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1.「2026 江苏南通启东期末」如图,已知线段AB,延长线段BA至C,使$CB=\frac{4}{3}AB$.
(1)请根据题意将图形补充完整,直接写出$AC=$
(2)设$AB=9\ \mathrm{cm}$,点D从点B出发,点E同时从点A出发,分别以3 cm/s,1 cm/s的速度沿直线AB向左运动.
①当点D运动到线段AB上时,求AD与CE的数量关系,并说明理由.
②在点D,E沿直线AB向左运动的过程中,M,N分别是线段DE,AB的中点,当点C恰好为线段BD的三等分点时,求MN的长.
(1)请根据题意将图形补充完整,直接写出$AC=$
$\frac{1}{3}$
AB.(2)设$AB=9\ \mathrm{cm}$,点D从点B出发,点E同时从点A出发,分别以3 cm/s,1 cm/s的速度沿直线AB向左运动.
①当点D运动到线段AB上时,求AD与CE的数量关系,并说明理由.
②在点D,E沿直线AB向左运动的过程中,M,N分别是线段DE,AB的中点,当点C恰好为线段BD的三等分点时,求MN的长.
答案
(1)图形补充完整,如图
,因为$CB=\frac{4}{3}AB$,所以$CA=BC-AB=\frac{1}{3}AB$.
(2)①$AD=3CE$.
理由:如图
,由(1)得 $CA=\frac{1}{3}AB=3\ \mathrm{cm}$,设运动的时间为 $t\ \mathrm{s}$,则
$DA=9-3t=3(3-t)\ \mathrm{cm}$,$CE=(3-t)\ \mathrm{cm}$,所以 $AD=3CE$.
②当 $BD=3CD$ 时,如图
,因为 $AB=9\ \mathrm{cm}$,$CA=3\ \mathrm{cm}$,所以 $BC=AB+AC=12\ \mathrm{cm}$,
因为 $BD=3CD$,所以 $BD=\frac{3}{2}BC=18\ \mathrm{cm}$,
所以运动时间为 $18÷3=6(\mathrm{s})$,则 $AE=6\ \mathrm{cm}$,
所以 $BE=BA+AE=15\ \mathrm{cm}$,所以 $ED=BD-BE=3\ \mathrm{cm}$,
因为 $M,N$ 分别是线段 $DE,AB$ 的中点,
所以 $DM=1.5\ \mathrm{cm}$,$BN=4.5\ \mathrm{cm}$,
所以 $MN=BD-DM-BN=12\ \mathrm{cm}$.
当 $BD=3CB=36\ \mathrm{cm}$ 时,如图
,运动时间为 $36÷3=12(\mathrm{s})$,则 $AE=12\ \mathrm{cm}$,
所以 $BE=BA+AE=21\ \mathrm{cm}$,所以 $ED=BD-BE=15\ \mathrm{cm}$,
因为 $M,N$ 分别是线段 $DE,AB$ 的中点,
所以 $DM=7.5\ \mathrm{cm}$,$BN=4.5\ \mathrm{cm}$,
所以 $MN=BD-DM-BN=24\ \mathrm{cm}$.
