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11.如图，点$P(12,a)$在反比例函数$y=\frac{60}{x}(x＞0)$的图象上，$PH ⊥ x$轴于点$H$，则$\sin ∠ POH$的值为
$\dfrac{5}{13}$
。答案
11.$\frac{5}{13}$
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，先利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，将点P的横坐标代入反比例函数表达式，求出纵坐标a的值，得到PH、OH的长度；第二步，由PH⊥x轴可知△POH是直角三角形，用勾股定理计算出斜边OP的长度；第三步，根据正弦的定义，锐角的正弦值等于该角对边与斜边的比值，代入对应边长即可求出结果。
【解析】
∵ 点$P(12,a)$在反比例函数$y=\frac{60}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ 将$x=12$代入解析式得：$a=\frac{60}{12}=5$，
∵ $PH ⊥ x$轴于$H$，
∴ $OH=12$，$PH=5$，$∠OHP=90°$，
在$Rt△POH$中，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OH^2+PH^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$，
根据正弦的定义，$\sin∠POH=\frac{PH}{OP}=\frac{5}{13}$。
【答案】
$\frac{5}{13}$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；勾股定理；锐角正弦的定义
【点评】
本题是反比例函数与锐角三角函数的综合基础题，核心是对基础概念的应用，计算量小，只要掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题思路分三步：第一步，先利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，将点P的横坐标代入反比例函数表达式，求出纵坐标a的值，得到PH、OH的长度；第二步，由PH⊥x轴可知△POH是直角三角形，用勾股定理计算出斜边OP的长度；第三步，根据正弦的定义，锐角的正弦值等于该角对边与斜边的比值，代入对应边长即可求出结果。
【解析】
∵ 点$P(12,a)$在反比例函数$y=\frac{60}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ 将$x=12$代入解析式得：$a=\frac{60}{12}=5$，
∵ $PH ⊥ x$轴于$H$，
∴ $OH=12$，$PH=5$，$∠OHP=90°$，
在$Rt△POH$中，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OH^2+PH^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$，
根据正弦的定义，$\sin∠POH=\frac{PH}{OP}=\frac{5}{13}$。
【答案】
$\frac{5}{13}$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；勾股定理；锐角正弦的定义
【点评】
本题是反比例函数与锐角三角函数的综合基础题，核心是对基础概念的应用，计算量小，只要掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
12.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,DB平分∠ADC.若AD=1,CD=3,则sin∠ABD的值为
$\dfrac{\sqrt{6}}{6}$
.答案
12.$\frac{\sqrt{6}}{6}$
解析
【分析】
遇到角平分线和直角的组合条件时，优先利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点B作CD的垂线构造全等三角形，先推导得到AD=DE，再结合平行线性质、等角对等边求出BC的长度，用勾股定理算出AB的长度，进一步求出BD的长度，最后在直角三角形ABD中根据正弦的定义计算目标值即可。
【解析】
1. 过点B作$BE⊥ CD$于点E。
因为DB平分$∠ ADC$，$∠ A=90°$即$BA⊥ AD$，根据角平分线的性质，可得$AB=BE$。
2. 证$△ ABD≌△ EBD$：
在$△ ABD$和$△ EBD$中，$\begin{cases}∠ A=∠ BED=90°\\∠ ADB=∠ EDB\\BD=BD\end{cases}$，所以$△ ABD≌△ EBD(\mathrm{AAS})$，因此$AD=DE=1$。
3. 推导BC的长度：
因为$∠ A=∠ ABC=90°$，同旁内角互补，两直线平行，可得$AD// BC$，所以$∠ ADB=∠ DBC$。
又因为$∠ ADB=∠ BDC$，所以$∠ DBC=∠ BDC$，等角对等边，得$BC=CD=3$。
4. 计算AB的长度：
已知$CD=3$，所以$CE=CD-DE=3-1=2$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，由勾股定理得$BE^2=BC^2-CE^2=3^2-2^2=5$，即$BE=\sqrt{5}$，因此$AB=BE=\sqrt{5}$。
5. 计算$\sin∠ ABD$：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{6}$。
根据正弦的定义，$\sin∠ ABD=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{6}}{6}$
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理；正弦的定义
【点评】
