坐标为（
A.$(\sqrt{2},1)$
B.$(1,\sqrt{2})$
C.$(\sqrt{2}+1,1)$
D.$(1,\sqrt{2}+1)$
（第11题图）
（第12题图）
C
）A.$(\sqrt{2},1)$
B.$(1,\sqrt{2})$
C.$(\sqrt{2}+1,1)$
D.$(1,\sqrt{2}+1)$
（第11题图）
（第12题图）
答案
11.C
解析
【分析】首先利用菱形四条边相等、对边平行的性质，先求点C的坐标：过点C作x轴的垂线，结合∠AOC=45°、OC=√2的条件，用45°角的三角函数值计算出C点的横纵坐标；再根据菱形对边平行且相等的性质，可知点B的纵坐标和C点相同，横坐标为C点横坐标加上OA的长度，即可求出B点坐标。
【解析】过点C作CD⊥x轴于点D。
∵四边形OABC是菱形，
∴OC=OA=BC=√2，且BC//OA（即BC平行于x轴）。
在Rt△OCD中，∠AOC=45°，OC=√2，
∴$OD=OC·\cos45°=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$，$CD=OC·\sin45°=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$，
即点C的坐标为$(1,1)$。
∵BC平行于x轴，
∴点B的纵坐标和点C相同，为1，
又
∵BC=√2，
∴点B的横坐标为$1+\sqrt{2}$，
∴点B的坐标为$(\sqrt{2}+1,1)$。
【答案】C
【知识点】菱形的性质，特殊角的三角函数值，平面直角坐标系点的坐标
【点评】本题是几何与坐标系结合的基础题型，解题核心是先通过特殊角三角函数求出关键点C的坐标，再利用菱形的性质推导B点坐标，掌握特殊角三角函数值和菱形性质是解题的关键。
【难度系数】0.7
【解析】过点C作CD⊥x轴于点D。
∵四边形OABC是菱形，
∴OC=OA=BC=√2，且BC//OA（即BC平行于x轴）。
在Rt△OCD中，∠AOC=45°，OC=√2，
∴$OD=OC·\cos45°=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$，$CD=OC·\sin45°=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$，
即点C的坐标为$(1,1)$。
∵BC平行于x轴，
∴点B的纵坐标和点C相同，为1，
又
∵BC=√2，
∴点B的横坐标为$1+\sqrt{2}$，
∴点B的坐标为$(\sqrt{2}+1,1)$。
【答案】C
【知识点】菱形的性质，特殊角的三角函数值，平面直角坐标系点的坐标
【点评】本题是几何与坐标系结合的基础题型，解题核心是先通过特殊角三角函数求出关键点C的坐标，再利用菱形的性质推导B点坐标，掌握特殊角三角函数值和菱形性质是解题的关键。
【难度系数】0.7
12.如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以点A为圆心,OA的长为半径画弧,两弧交于点B,画射线OB,则$\cos ∠ AOB$的值为
$\frac{1}{2}$
.答案
12.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
首先根据题目给出的尺规作图步骤分析线段的数量关系：以O为圆心画弧时，OA、OB都是该弧的半径，故OB=OA；再以A为圆心、OA长为半径画弧得到点B，故AB=OA。由此可推出OA=OB=AB，判定△OAB为等边三角形，得到∠AOB的度数后，代入特殊角的三角函数值即可求解。
【解析】
由尺规作图的过程可得：
OB=OA（同圆的半径相等），AB=OA（所作弧的半径等于OA），
∴OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴$\cos ∠ AOB=\cos60°=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
尺规作图的识别；等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题将尺规作图和几何计算结合，解题的核心是通过作图步骤推导得出三角形的形状，难度不大，要求学生熟练掌握特殊角的三角函数值，会结合几何性质求角度。
【难度系数】
0.8
首先根据题目给出的尺规作图步骤分析线段的数量关系：以O为圆心画弧时，OA、OB都是该弧的半径，故OB=OA；再以A为圆心、OA长为半径画弧得到点B，故AB=OA。由此可推出OA=OB=AB，判定△OAB为等边三角形，得到∠AOB的度数后，代入特殊角的三角函数值即可求解。
【解析】
由尺规作图的过程可得：
OB=OA（同圆的半径相等），AB=OA（所作弧的半径等于OA），
∴OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴$\cos ∠ AOB=\cos60°=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
尺规作图的识别；等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题将尺规作图和几何计算结合，解题的核心是通过作图步骤推导得出三角形的形状，难度不大，要求学生熟练掌握特殊角的三角函数值，会结合几何性质求角度。
【难度系数】
0.8
13. (1)已知$∠ α, ∠ β$均为锐角,且$\left| \sin α - \dfrac{1}{2} \right| + \sqrt{(\tan β - 1)^2} = 0$,则$∠ α + ∠ β$的度数为