综上,$MN$ 的长是 $12\ \mathrm{cm}$ 或 $24\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
(1) 首先按照题意延长BA到C，使得$CB=\frac{4}{3}AB$，利用线段和差关系$AC=CB-AB$，代入已知的$CB$与$AB$的关系，即可求出$AC$和$AB$的数量关系。
(2) ①属于动点问题，先根据$AB$的长度算出$AC$的长，设运动时间为$t$秒，用含$t$的代数式分别表示出$AD$和$CE$的长度，对比即可得到二者的数量关系。
②线段$BD$的三等分点有两种情况，分别对应$CD=\frac{1}{3}BD$和$CD=\frac{2}{3}BD$，需分情况计算运动时间，再结合线段中点的性质分别求出$MN$的长度，注意不要漏解。
【解析】
(1) 补充图形如图，
$\because CB=\frac{4}{3}AB$，且$CB=AC+AB$，
$\therefore AC=CB-AB=\frac{4}{3}AB - AB=\frac{1}{3}AB$。
(2) ①$AD=3CE$，理由如下：
补充图形如图，
由(1)得，当$AB=9\ \mathrm{cm}$时，$AC=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×9=3\ \mathrm{cm}$。
设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，由题意得：点D向左运动的路程为$3t\ \mathrm{cm}$，点E向左运动的路程为$t\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AD=AB - BD=9 - 3t=3(3-t)\ \mathrm{cm}$，
$CE=AC - AE=3 - t=(3-t)\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AD=3CE$。
②线段$BD$的三等分点分两种情况：
情况1：当$BD=3CD$时，如图，
$\because AB=9\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BC=AB+AC=9+3=12\ \mathrm{cm}$，
$\because BD=3CD$，$BD=CD+BC$，
$\therefore BD=\frac{3}{2}BC=18\ \mathrm{cm}$，
运动时间$t=18÷3=6\ \mathrm{s}$，
此时$AE=1×6=6\ \mathrm{cm}$，$BE=BA+AE=9+6=15\ \mathrm{cm}$，$ED=BD - BE=18 - 15=3\ \mathrm{cm}$，
$\because$ M、N分别是线段DE、AB的中点，
$\therefore DM=\frac{1}{2}DE=1.5\ \mathrm{cm}$，$BN=\frac{1}{2}AB=4.5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore MN=BD - DM - BN=18 - 1.5 - 4.5=12\ \mathrm{cm}$。
情况2：当$CD=3BD$时，如图，此时$BD=3BC=3×12=36\ \mathrm{cm}$，
运动时间$t=36÷3=12\ \mathrm{s}$，
此时$AE=1×12=12\ \mathrm{cm}$，$BE=BA+AE=9+12=21\ \mathrm{cm}$，$ED=BD - BE=36 - 21=15\ \mathrm{cm}$，
$\because$ M、N分别是线段DE、AB的中点，
$\therefore DM=\frac{1}{2}DE=7.5\ \mathrm{cm}$，$BN=\frac{1}{2}AB=4.5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore MN=BD - DM - BN=36 -7.5 -4.5=24\ \mathrm{cm}$。
综上，MN的长为12cm或24cm。
【答案】
(1) 图形补充完整如图，$\frac{1}{3}$
(2) ①$AD=3CE$；②MN的长是$12\ \mathrm{cm}$或$24\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段和差计算、线段中点性质、动点分类讨论
【点评】
本题是线段的综合题型，重点考察线段和差关系、中点性质的应用，以及分类讨论的数学思想，解题时注意线段的三等分点存在两种情况，避免漏解，学会用含时间的代数式表示运动过程中的线段长度是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.3
(1) 首先按照题意延长BA到C，使得$CB=\frac{4}{3}AB$，利用线段和差关系$AC=CB-AB$，代入已知的$CB$与$AB$的关系，即可求出$AC$和$AB$的数量关系。
(2) ①属于动点问题，先根据$AB$的长度算出$AC$的长，设运动时间为$t$秒，用含$t$的代数式分别表示出$AD$和$CE$的长度，对比即可得到二者的数量关系。
②线段$BD$的三等分点有两种情况，分别对应$CD=\frac{1}{3}BD$和$CD=\frac{2}{3}BD$，需分情况计算运动时间，再结合线段中点的性质分别求出$MN$的长度，注意不要漏解。
【解析】
(1) 补充图形如图
，$\because CB=\frac{4}{3}AB$，且$CB=AC+AB$，