本题属于三角函数与几何性质结合的中等题，解题的关键是合理作辅助线构造全等三角形和直角三角形，将分散的已知条件关联起来，再结合勾股定理和三角函数定义完成计算，考查了学生的几何辅助线构造能力和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
遇到角平分线和直角的组合条件时，优先利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点B作CD的垂线构造全等三角形，先推导得到AD=DE，再结合平行线性质、等角对等边求出BC的长度，用勾股定理算出AB的长度，进一步求出BD的长度，最后在直角三角形ABD中根据正弦的定义计算目标值即可。
【解析】
1. 过点B作$BE⊥ CD$于点E。
因为DB平分$∠ ADC$，$∠ A=90°$即$BA⊥ AD$，根据角平分线的性质，可得$AB=BE$。
2. 证$△ ABD≌△ EBD$：
在$△ ABD$和$△ EBD$中，$\begin{cases}∠ A=∠ BED=90°\\∠ ADB=∠ EDB\\BD=BD\end{cases}$，所以$△ ABD≌△ EBD(\mathrm{AAS})$，因此$AD=DE=1$。
3. 推导BC的长度：
因为$∠ A=∠ ABC=90°$，同旁内角互补，两直线平行，可得$AD// BC$，所以$∠ ADB=∠ DBC$。
又因为$∠ ADB=∠ BDC$，所以$∠ DBC=∠ BDC$，等角对等边，得$BC=CD=3$。
4. 计算AB的长度：
已知$CD=3$，所以$CE=CD-DE=3-1=2$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，由勾股定理得$BE^2=BC^2-CE^2=3^2-2^2=5$，即$BE=\sqrt{5}$，因此$AB=BE=\sqrt{5}$。
5. 计算$\sin∠ ABD$：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{6}$。
根据正弦的定义，$\sin∠ ABD=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{6}}{6}$
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理；正弦的定义
【点评】
本题属于三角函数与几何性质结合的中等题，解题的关键是合理作辅助线构造全等三角形和直角三角形，将分散的已知条件关联起来，再结合勾股定理和三角函数定义完成计算，考查了学生的几何辅助线构造能力和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
13. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C=90°$,点 $D$ 在 $BC$ 上,连接 $AD$,$AD=BC$,$\cos ∠ ADC=\dfrac{3}{5}$,$BD=6$.
(1)求 $CD$ 的长；
(2)求 $\sin B$ 的值.
(1)求 $CD$ 的长；
(2)求 $\sin B$ 的值.
答案
13.解:(1)$\because \cos ∠ ADC=\frac{CD}{AD}=\frac{3}{5},\therefore$ 设 $CD=3a,AD=5a.\because AD=BC=BD+CD,\therefore 5a=6+3a$,解得 $a=3.\therefore CD=9$.(2)由(1)知 $AD=BC=15,CD=9$. 在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=12$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=3\sqrt{41}.\therefore \sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{3\sqrt{41}}=\frac{4\sqrt{41}}{41}$.
解析
【分析】
（1）首先在$\mathrm{Rt}△ACD$中，根据余弦的定义可知$\cos ∠ ADC$等于∠ADC的邻边$CD$与斜边$AD$的比值为$\frac{3}{5}$，因此可通过设参数的方法表示$CD$和$AD$的长度；再结合已知$AD=BC$，且$BC=BD+CD$，$BD=6$，代入参数列方程求出参数值，即可得到$CD$的长。
（2）先利用勾股定理在$\mathrm{Rt}△ACD$中求出$AC$的长度，再在$\mathrm{Rt}△ABC$中利用勾股定理求出斜边$AB$的长度，最后根据正弦的定义，$\sin B$是∠B的对边$AC$与斜边$AB$的比值，化简即可得到结果。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠ C=90°$，由余弦的定义得：$\cos ∠ ADC=\frac{CD}{AD}=\frac{3}{5}$，
设$CD=3a$，则$AD=5a$。
$\because AD=BC$，且$BC=BD+CD$，$BD=6$，
$\therefore 5a=6+3a$，
解得$a=3$，
$\therefore CD=3a=3×3=9$。
(2) 由(1)可得，$AD=BC=5a=15$，$CD=9$，
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12$，
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+15^2}=\sqrt{144+225}=\sqrt{369}=3\sqrt{41}$，
根据正弦的定义，$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{3\sqrt{41}}=\frac{4\sqrt{41}}{41}$。
【答案】
(1) $CD=9$；(2) $\sin B=\frac{4\sqrt{41}}{41}$
【知识点】
锐角三角函数定义、勾股定理、解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，通过三角函数的定义设参数求边长是常用的解题技巧，解题时要注意结合图形找准直角三角形中边与角的对应关系，灵活运用勾股定理计算边长。
【难度系数】
0.7
