3.「2026河南南阳镇平期末」某校七(1)班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副三角尺尝试完成探究. 如图,边OA,OD落在直线MN上,∠AOB=45°,∠COD=60°,在的基础上,保持三角尺COD不动,将三角尺AOB绕点O顺时针旋转角度α. (1)如图,当∠AOD为直角时,求∠BOC的度数. (2)如图,在转动过程中,两块三角尺都在直线MN的上方,当OC平分由OA,OB,OD其中任意两边组成的角时,请直接写出旋转角α(即∠MOA)的度数.

(1)因为 $∠ AOD=90°$,$∠ COD=60°$,
所以 $∠ AOC=∠ AOD-∠ COD=90°-60°=30°$,
因为 $∠ AOB=45°$,
所以 $∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC=45°-30°=15°$.
(2)情况1:如图,$OC$ 平分 $∠ AOB$,
因为 $∠ AOB=45°$,所以 $∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=22.5°$,
所以 $∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=22.5°+60°=82.5°$,
所以 $∠ AOM=α=180°-∠ AOD=180°-82.5°=97.5°$.
情况2:如图,$OC$ 平分 $∠ AOD$,
因为 $∠ COD=60°$,所以 $∠ AOD=2∠ COD=120°$,
所以 $∠ AOM=α=180°-∠ AOD=180°-120°=60°$.
情况3:如图,$OC$ 平分 $∠ BOD$,
因为 $∠ COD=60°$,所以 $∠ BOD=2∠ COD=120°$,
所以 $∠ AOD=∠ AOB+∠ BOD=45°+120°=165°$,
所以 $∠ AOM=α=180°-∠ AOD=180°-165°=15°$.
综上,旋转角 $α$ 的度数为 $97.5°$或 $60°$或 $15°$.

【分析】
(1) 求∠BOC的度数可先求∠AOC的度数：已知∠AOD为直角、∠COD=60°，用∠AOD减∠COD即可得到∠AOC，再结合已知∠AOB=45°，用∠AOB减∠AOC就能求出∠BOC。
(2) OC平分OA、OB、OD任意两边组成的角，需分三种情况讨论：①OC平分∠AOB；②OC平分∠AOD；③OC平分∠BOD。每种情况先根据角平分线的性质求出对应∠AOD的度数，再结合平角为180°，用180°减去∠AOD即可得到旋转角α的度数。
【解析】
(1) 因为$∠ AOD=90°$，$∠ COD=60°$，
所以$∠ AOC=∠ AOD-∠ COD=90°-60°=30°$，
因为$∠ AOB=45°$，
所以$∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC=45°-30°=15°$。
(2) 分三种情况讨论：
情况1：如图，$OC$平分$∠ AOB$，
因为$∠ AOB=45°$，所以$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=22.5°$，
所以$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=22.5°+60°=82.5°$，
所以$∠ AOM=α=180°-∠ AOD=180°-82.5°=97.5°$。
情况2：如图，$OC$平分$∠ AOD$，
因为$∠ COD=60°$，所以$∠ AOD=2∠ COD=120°$，
所以$∠ AOM=α=180°-∠ AOD=180°-120°=60°$。
情况3：如图，$OC$平分$∠ BOD$，
因为$∠ COD=60°$，所以$∠ BOD=2∠ COD=120°$，
所以$∠ AOD=∠ AOB+∠ BOD=45°+120°=165°$，
所以$∠ AOM=α=180°-∠ AOD=180°-165°=15°$。
综上，旋转角$α$的度数为$97.5°$或$60°$或$15°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{15°}$
(2) $\boldsymbol{15°}$或$\boldsymbol{60°}$或$\boldsymbol{97.5°}$，对应图分别为、、
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，平角的性质
【点评】
本题结合三角板旋转考查角的计算，解题时需分类讨论避免漏解，熟练掌握角平分线的定义和角的和差运算即可顺利解题。
【难度系数】
0.6

4.「2026 山东青岛期末」已知 OC 是∠AOB 内部的一条射线,且∠AOB=3∠AOC.
(1)如图1所示,若∠AOB=120°,OM平分∠AOC,ON平分∠AOB,求∠MON的度数.
(2)如图2所示,∠AOB=x°,射线OP、射线OQ分别从OC,OB出发,并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕着点O逆时针旋转,OP和OQ分别只在∠AOC和∠BOC内部旋转,运动时间为t秒.
①直接写出∠AOP和∠COQ的数量关系.
②若∠AOB=150°,∠POQ=$\frac{2}{3}$∠BOP,求t的值.

