1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$.若$\sin A=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$，则$\cos B$的值为（）

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
D.$1$

1.C

【分析】
拿到这道题首先梳理已知条件：已知是直角三角形，∠C为直角，给出了sinA的值，要求cosB。首先回忆直角三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，因此∠A和∠B互为余角；再结合互余两角的三角函数关系：一个角的余弦等于它余角的正弦，可得cosB=sinA，直接代入已知数值即可得出结果，无需额外计算。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ $∠A + ∠B = 90°$，即$∠B = 90° - ∠A$
根据互余两角的三角函数关系：$\cos(90°-α)=\sinα$
∴ $\cos B = \cos(90°-∠A) = \sin A$
又
∵ $\sin A=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
∴ $\cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；互余两角的三角函数关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查互余两角三角函数关系的应用，掌握互余角的正弦与余弦的转换规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，则下列式子一定成立的是（）

A.$\sin A=\sin B$
B.$\cos A=\cos B$
C.$\tan A=\tan B$
D.$\sin A=\cos B$

2.D

【分析】
首先明确直角三角形中两个锐角互余的性质，再结合锐角三角函数的定义或互余两角的三角函数关系逐一分析选项：先根据∠C=90°得∠A+∠B=90°，再分别判断每个选项的等式是否对任意直角三角形都成立，排除仅在等腰直角三角形中成立的选项，即可得到正确答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，因此$∠ A + ∠ B = 90°$，即$∠ A = 90° - ∠ B$。
根据互余两角的三角函数关系：$\sin(90°-α)=\cosα$，可得$\sin A = \sin(90° - ∠ B) = \cos B$，故D选项一定成立。
对其余选项分析如下：
A选项：$\sin A=\frac{a}{c}$，$\sin B=\frac{b}{c}$，仅当$a=b$（即三角形为等腰直角三角形）时相等，不是必然成立；
B选项：$\cos A=\frac{b}{c}$，$\cos B=\frac{a}{c}$，仅当$a=b$时相等，不是必然成立；
C选项：$\tan A=\frac{a}{b}$，$\tan B=\frac{b}{a}$，仅当$a=b$时相等，不是必然成立。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 互余两角的三角函数关系
3. 锐角三角函数定义
【点评】
本题属于基础题型，主要考查直角三角形中锐角三角函数的相关性质，熟练掌握互余两角的三角函数换算关系即可快速完成判断。
【难度系数】
0.8

3.若$α,β$均为锐角，且$\sinα-\cosβ=0$，则$α+β$的度数为。

3.$90°$

【分析】
解题时首先从已知等式出发，先整理得到sinα=cosβ，再回忆互余两角的三角函数关系：任意锐角的余弦值等于它余角的正弦值，即cosx=sin(90°-x)，代入后可得到两个角的正弦值相等；最后结合α、β都是锐角的限制，锐角范围内正弦值相等则对应角度相等，即可推导得出α+β的度数。
【解析】
解：
∵$\sinα-\cosβ=0$
∴$\sinα=\cosβ$
根据互余两角的三角函数性质可得：$\cosβ=\sin(90°-β)$
∴$\sinα=\sin(90°-β)$
又
∵α、β均为锐角，即$0°＜α＜90°$，$0°＜β＜90°$，因此$0°＜90°-β＜90°$
在$0°∼90°$范围内，若两个锐角的正弦值相等，则两个锐角相等
∴$α=90°-β$
移项得：$α+β=90°$
【答案】
$90°$
【知识点】
1.互余两角的三角函数关系
2.锐角三角函数的性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查互余两角三角函数的转换规律，解题的关键是熟练掌握正弦与余弦的互余转换公式，同时注意题目中锐角的限制条件，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.8

4.计算：
(1)$\frac{\sin 30°}{\cos 60°}=$；
(2)$\tan 60° · \tan 30°=$。

4.(1)1 (2)1

【分析】
本题考查特殊锐角三角函数值的计算，解题思路清晰：首先准确回忆30°、60°角对应的正弦、余弦、正切函数值，再将数值代入对应算式，按照基本运算规则计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据特殊角的三角函数值可知：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，代入算式计算：
$\frac{\sin 30°}{\cos 60°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1$
(2) 根据特殊角的三角函数值可知：$\tan60°=\sqrt{3}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，代入算式计算：
$\tan 60° · \tan 30°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{3}=1$
【答案】
(1)1；(2)1
【知识点】
特殊角的三角函数值，三角函数运算
【点评】
本题是三角函数基础题型，主要考察对特殊锐角三角函数值的记忆和简单运算能力，只要准确牢记对应数值，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