（1）首先在$\mathrm{Rt}△ACD$中，根据余弦的定义可知$\cos ∠ ADC$等于∠ADC的邻边$CD$与斜边$AD$的比值为$\frac{3}{5}$，因此可通过设参数的方法表示$CD$和$AD$的长度；再结合已知$AD=BC$，且$BC=BD+CD$，$BD=6$，代入参数列方程求出参数值，即可得到$CD$的长。
（2）先利用勾股定理在$\mathrm{Rt}△ACD$中求出$AC$的长度，再在$\mathrm{Rt}△ABC$中利用勾股定理求出斜边$AB$的长度，最后根据正弦的定义，$\sin B$是∠B的对边$AC$与斜边$AB$的比值，化简即可得到结果。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠ C=90°$，由余弦的定义得：$\cos ∠ ADC=\frac{CD}{AD}=\frac{3}{5}$，
设$CD=3a$，则$AD=5a$。
$\because AD=BC$，且$BC=BD+CD$，$BD=6$，
$\therefore 5a=6+3a$，
解得$a=3$，
$\therefore CD=3a=3×3=9$。
(2) 由(1)可得，$AD=BC=5a=15$，$CD=9$，
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12$，
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+15^2}=\sqrt{144+225}=\sqrt{369}=3\sqrt{41}$，
根据正弦的定义，$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{3\sqrt{41}}=\frac{4\sqrt{41}}{41}$。
【答案】
(1) $CD=9$；(2) $\sin B=\frac{4\sqrt{41}}{41}$
【知识点】
锐角三角函数定义、勾股定理、解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，通过三角函数的定义设参数求边长是常用的解题技巧，解题时要注意结合图形找准直角三角形中边与角的对应关系，灵活运用勾股定理计算边长。
【难度系数】
0.7
14.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(10,0),点B在第一象限内,OB=5,
$\sin ∠ AOB=\dfrac{3}{5}.$
(1)求点B的坐标;
(2)求$\cos ∠ BAO$的值.
思维拓展 强化素养
$\sin ∠ AOB=\dfrac{3}{5}.$
(1)求点B的坐标;
(2)求$\cos ∠ BAO$的值.
思维拓展 强化素养
答案
14.解:(1)过点 $B$ 作 $BD⊥ OA$ 于点 $D$.$\because \sin ∠ AOB=\frac{BD}{OB}=\frac{3}{5},OB=5,\therefore BD=3.\therefore OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=4.\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(4,3)$.(2)$\because A(10,0),\therefore OA=10$. 由(1)知 $OD=4,BD=3,\therefore AD=OA-OD=6.\therefore AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=3\sqrt{5}.\therefore \cos ∠ BAO=\frac{AD}{AB}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
解析
【分析】
(1) 要求点B的坐标，可过点B向x轴作垂线构造直角三角形，点B的横坐标为垂足到原点的距离，纵坐标为垂线段的长度。已知OB长度和∠AOB的正弦值，根据正弦的定义可先求出垂线段长度，再用勾股定理求出垂足到原点的距离，即可得到点B坐标。
(2) 要求∠BAO的余弦值，先明确该角所在的直角三角形，余弦值为角的邻边与斜边的比值，先计算出邻边和斜边的长度，再代入定义化简即可得到结果。
【解析】
(1) 过点 $B$ 作 $BD⊥ OA$ 于点 $D$。
在$Rt△ OBD$中，$\because \sin ∠ AOB=\frac{BD}{OB}=\frac{3}{5},OB=5$，
$\therefore BD=OB×\frac{3}{5}=3$。
由勾股定理得：$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
$\because$ 点B在第一象限，$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(4,3)$。
(2)$\because A(10,0),\therefore OA=10$。
由(1)知 $OD=4,BD=3$，$\therefore AD=OA-OD=10-4=6$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$。
$\therefore \cos ∠ BAO=\frac{AD}{AB}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(4,3)}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 勾股定理
3. 平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是三角函数与坐标系结合的基础题型，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，将三角函数的边角关系转化为线段长度计算，解题时要注意坐标的符号以及最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
(1) 要求点B的坐标，可过点B向x轴作垂线构造直角三角形，点B的横坐标为垂足到原点的距离，纵坐标为垂线段的长度。已知OB长度和∠AOB的正弦值，根据正弦的定义可先求出垂线段长度，再用勾股定理求出垂足到原点的距离，即可得到点B坐标。