(2)在$△ ABC$中,$∠ A, ∠ B$均为锐角,且$\left| \tan B - \sqrt{3} \right| + (2\sin A - \sqrt{3})^2 = 0$,则$△ ABC$的形状为
75°
;(2)在$△ ABC$中,$∠ A, ∠ B$均为锐角,且$\left| \tan B - \sqrt{3} \right| + (2\sin A - \sqrt{3})^2 = 0$,则$△ ABC$的形状为
等边
三角形.答案
13.(1)75° (2)等边
解析
【分析】
本题可根据非负数的性质求解对应的三角函数值，再结合特殊角的三角函数值得到角度，最后完成计算或三角形形状判断：
1. 非负数性质：绝对值、算术平方根、平方数均为非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0；
2. 根据上述性质列出等式求出三角函数值，结合角为锐角的条件，对应30°、45°、60°的三角函数值得到各角的度数；
3. 第(1)问直接求和，第(2)问结合三角形内角和求出第三个角的度数，判断三角形形状。
【解析】
(1) 由非负数的性质可知，$\left| \sin α - \dfrac{1}{2} \right|≥0$，$\sqrt{(\tan β - 1)^2}≥0$，两者和为0则：
$\left| \sin α - \dfrac{1}{2} \right|=0$，$\sqrt{(\tan β - 1)^2}=0$
即$\sinα=\dfrac{1}{2}$，$\tanβ=1$。
已知$∠α,∠β$均为锐角，结合特殊角的三角函数值可得：$∠α=30°$，$∠β=45°$，
因此$∠α+∠β=30°+45°=75°$。
(2) 由非负数的性质可知，$\left| \tan B - \sqrt{3} \right|≥0$，$(2\sin A - \sqrt{3})^2≥0$，两者和为0则：
$\left| \tan B - \sqrt{3} \right|=0$，$(2\sin A - \sqrt{3})^2=0$
即$\tan B=\sqrt{3}$，$\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
已知$∠A,∠B$均为锐角，结合特殊角的三角函数值可得：$∠B=60°$，$∠A=60°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠C=180°-60°-60°=60°$，三个内角均为$60°$，因此$△ ABC$为等边三角形。
【答案】
(1)$75°$；(2)等边
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础常考题，核心考查非负数性质与特殊角三角函数值的结合应用，解题的关键是熟记30°、45°、60°角的三角函数值，同时能灵活运用三角形内角和定理计算内角、判断三角形形状。
【难度系数】
0.8
本题可根据非负数的性质求解对应的三角函数值，再结合特殊角的三角函数值得到角度，最后完成计算或三角形形状判断：
1. 非负数性质：绝对值、算术平方根、平方数均为非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0；
2. 根据上述性质列出等式求出三角函数值，结合角为锐角的条件，对应30°、45°、60°的三角函数值得到各角的度数；
3. 第(1)问直接求和，第(2)问结合三角形内角和求出第三个角的度数，判断三角形形状。
【解析】
(1) 由非负数的性质可知，$\left| \sin α - \dfrac{1}{2} \right|≥0$，$\sqrt{(\tan β - 1)^2}≥0$，两者和为0则：
$\left| \sin α - \dfrac{1}{2} \right|=0$，$\sqrt{(\tan β - 1)^2}=0$
即$\sinα=\dfrac{1}{2}$，$\tanβ=1$。
已知$∠α,∠β$均为锐角，结合特殊角的三角函数值可得：$∠α=30°$，$∠β=45°$，
因此$∠α+∠β=30°+45°=75°$。
(2) 由非负数的性质可知，$\left| \tan B - \sqrt{3} \right|≥0$，$(2\sin A - \sqrt{3})^2≥0$，两者和为0则：
$\left| \tan B - \sqrt{3} \right|=0$，$(2\sin A - \sqrt{3})^2=0$
即$\tan B=\sqrt{3}$，$\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
已知$∠A,∠B$均为锐角，结合特殊角的三角函数值可得：$∠B=60°$，$∠A=60°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠C=180°-60°-60°=60°$，三个内角均为$60°$，因此$△ ABC$为等边三角形。
【答案】
(1)$75°$；(2)等边
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础常考题，核心考查非负数性质与特殊角三角函数值的结合应用，解题的关键是熟记30°、45°、60°角的三角函数值，同时能灵活运用三角形内角和定理计算内角、判断三角形形状。
【难度系数】
0.8
14.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=8,∠BAC 的平分线 AD 的长为$\frac{16\sqrt{3}}{3}$,求∠B的度数及AB,BC的长.