5. (1)若α为锐角，且$\sin (70° - α) = \cos 50°$，求α的度数；
(2)已知α，β为锐角，且$\sin (90° - α) = \frac{1}{3}$，$\sin β = \frac{1}{4}$，求$\frac{\cos (90° - β)}{\cos α}$的值。

5.解:(1)$\because α$为锐角,且$\sin (70°-α)=\cos 50°,\therefore 70°-α+50°=90°$,解得$α=30°$.(2)由题意,得$\cos (90°-β)=\sin β=\frac{1}{4},\cos α=\sin (90°-α)=\frac{1}{3}.\therefore$原式$=\frac{3}{4}$.

【分析】
(1) 解题思路：首先回忆互余两角的三角函数关系：若两个锐角互余，则一个角的正弦等于另一个角的余弦，即若$∠ A+∠ B=90°$，则$\sin A=\cos B$。已知$α$是锐角，因此$70°-α$也为锐角，结合已知$\sin(70°-α)=\cos50°$，可得$70°-α$与$50°$互余，据此列方程即可求出$α$的度数。
(2) 解题思路：同样依据互余两角的三角函数关系，$\cos(90°-β)=\sinβ$，$\cosα=\sin(90°-α)$，直接将已知的三角函数值代入所求式子计算比值即可。
【解析】
(1) $\becauseα$为锐角，$\therefore70°-α$为锐角，
又$\because\sin(70°-α)=\cos50°$，根据互余两角的三角函数关系可得：
$70°-α+50°=90°$
解得：$α=70°+50°-90°=30°$。
(2) 根据互余两角的三角函数关系：
$\cos(90°-β)=\sinβ$，已知$\sinβ=\frac{1}{4}$，$\therefore\cos(90°-β)=\frac{1}{4}$；
$\cosα=\sin(90°-α)$，已知$\sin(90°-α)=\frac{1}{3}$，$\therefore\cosα=\frac{1}{3}$；
代入所求式子得：
$\frac{\cos(90°-β)}{\cosα}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{α=30°}$；(2) $\boldsymbol{\frac{3}{4}}$
【知识点】
互余两角的三角函数关系、锐角三角函数计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查互余两角三角函数的转换公式，题干中锐角的限定条件可直接排除无效解，只要熟记相关转换公式就能快速求解，是对三角函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.85

6.已知∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角，则$\sin \frac{A+B}{2}$的值为（）

A.$\cos \frac{C}{2}$
B.$\sin \frac{C}{2}$
C.$\tan \frac{C}{2}$
D.$\cos \frac{A+B}{2}$

6.A

【分析】
解题时首先利用三角形内角和为180°的性质，将∠A+∠B用含∠C的式子表示，进而推导得到$\frac{A+B}{2}$与$\frac{C}{2}$的互余关系，再结合互余两角的三角函数转化公式即可求出结果。
【解析】
∵ 在△ABC中，三个内角和为180°
∴ $∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，即$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ C$
等式两边同时除以2，可得：$\frac{A+B}{2} = 90° - \frac{C}{2}$
根据互余两角的三角函数关系：$\sin(90° - α) = \cosα$，代入$α = \frac{C}{2}$得：
$\sin \frac{A+B}{2} = \sin(90° - \frac{C}{2}) = \cos \frac{C}{2}$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，互余两角的三角函数关系
【点评】
本题属于基础题，核心考察三角形内角和性质与互余角三角函数公式的结合应用，牢记基础公式就能快速解题。
【难度系数】
0.8

7.在$△ ABC$中，$\sin B = \cos(90° - C) = \frac{1}{2}$，那么$△ ABC$的形状是（）

A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形

7.B

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，利用互余两角的三角函数关系，将$\cos(90° - C)$转化为$\sin C$，得到$\sin C$的值；第二步，结合特殊角的三角函数值、三角形内角的取值范围（$0°＜内角＜180°$）和三角形内角和定理，确定$∠ B$和$∠ C$的度数；第三步，根据三个内角的度数判断三角形的形状。
【解析】
首先根据互余两角的三角函数关系：$\cos(90°-α)=\sinα$，可得：
$\cos(90° - C)=\sin C=\frac{1}{2}$
已知$\sin B=\frac{1}{2}$，结合特殊角的三角函数值可知：若三角形内角的正弦值为$\frac{1}{2}$，则该角为$30°$或$150°$。
结合三角形内角和为$180°$，若$∠ B$或$∠ C$取$150°$，剩余两个内角之和仅为$30°$，不可能存在另一个正弦值为$\frac{1}{2}$的内角，因此可得：
$∠ B=30°$，$∠ C=30°$
进一步计算得$∠ A=180°-30°-30°=120°$，该三角形有两个内角相等，属于等腰三角形。
【答案】
B
【知识点】
互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值、等腰三角形的判定
【点评】
本题重点考查三角函数基础性质和三角形相关定理的综合应用，解题时需注意三角形内角的取值范围，避免忽略内角和限制导致多解错误，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