(2) 要求∠BAO的余弦值，先明确该角所在的直角三角形，余弦值为角的邻边与斜边的比值，先计算出邻边和斜边的长度，再代入定义化简即可得到结果。
【解析】
(1) 过点 $B$ 作 $BD⊥ OA$ 于点 $D$。
在$Rt△ OBD$中，$\because \sin ∠ AOB=\frac{BD}{OB}=\frac{3}{5},OB=5$，
$\therefore BD=OB×\frac{3}{5}=3$。
由勾股定理得：$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
$\because$ 点B在第一象限，$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(4,3)$。
(2)$\because A(10,0),\therefore OA=10$。
由(1)知 $OD=4,BD=3$，$\therefore AD=OA-OD=10-4=6$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$。
$\therefore \cos ∠ BAO=\frac{AD}{AB}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(4,3)}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 勾股定理
3. 平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是三角函数与坐标系结合的基础题型，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，将三角函数的边角关系转化为线段长度计算，解题时要注意坐标的符号以及最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
15. 规律探究 新趋势 如图,根据图中数据完成填空,再按要求解答下列问题.
$\sin^2 A_1 + \cos^2 A_1 =$
$\sin^2 A_2 + \cos^2 A_2 =$
$\sin^2 A_3 + \cos^2 A_3 =$
…
（1）猜想:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C = 90°$,则$\sin^2 A + \cos^2 A =$
（2）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,已知$∠ C = 90°$,$∠ A$,$∠ B$,$∠ C$的对边分别是$a$,$b$,$c$,试证明（1）中的猜想.
$\sin^2 A_1 + \cos^2 A_1 =$
1
；$\sin^2 A_2 + \cos^2 A_2 =$
1
；$\sin^2 A_3 + \cos^2 A_3 =$
1
；…
（1）猜想:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C = 90°$,则$\sin^2 A + \cos^2 A =$
1
；（2）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,已知$∠ C = 90°$,$∠ A$,$∠ B$,$∠ C$的对边分别是$a$,$b$,$c$,试证明（1）中的猜想.
答案
15.1 1 1 (1)1 (2)在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$\because ∠ C=90°,\therefore a^2+b^2=c^2,\sin A=\frac{a}{c},\cos A=\frac{b}{c}.\therefore \sin^2 A+\cos^2 A=(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=\frac{a^2+b^2}{c^2}=1$.
解析
【分析】
解题时先利用锐角三角函数的定义，分别计算三个直角三角形中对应角的正弦、余弦，再求出它们的平方和，观察计算结果总结规律，最后结合勾股定理对总结的规律进行证明即可。第一步：回忆正弦、余弦定义：直角三角形中，锐角的正弦是对边与斜边的比值，余弦是邻边与斜边的比值，先计算三个具体式子的结果；第二步：根据计算结果猜想一般结论；第三步：用直角三角形的三边结合勾股定理和三角函数定义推导证明猜想。
【解析】
1. 计算$\sin^2 A_1 + \cos^2 A_1$：
在$\mathrm{Rt}△A_1B_1C_1$中，$∠ C_1=90°$，$\sin A_1=\frac{B_1C_1}{A_1B_1}=\frac{1}{2}$，$\cos A_1=\frac{A_1C_1}{A_1B_1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则$\sin^2 A_1 + \cos^2 A_1=(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$。
2. 计算$\sin^2 A_2 + \cos^2 A_2$：
在$\mathrm{Rt}△A_2B_2C_2$中，$∠ C_2=90°$，$\sin A_2=\frac{B_2C_2}{A_2B_2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\cos A_2=\frac{A_2C_2}{A_2B_2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
则$\sin^2 A_2 + \cos^2 A_2=(\frac{1}{\sqrt{2}})^2+(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$。
3. 计算$\sin^2 A_3 + \cos^2 A_3$：
在$\mathrm{Rt}△A_3B_3C_3$中，$∠ C_3=90°$，$\sin A_3=\frac{B_3C_3}{A_3B_3}=\frac{3}{5}$，$\cos A_3=\frac{A_3C_3}{A_3B_3}=\frac{4}{5}$，