$\therefore AC=CB-AB=\frac{4}{3}AB - AB=\frac{1}{3}AB$。
(2) ①$AD=3CE$，理由如下：
补充图形如图
，由(1)得，当$AB=9\ \mathrm{cm}$时，$AC=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×9=3\ \mathrm{cm}$。
设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，由题意得：点D向左运动的路程为$3t\ \mathrm{cm}$，点E向左运动的路程为$t\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AD=AB - BD=9 - 3t=3(3-t)\ \mathrm{cm}$，
$CE=AC - AE=3 - t=(3-t)\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AD=3CE$。
②线段$BD$的三等分点分两种情况：
情况1：当$BD=3CD$时，如图
，$\because AB=9\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BC=AB+AC=9+3=12\ \mathrm{cm}$，
$\because BD=3CD$，$BD=CD+BC$，
$\therefore BD=\frac{3}{2}BC=18\ \mathrm{cm}$，
运动时间$t=18÷3=6\ \mathrm{s}$，
此时$AE=1×6=6\ \mathrm{cm}$，$BE=BA+AE=9+6=15\ \mathrm{cm}$，$ED=BD - BE=18 - 15=3\ \mathrm{cm}$，
$\because$ M、N分别是线段DE、AB的中点，
$\therefore DM=\frac{1}{2}DE=1.5\ \mathrm{cm}$，$BN=\frac{1}{2}AB=4.5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore MN=BD - DM - BN=18 - 1.5 - 4.5=12\ \mathrm{cm}$。
情况2：当$CD=3BD$时，如图
，此时$BD=3BC=3×12=36\ \mathrm{cm}$，运动时间$t=36÷3=12\ \mathrm{s}$，
此时$AE=1×12=12\ \mathrm{cm}$，$BE=BA+AE=9+12=21\ \mathrm{cm}$，$ED=BD - BE=36 - 21=15\ \mathrm{cm}$，
$\because$ M、N分别是线段DE、AB的中点，
$\therefore DM=\frac{1}{2}DE=7.5\ \mathrm{cm}$，$BN=\frac{1}{2}AB=4.5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore MN=BD - DM - BN=36 -7.5 -4.5=24\ \mathrm{cm}$。
综上，MN的长为12cm或24cm。
【答案】
(1) 图形补充完整如图
，$\frac{1}{3}$(2) ①$AD=3CE$；②MN的长是$12\ \mathrm{cm}$或$24\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段和差计算、线段中点性质、动点分类讨论
【点评】
本题是线段的综合题型，重点考察线段和差关系、中点性质的应用，以及分类讨论的数学思想，解题时注意线段的三等分点存在两种情况，避免漏解，学会用含时间的代数式表示运动过程中的线段长度是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.3
2.「2025 四川绵阳涪城期末」如图,点 C 在线段 AB 上,AC=6 cm,CB=4 cm,点 M 以 1 cm/s 的速度从点 A 出发,沿着线段 AC 向点 C 运动;同时点 N 以 2 cm/s 的速度从点 C 出发,在线段 CB 上做往返运动(即沿 C→B→C→B→…运动),当点 M 运动到点 C 时,点 M,N 都停止运动,设点 M 运动的时间为 t s.
(1)当 t=1 时,求 MN 的长.
(2)当 t 为何值时,点 C 为线段 MN 的中点?
(3)若点 P 是线段 CN 的中点,在整个运动过程中,是否存在某个时间段,PM 的长度保持不变?如果存在,求出 PM 的长度;如果不存在,请说明理由.
备用图
(1)当 t=1 时,求 MN 的长.
(2)当 t 为何值时,点 C 为线段 MN 的中点?
(3)若点 P 是线段 CN 的中点,在整个运动过程中,是否存在某个时间段,PM 的长度保持不变?如果存在,求出 PM 的长度;如果不存在,请说明理由.
备用图
答案
(1)当 $t=1$ 时,$AM=1\ \mathrm{cm}$,$CN=2\ \mathrm{cm}$,
所以 $MC=AC-AM=6-1=5(\mathrm{cm})$,
所以 $MN=MC+CN=5+2=7(\mathrm{cm})$.
(2)由题意得 $AM=t\ \mathrm{cm}$,所以 $MC=(6-t)\ \mathrm{cm}$,
因为点 $M$ 运动到点 $C$ 时,点 $M,N$ 都停止运动,
所以 $0≤ t≤6$.
①当 $0≤ t≤2$ 时,点 $N$ 从 $C$ 向 $B$ 运动,$CN=2t\ \mathrm{cm}$,
因为点 $C$ 为线段 $MN$ 的中点,
所以 $MC=CN$,即 $6-t=2t$,解得 $t=2$.