8.如果$0°＜α＜60°$，且$\sin(60°-α)=\dfrac{3}{5}$，那么$\cos(30°+α)$的值为

8.$\dfrac{3}{5}$

【分析】
解题首先观察待求角$30°+α$与已知条件中的角$60°-α$的数量关系，计算可得两个角的和为$90°$，即两角互余。再结合互余两角的三角函数关系：一个锐角的余弦等于它余角的正弦，同时结合角度范围判断三角函数值符号为正，即可直接代入已知条件求解。
【解析】
先计算两个角的和：
$(60°-α)+(30°+α)=90°$
因此可得$30°+α=90°-(60°-α)$
根据互余两角的三角函数性质：$\cos(90°-θ)=\sinθ$，代入得：
$\cos(30°+α)=\cos[90°-(60°-α)]=\sin(60°-α)$
已知$\sin(60°-α)=\dfrac{3}{5}$，且由$0°＜α＜60°$可知$30°+α$是锐角，余弦值为正，因此$\cos(30°+α)=\dfrac{3}{5}$。
【答案】
$\dfrac{3}{5}$
【知识点】
互余两角的三角函数关系、角度运算、锐角三角函数符号判断
【点评】
本题解题的核心是快速发现两个角的互余关系，属于对基础知识点的直接考查，只要熟练掌握互余角的三角函数转换规则，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8

9. 类比探究 新趋势 先完成填空,再按要求解答问题:
(1)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,a,b,c$分别表示$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ A,∠ B,∠ C$的对边.请完成下列求$\tan A,\tan B$及$\tan A·\tan B$的过程.

解:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,
$\therefore \tan A=\frac{(\quad)}{b},\tan B=\frac{(\quad)}{a}$.
$\therefore \tan A·\tan B=\frac{(\quad)}{b}·\frac{(\quad)}{a}=1$.
【归纳】互余的两个锐角的正切值的乘积为________,即$\tanα·\tan(90°-α)=\_\_\_\_\_\_$.
(2)已知$\tanα=2$,则$\tan(90°-α)=\_\_\_\_\_\_$.
(3)计算:$\cos45°·\tan65°·\tan25°=\_\_\_\_\_\_$.

9.(1)$a$ $b$ $a$ $b$ $1$ $1$ (2)$\dfrac{1}{2}$ (3)$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

【分析】
解题思路：首先回忆锐角正切的定义：直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。先依据定义写出$\tan A$、$\tan B$的表达式，计算二者乘积得到互余两角的正切关系；再直接用该结论求解第（2）问；第（3）问先判断$65°$和$25°$互余，利用互余两角正切乘积为1的结论化简，最后代入$\cos45°$的特殊值计算即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切定义：
$∠A$的对边为$a$，邻边为$b$，因此$\tan A=\frac{a}{b}$；
$∠B$的对边为$b$，邻边为$a$，因此$\tan B=\frac{b}{a}$；
则$\tan A·\tan B=\frac{a}{b}·\frac{b}{a}=1$。
归纳可得：互余的两个锐角的正切值的乘积为$1$，即$\tanα·\tan(90°-α)=1$。
(2) 已知$\tanα=2$，根据$\tanα·\tan(90°-α)=1$，可得$\tan(90°-α)=\frac{1}{\tanα}=\frac{1}{2}$。
(3) 因为$65°+25°=90°$，所以$\tan65°·\tan25°=1$，又$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此：
$\cos45°·\tan65°·\tan25°=\frac{\sqrt{2}}{2}×1=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $a$；$b$；$a$；$b$；$1$；$1$
(2) $\dfrac{1}{2}$
(3) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
锐角正切的定义；互余两角的三角函数关系；特殊角的三角函数值
【点评】
本题从正切的基础定义出发，推导互余两角正切的运算规律，再将规律应用到实际计算中，侧重考查对基础概念的理解和结论的迁移应用能力。
【难度系数】
0.8