则$\sin^2 A_3 + \cos^2 A_3=(\frac{3}{5})^2+(\frac{4}{5})^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$。
（1）观察上述三个计算结果均为1，猜想：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，则$\sin^2 A + \cos^2 A =1$。
（2）证明：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的对边分别是$a$、$b$、$c$，
由勾股定理可得：$a^2+b^2=c^2$，
根据锐角三角函数的定义：$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，
则$\sin^2 A+\cos^2 A=(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1$，猜想得证。
【答案】
$1$；$1$；$1$；(1) $1$；(2) 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$\because ∠ C=90°,\therefore a^2+b^2=c^2,\sin A=\frac{a}{c},\cos A=\frac{b}{c}.\therefore \sin^2 A+\cos^2 A=(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=\frac{a^2+b^2}{c^2}=1$。
【知识点】
正弦与余弦的定义；勾股定理；同角三角函数的基本关系
【点评】
本题属于规律探究类题目，遵循从特殊到一般的推导思路，既考查了对锐角三角函数定义和勾股定理的掌握，也锻炼了归纳猜想与证明的数学思维，是三角函数基础性质的典型应用。
【难度系数】
0.8
解题时先利用锐角三角函数的定义，分别计算三个直角三角形中对应角的正弦、余弦，再求出它们的平方和，观察计算结果总结规律，最后结合勾股定理对总结的规律进行证明即可。第一步：回忆正弦、余弦定义：直角三角形中，锐角的正弦是对边与斜边的比值，余弦是邻边与斜边的比值，先计算三个具体式子的结果；第二步：根据计算结果猜想一般结论；第三步：用直角三角形的三边结合勾股定理和三角函数定义推导证明猜想。
【解析】
1. 计算$\sin^2 A_1 + \cos^2 A_1$：
在$\mathrm{Rt}△A_1B_1C_1$中，$∠ C_1=90°$，$\sin A_1=\frac{B_1C_1}{A_1B_1}=\frac{1}{2}$，$\cos A_1=\frac{A_1C_1}{A_1B_1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则$\sin^2 A_1 + \cos^2 A_1=(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$。
2. 计算$\sin^2 A_2 + \cos^2 A_2$：
在$\mathrm{Rt}△A_2B_2C_2$中，$∠ C_2=90°$，$\sin A_2=\frac{B_2C_2}{A_2B_2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\cos A_2=\frac{A_2C_2}{A_2B_2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
则$\sin^2 A_2 + \cos^2 A_2=(\frac{1}{\sqrt{2}})^2+(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$。
3. 计算$\sin^2 A_3 + \cos^2 A_3$：
在$\mathrm{Rt}△A_3B_3C_3$中，$∠ C_3=90°$，$\sin A_3=\frac{B_3C_3}{A_3B_3}=\frac{3}{5}$，$\cos A_3=\frac{A_3C_3}{A_3B_3}=\frac{4}{5}$，
则$\sin^2 A_3 + \cos^2 A_3=(\frac{3}{5})^2+(\frac{4}{5})^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$。
（1）观察上述三个计算结果均为1，猜想：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，则$\sin^2 A + \cos^2 A =1$。
（2）证明：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的对边分别是$a$、$b$、$c$，
由勾股定理可得：$a^2+b^2=c^2$，
根据锐角三角函数的定义：$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，
则$\sin^2 A+\cos^2 A=(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1$，猜想得证。
【答案】
$1$；$1$；$1$；(1) $1$；(2) 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$\because ∠ C=90°,\therefore a^2+b^2=c^2,\sin A=\frac{a}{c},\cos A=\frac{b}{c}.\therefore \sin^2 A+\cos^2 A=(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=\frac{a^2+b^2}{c^2}=1$。
【知识点】
正弦与余弦的定义；勾股定理；同角三角函数的基本关系
【点评】
本题属于规律探究类题目，遵循从特殊到一般的推导思路，既考查了对锐角三角函数定义和勾股定理的掌握，也锻炼了归纳猜想与证明的数学思维，是三角函数基础性质的典型应用。
【难度系数】
0.8