②当 $2＜t≤4$ 时,点 $N$ 从 $B$ 向 $C$ 运动,
$BN=(2t-4)\ \mathrm{cm}$,
所以 $CN=4-(2t-4)=(8-2t)\ \mathrm{cm}$,
因为点 $C$ 为线段 $MN$ 的中点,
所以 $MC=CN$,即 $6-t=8-2t$,解得 $t=2$(舍去).
③当 $4＜t≤6$ 时,点 $N$ 从 $C$ 向 $B$ 运动,$CN=(2t-8)\ \mathrm{cm}$,
因为点 $C$ 为线段 $MN$ 的中点,
所以 $MC=CN$,即 $6-t=2t-8$,解得 $t=\frac{14}{3}$.
综上所述,当 $t=2$ 或 $\frac{14}{3}$ 时,点 $C$ 为线段 $MN$ 的中点.
(3)存在.如图
,①当 $0≤ t≤2$ 时,点 $N$ 从 $C$ 向 $B$ 运动,$CN=2t\ \mathrm{cm}$,
因为点 $P$ 是线段 $CN$ 的中点,
所以 $CP=\frac{1}{2}CN=t\ \mathrm{cm}$,所以 $PM=MC+CP=6-t+t=6\ \mathrm{cm}$,此时 $PM$ 的长度保持不变.
②当 $2＜t＜4$ 时,点 $N$ 从 $B$ 向 $C$ 运动,$CN=(8-2t)\ \mathrm{cm}$,
因为点 $P$ 是线段 $CN$ 的中点,
所以 $CP=\frac{1}{2}CN=\frac{1}{2}(8-2t)=(4-t)\ \mathrm{cm}$,
所以 $PM=MC+CP=6-t+(4-t)=(10-2t)\ \mathrm{cm}$,
此时 $PM$ 的长度变化.
③当 $4≤ t≤6$ 时,点 $N$ 从 $C$ 向 $B$ 运动,$CN=(2t-8)\ \mathrm{cm}$,
因为点 $P$ 是线段 $CN$ 的中点,
所以 $CP=\frac{1}{2}CN=\frac{1}{2}(2t-8)=(t-4)\ \mathrm{cm}$,
所以 $PM=MC+CP=6-t+(t-4)=2\ \mathrm{cm}$,
此时 $PM$ 的长度保持不变.
综上所述,当 $0≤ t≤2$ 时,$PM$ 的长度保持不变,为 $6\ \mathrm{cm}$;当 $4≤ t≤6$ 时,$PM$ 的长度保持不变,为 $2\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
本题是线段上的动点综合问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：先根据运动速度和时间t=1，分别求出AM、CN的长度，再用AC减去AM得到MC的长度，此时M在AC上、N在CB上，两点在C的两侧，MN=MC+CN，代入数值计算即可。
2. 第(2)问：点C为MN中点的核心条件是MC=CN。首先确定总运动时间范围是0≤t≤6（M从A到C共需6s），再根据点N的往返运动分三段讨论：①0≤t≤2时N从C向B运动，②2＜t≤4时N从B向C运动，③4＜t≤6时N再次从C向B运动，每段分别用含t的式子表示CN的长度，再列MC=CN的方程求解，注意解要符合对应时间段，不符合的舍去。
3. 第(3)问：点P是CN中点，因此CP=½CN，同样按上述三个时间段分别用含t的式子表示CP，再计算PM=MC+CP，若表达式中不含t则说明PM长度不变，即可得出对应的时间段和PM长度。
【解析】
(1)当 $t=1$ 时,$AM=1×1=1\ \mathrm{cm}$,$CN=2×1=2\ \mathrm{cm}$,
所以 $MC=AC-AM=6-1=5(\mathrm{cm})$,
所以 $MN=MC+CN=5+2=7(\mathrm{cm})$。
(2)由题意得 $AM=t\ \mathrm{cm}$,所以 $MC=(6-t)\ \mathrm{cm}$,
因为点 $M$ 运动到点 $C$ 时,点 $M,N$ 都停止运动,
所以 $0≤ t≤6$。
①当 $0≤ t≤2$ 时,点 $N$ 从 $C$ 向 $B$ 运动,$CN=2t\ \mathrm{cm}$,
因为点 $C$ 为线段 $MN$ 的中点,
所以 $MC=CN$,即 $6-t=2t$,解得 $t=2$。