答案
14.解:在 Rt△ACD 中,$∵AC=8,AD=\frac{16\sqrt{3}}{3},∠C=90°,∴\cos ∠CAD=\frac{AC}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}.∴∠CAD=30°.$ 又$∵AD$平分$∠BAC,∴∠BAC=60°.∴∠B=90°-∠BAC=30°.∴AB=2AC=16.∴BC=AB·\sin ∠BAC=8\sqrt{3}.$
解析
【分析】
解题时先观察图形，已知Rt△ACD中有两条边长AC、AD，我们先在这个小直角三角形中利用锐角三角函数求出∠CAD的度数；再结合AD是∠BAC的角平分线，推导得到∠BAC的度数；最后在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余求出∠B，再结合特殊角的三角函数值、30°直角三角形的性质求出AB、BC的长度即可。
【解析】
在Rt△ACD中，
∵AC=8，$AD=\frac{16\sqrt{3}}{3}$，∠C=90°，
∴$\cos ∠CAD=\frac{AC}{AD}=\frac{8}{\frac{16\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠CAD=30°。
又
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAD=60°，
∴∠B=90°-∠BAC=30°。
在Rt△ABC中，30°角所对直角边为AC，
∴AB=2AC=16，
∴$BC=AB·\sin ∠BAC=16×\frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$。
【答案】
∠B=30°，AB=16，$BC=8\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，角平分线的性质，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题关键是从已知条件充足的小三角形入手逐步推导，需要熟练掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值，计算量较小，容易掌握。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形，已知Rt△ACD中有两条边长AC、AD，我们先在这个小直角三角形中利用锐角三角函数求出∠CAD的度数；再结合AD是∠BAC的角平分线，推导得到∠BAC的度数；最后在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余求出∠B，再结合特殊角的三角函数值、30°直角三角形的性质求出AB、BC的长度即可。
【解析】
在Rt△ACD中，
∵AC=8，$AD=\frac{16\sqrt{3}}{3}$，∠C=90°，
∴$\cos ∠CAD=\frac{AC}{AD}=\frac{8}{\frac{16\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠CAD=30°。
又
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAD=60°，
∴∠B=90°-∠BAC=30°。
在Rt△ABC中，30°角所对直角边为AC，
∴AB=2AC=16，
∴$BC=AB·\sin ∠BAC=16×\frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$。
【答案】
∠B=30°，AB=16，$BC=8\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，角平分线的性质，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题关键是从已知条件充足的小三角形入手逐步推导，需要熟练掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值，计算量较小，容易掌握。
【难度系数】
0.7
15. 数形结合 新理念（教材 P130 习题 T6 变式）
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用.例如,在计算$\tan 15°$的值时,可构造如图所示的图形.在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,$∠ C=90°,∠ ABC=30°,AC=x(x＞0)$,延长$CB$至点$D$,使得$BD=AB$,连接$AD$,易知$∠ D=15°,CD=BD+BC=AB+BC=2x+\sqrt{3}x,\therefore \tan 15°=\tan D=······$
(1)请根据上面的步骤,完成$\tan 15°$的计算过程;
(2)类比这种方法,画出图形,并计算$\tan 22.5°$的值.
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用.例如,在计算$\tan 15°$的值时,可构造如图所示的图形.在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,$∠ C=90°,∠ ABC=30°,AC=x(x＞0)$,延长$CB$至点$D$,使得$BD=AB$,连接$AD$,易知$∠ D=15°,CD=BD+BC=AB+BC=2x+\sqrt{3}x,\therefore \tan 15°=\tan D=······$
(1)请根据上面的步骤,完成$\tan 15°$的计算过程;
(2)类比这种方法,画出图形,并计算$\tan 22.5°$的值.