(1)因为 $∠ AOB=3∠ AOC$,$∠ AOB=120°$,
所以 $∠ AOC=\frac{1}{3}×120°=40°$,
因为 $OM$ 平分 $∠ AOC$,$ON$ 平分 $∠ AOB$,
所以 $∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=20°$,$∠ AON=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$,
所以 $∠ MON=∠ AON-∠ AOM=60°-20°=40°$.
(2)①$∠ COQ=2∠ AOP$.理由如下:
因为 $∠ AOB=3∠ AOC$,$∠ AOB=x°$,
所以 $∠ AOC=\frac{1}{3}x°$,所以 $∠ BOC=\frac{2}{3}x°$,
由题意得 $∠ COP=t×1°=t°$,$∠ BOQ=t×2°=2t°$,
所以 $∠ AOP=∠ AOC-∠ COP=(\frac{1}{3}x-t)°$,
$∠ COQ=∠ BOC-∠ BOQ=(\frac{2}{3}x-2t)°$,
所以 $∠ COQ=2∠ AOP$.
②由①知 $∠ COP=t°$,$∠ COQ=(\frac{2}{3}x-2t)°$,
因为 $∠ AOB=3∠ AOC$,$∠ AOB=150°$,
所以 $∠ BOC=\frac{2}{3}∠ AOB=100°$,$∠ COQ=(100-2t)°$,
所以 $∠ POQ=∠ COQ+∠ COP=(100-t)°$,
$∠ BOP=∠ BOC+∠ COP=(100+t)°$,
因为 $∠ POQ=\frac{2}{3}∠ BOP$,所以 $100-t=\frac{2}{3}(100+t)$,
解得 $t=20$.

【分析】
(1) 解题思路：先根据∠AOB与∠AOC的倍数关系求出∠AOC的度数，再利用角平分线的性质分别求出∠AOM、∠AON的度数，最后根据∠MON=∠AON-∠AOM计算即可。
(2) ① 解题思路：先用含x的代数式表示出∠AOC和∠BOC的度数，再根据OP、OQ的旋转速度分别表示出∠COP、∠BOQ的度数，进而推导∠AOP和∠COQ的表达式，对比得出数量关系。
② 解题思路：先代入∠AOB=150°求出∠BOC的度数，再分别用含t的代数式表示出∠POQ和∠BOP的度数，根据题中给出的等量关系列一元一次方程，解方程后验证t是否符合旋转范围要求即可。
【解析】
(1) 因为 $∠ AOB=3∠ AOC$，$∠ AOB=120°$，
所以 $∠ AOC=\frac{1}{3}×120°=40°$，
因为 $OM$ 平分 $∠ AOC$，$ON$ 平分 $∠ AOB$，
所以 $∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=20°$，$∠ AON=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$，
所以 $∠ MON=∠ AON-∠ AOM=60°-20°=40°$。
(2) ① $∠ COQ=2∠ AOP$，理由如下：
因为 $∠ AOB=3∠ AOC$，$∠ AOB=x°$，
所以 $∠ AOC=\frac{1}{3}x°$，所以 $∠ BOC=\frac{2}{3}x°$，
由题意得 $∠ COP=t×1°=t°$，$∠ BOQ=t×2°=2t°$，
所以 $∠ AOP=∠ AOC-∠ COP=(\frac{1}{3}x-t)°$，
$∠ COQ=∠ BOC-∠ BOQ=(\frac{2}{3}x-2t)°$，
所以 $∠ COQ=2∠ AOP$。
② 由①知 $∠ COP=t°$，
因为 $∠ AOB=3∠ AOC$，$∠ AOB=150°$，
所以 $∠ BOC=\frac{2}{3}∠ AOB=100°$，$∠ COQ=(100-2t)°$，
所以 $∠ POQ=∠ COQ+∠ COP=(100-t)°$，
$∠ BOP=∠ BOC+∠ COP=(100+t)°$，
因为 $∠ POQ=\frac{2}{3}∠ BOP$，所以 $100-t=\frac{2}{3}(100+t)$，
解得 $t=20$，经检验此时OP、OQ均在指定角内部，符合题意。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40°}$
(2) ① $\boldsymbol{∠COQ=2∠AOP}$；② $\boldsymbol{t=20}$
【知识点】
角平分线定义，角的和差计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题围绕角的计算展开，既考查了静态下利用角平分线性质进行角度和差运算的基础能力，也考查了动态旋转场景下分析角度变化规律、结合等量关系列方程求解的综合能力，解题的关键是结合图形理清各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.6