②当 $2＜t≤4$ 时,点 $N$ 从 $B$ 向 $C$ 运动,
$BN=(2t-4)\ \mathrm{cm}$,
所以 $CN=4-(2t-4)=(8-2t)\ \mathrm{cm}$,
因为点 $C$ 为线段 $MN$ 的中点,
所以 $MC=CN$,即 $6-t=8-2t$,解得 $t=2$(舍去)。
③当 $4＜t≤6$ 时,点 $N$ 从 $C$ 向 $B$ 运动,$CN=(2t-8)\ \mathrm{cm}$,
因为点 $C$ 为线段 $MN$ 的中点,
所以 $MC=CN$,即 $6-t=2t-8$,解得 $t=\frac{14}{3}$。
综上所述,当 $t=2$ 或 $\frac{14}{3}$ 时,点 $C$ 为线段 $MN$ 的中点。
(3)存在。
①当 $0≤ t≤2$ 时,点 $N$ 从 $C$ 向 $B$ 运动,$CN=2t\ \mathrm{cm}$,
因为点 $P$ 是线段 $CN$ 的中点,
所以 $CP=\frac{1}{2}CN=t\ \mathrm{cm}$,所以 $PM=MC+CP=6-t+t=6\ \mathrm{cm}$,此时 $PM$ 的长度保持不变。
②当 $2＜t＜4$ 时,点 $N$ 从 $B$ 向 $C$ 运动,$CN=(8-2t)\ \mathrm{cm}$,
因为点 $P$ 是线段 $CN$ 的中点,
所以 $CP=\frac{1}{2}CN=\frac{1}{2}(8-2t)=(4-t)\ \mathrm{cm}$,
所以 $PM=MC+CP=6-t+(4-t)=(10-2t)\ \mathrm{cm}$,
此时 $PM$ 的长度变化。
③当 $4≤ t≤6$ 时,点 $N$ 从 $C$ 向 $B$ 运动,$CN=(2t-8)\ \mathrm{cm}$,
因为点 $P$ 是线段 $CN$ 的中点,
所以 $CP=\frac{1}{2}CN=\frac{1}{2}(2t-8)=(t-4)\ \mathrm{cm}$,
所以 $PM=MC+CP=6-t+(t-4)=2\ \mathrm{cm}$,
此时 $PM$ 的长度保持不变。
综上所述,当 $0≤ t≤2$ 时,$PM$ 的长度保持不变,为 $6\ \mathrm{cm}$;当 $4≤ t≤6$ 时,$PM$ 的长度保持不变,为 $2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{MN=7\ \mathrm{cm}}$
(2) $\boldsymbol{t=2}$ 或 $\boldsymbol{t=\frac{14}{3}}$
(3) 存在，当 $0≤ t≤2$ 时，$PM$ 长恒为 $\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$；当 $4≤ t≤6$ 时，$PM$ 长恒为 $\boldsymbol{2\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的性质，动点分类讨论
【点评】
本题是线段动点的典型综合题，结合了行程问题的路程计算，需要根据动点的运动阶段准确分类讨论，同时要注意方程的解需符合对应时间段的要求，能够有效考查对线段性质的应用和分类讨论思想的掌握。
【难度系数】
0.3
本题是线段上的动点综合问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：先根据运动速度和时间t=1，分别求出AM、CN的长度，再用AC减去AM得到MC的长度，此时M在AC上、N在CB上，两点在C的两侧，MN=MC+CN，代入数值计算即可。
2. 第(2)问：点C为MN中点的核心条件是MC=CN。首先确定总运动时间范围是0≤t≤6（M从A到C共需6s），再根据点N的往返运动分三段讨论：①0≤t≤2时N从C向B运动，②2＜t≤4时N从B向C运动，③4＜t≤6时N再次从C向B运动，每段分别用含t的式子表示CN的长度，再列MC=CN的方程求解，注意解要符合对应时间段，不符合的舍去。
3. 第(3)问：点P是CN中点，因此CP=½CN，同样按上述三个时间段分别用含t的式子表示CP，再计算PM=MC+CP，若表达式中不含t则说明PM长度不变，即可得出对应的时间段和PM长度。