答案
15.解:(1)由题意,得 $AC=x,CD=2x+\sqrt{3}x,∴\tan 15°=\frac{AC}{CD}=\frac{x}{2x+\sqrt{3}x}=2-\sqrt{3}.$ (2)如图,在 Rt△ABC 中,$∠C=90°,∠ABC=45°$,延长 CB 到点 D,使得 BD=AB,连接 AD,易知$∠D=22.5°.$设$AC=BC=x$,则$BD=AB=\sqrt{2}x.∴CD=BC+BD=x+\sqrt{2}x.∴\tan 22.5°=\frac{AC}{CD}=\frac{x}{x+\sqrt{2}x}=\sqrt{2}-1.$
解析
【分析】
(1) 求$\tan15°$时，已知构造的$\mathrm{Rt}△ACD$中$∠ C=90°$，$∠ D=15°$，根据正切的定义，锐角的正切值为对边与邻边的比值，将已知的$AC$、$CD$长度代入$\tan D=\frac{AC}{CD}$，化简即可得到结果。
(2) 计算$\tan22.5°$可类比第一问的方法：22.5°是45°的一半，先构造含45°锐角的直角三角形，延长底边使延长线段长度等于斜边，利用等腰三角形等边对等角、三角形外角的性质得到22.5°的锐角，再结合正切的定义，设边长代入化简即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义：
$\tan15°=\tan D=\frac{AC}{CD}$
代入$AC=x$，$CD=2x+\sqrt{3}x$，约去$x$后分母有理化可得：
$\tan15°=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$
(2) 构造图形：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=45°$，延长$CB$到点$D$，使得$BD=AB$，连接$AD$。
因为$BD=AB$，所以$∠ D=∠ BAD$，又因为$∠ ABC$是$△ ABD$的外角，即$∠ ABC=∠ D+∠ BAD=45°$，因此$∠ D=22.5°$。
设$AC=BC=x(x＞0)$，在$\mathrm{Rt}△ABC$中由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2}x$，故$BD=AB=\sqrt{2}x$。
可得$CD=BC+BD=x+\sqrt{2}x$，在$\mathrm{Rt}△ACD$中，代入正切定义化简得：
$\tan22.5°=\frac{AC}{CD}=\frac{x}{x+\sqrt{2}x}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$
【答案】
(1)由题意,得 $AC=x,CD=2x+\sqrt{3}x,∴\tan 15°=\frac{AC}{CD}=\frac{x}{2x+\sqrt{3}x}=2-\sqrt{3}.$
(2)如图,在 Rt△ABC 中,$∠C=90°,∠ABC=45°$,延长 CB 到点 D,使得 BD=AB,连接 AD,易知$∠D=22.5°.$设$AC=BC=x$,则$BD=AB=\sqrt{2}x.∴CD=BC+BD=x+\sqrt{2}x.∴\tan 22.5°=\frac{AC}{CD}=\frac{x}{x+\sqrt{2}x}=\sqrt{2}-1.$
【知识点】
正切的定义、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过构造几何图形将半角三角函数的计算转化为直角三角形边长比值问题，既考查了三角函数、等腰三角形的基础性质，也能锻炼类比推理和知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求$\tan15°$时，已知构造的$\mathrm{Rt}△ACD$中$∠ C=90°$，$∠ D=15°$，根据正切的定义，锐角的正切值为对边与邻边的比值，将已知的$AC$、$CD$长度代入$\tan D=\frac{AC}{CD}$，化简即可得到结果。
(2) 计算$\tan22.5°$可类比第一问的方法：22.5°是45°的一半，先构造含45°锐角的直角三角形，延长底边使延长线段长度等于斜边，利用等腰三角形等边对等角、三角形外角的性质得到22.5°的锐角，再结合正切的定义，设边长代入化简即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义：
$\tan15°=\tan D=\frac{AC}{CD}$
代入$AC=x$，$CD=2x+\sqrt{3}x$，约去$x$后分母有理化可得：
$\tan15°=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$
(2) 构造图形：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=45°$，延长$CB$到点$D$，使得$BD=AB$，连接$AD$。
因为$BD=AB$，所以$∠ D=∠ BAD$，又因为$∠ ABC$是$△ ABD$的外角，即$∠ ABC=∠ D+∠ BAD=45°$，因此$∠ D=22.5°$。
设$AC=BC=x(x＞0)$，在$\mathrm{Rt}△ABC$中由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2}x$，故$BD=AB=\sqrt{2}x$。
可得$CD=BC+BD=x+\sqrt{2}x$，在$\mathrm{Rt}△ACD$中，代入正切定义化简得：
$\tan22.5°=\frac{AC}{CD}=\frac{x}{x+\sqrt{2}x}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$
【答案】
(1)由题意,得 $AC=x,CD=2x+\sqrt{3}x,∴\tan 15°=\frac{AC}{CD}=\frac{x}{2x+\sqrt{3}x}=2-\sqrt{3}.$
(2)如图,在 Rt△ABC 中,$∠C=90°,∠ABC=45°$,延长 CB 到点 D,使得 BD=AB,连接 AD,易知$∠D=22.5°.$设$AC=BC=x$,则$BD=AB=\sqrt{2}x.∴CD=BC+BD=x+\sqrt{2}x.∴\tan 22.5°=\frac{AC}{CD}=\frac{x}{x+\sqrt{2}x}=\sqrt{2}-1.$
【知识点】
正切的定义、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过构造几何图形将半角三角函数的计算转化为直角三角形边长比值问题，既考查了三角函数、等腰三角形的基础性质，也能锻炼类比推理和知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