【解析】
(1)当 $t=1$ 时,$AM=1×1=1\ \mathrm{cm}$,$CN=2×1=2\ \mathrm{cm}$,
所以 $MC=AC-AM=6-1=5(\mathrm{cm})$,
所以 $MN=MC+CN=5+2=7(\mathrm{cm})$。
(2)由题意得 $AM=t\ \mathrm{cm}$,所以 $MC=(6-t)\ \mathrm{cm}$,
因为点 $M$ 运动到点 $C$ 时,点 $M,N$ 都停止运动,
所以 $0≤ t≤6$。
①当 $0≤ t≤2$ 时,点 $N$ 从 $C$ 向 $B$ 运动,$CN=2t\ \mathrm{cm}$,
因为点 $C$ 为线段 $MN$ 的中点,
所以 $MC=CN$,即 $6-t=2t$,解得 $t=2$。
②当 $2＜t≤4$ 时,点 $N$ 从 $B$ 向 $C$ 运动,
$BN=(2t-4)\ \mathrm{cm}$,
所以 $CN=4-(2t-4)=(8-2t)\ \mathrm{cm}$,
因为点 $C$ 为线段 $MN$ 的中点,
所以 $MC=CN$,即 $6-t=8-2t$,解得 $t=2$(舍去)。
③当 $4＜t≤6$ 时,点 $N$ 从 $C$ 向 $B$ 运动,$CN=(2t-8)\ \mathrm{cm}$,
因为点 $C$ 为线段 $MN$ 的中点,
所以 $MC=CN$,即 $6-t=2t-8$,解得 $t=\frac{14}{3}$。
综上所述,当 $t=2$ 或 $\frac{14}{3}$ 时,点 $C$ 为线段 $MN$ 的中点。
(3)存在。
①当 $0≤ t≤2$ 时,点 $N$ 从 $C$ 向 $B$ 运动,$CN=2t\ \mathrm{cm}$,
因为点 $P$ 是线段 $CN$ 的中点,
所以 $CP=\frac{1}{2}CN=t\ \mathrm{cm}$,所以 $PM=MC+CP=6-t+t=6\ \mathrm{cm}$,此时 $PM$ 的长度保持不变。
②当 $2＜t＜4$ 时,点 $N$ 从 $B$ 向 $C$ 运动,$CN=(8-2t)\ \mathrm{cm}$,
因为点 $P$ 是线段 $CN$ 的中点,
所以 $CP=\frac{1}{2}CN=\frac{1}{2}(8-2t)=(4-t)\ \mathrm{cm}$,
所以 $PM=MC+CP=6-t+(4-t)=(10-2t)\ \mathrm{cm}$,
此时 $PM$ 的长度变化。
③当 $4≤ t≤6$ 时,点 $N$ 从 $C$ 向 $B$ 运动,$CN=(2t-8)\ \mathrm{cm}$,
因为点 $P$ 是线段 $CN$ 的中点,
所以 $CP=\frac{1}{2}CN=\frac{1}{2}(2t-8)=(t-4)\ \mathrm{cm}$,
所以 $PM=MC+CP=6-t+(t-4)=2\ \mathrm{cm}$,
此时 $PM$ 的长度保持不变。
综上所述,当 $0≤ t≤2$ 时,$PM$ 的长度保持不变,为 $6\ \mathrm{cm}$;当 $4≤ t≤6$ 时,$PM$ 的长度保持不变,为 $2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{MN=7\ \mathrm{cm}}$
(2) $\boldsymbol{t=2}$ 或 $\boldsymbol{t=\frac{14}{3}}$
(3) 存在，当 $0≤ t≤2$ 时，$PM$ 长恒为 $\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$；当 $4≤ t≤6$ 时，$PM$ 长恒为 $\boldsymbol{2\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的性质，动点分类讨论
【点评】
本题是线段动点的典型综合题，结合了行程问题的路程计算，需要根据动点的运动阶段准确分类讨论，同时要注意方程的解需符合对应时间段的要求，能够有效考查对线段性质的应用和分类讨论思想的掌握。
【难度系数】
0.3
