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综合与实践 设计学校田径运动会比赛场地
背景
根据世界田联《田径场地设施标准手册》可知,400米推荐标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成,有8条跑道,每条跑道宽1.22米,单个直道长84.39米,弯道第一圈(最内圈边线)半径为36.5米
素材1
某校根据世界田联标准建成400米推荐标准跑道(如图).小轩同学计算了各圈(各跑道内侧边线)的长(π≈3.14,结果保留1位小数):
第一圈长:$84.39×2+2π×(36.5+1.22×0)≈398.0$(米);
第二圈长:$84.39×2+2π×(36.5+1.22×1)≈405.7$(米);
第三圈长:$84.39×2+2π×(36.5+1.22×2)≈413.3$(米);
……
素材2
小轩紧靠第一圈边线逆时针跑步,邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车(均以所在跑道内侧边线长计路程),在图中起跑线的位置同时出发,经过20秒两人在直道第一次相遇(注:在同侧直道,过两人所在点的直线与跑道边线垂直时,称两人在直道相遇).已知邓教练的平均速度是小轩平均速度的2倍
问题解决
任务1
(1)第三圈的一个半圆形弯道长比第一圈的一个半圆形弯道长多多少米(保留整数)
(2)小轩计算的第八圈的长是多少米(保留整数)
任务2
(3)小轩与邓教练的平均速度各是多少(保留小数点后一位)
背景
根据世界田联《田径场地设施标准手册》可知,400米推荐标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成,有8条跑道,每条跑道宽1.22米,单个直道长84.39米,弯道第一圈(最内圈边线)半径为36.5米
素材1
某校根据世界田联标准建成400米推荐标准跑道(如图).小轩同学计算了各圈(各跑道内侧边线)的长(π≈3.14,结果保留1位小数):
第一圈长:$84.39×2+2π×(36.5+1.22×0)≈398.0$(米);
第二圈长:$84.39×2+2π×(36.5+1.22×1)≈405.7$(米);
第三圈长:$84.39×2+2π×(36.5+1.22×2)≈413.3$(米);
……
素材2
小轩紧靠第一圈边线逆时针跑步,邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车(均以所在跑道内侧边线长计路程),在图中起跑线的位置同时出发,经过20秒两人在直道第一次相遇(注:在同侧直道,过两人所在点的直线与跑道边线垂直时,称两人在直道相遇).已知邓教练的平均速度是小轩平均速度的2倍
问题解决
任务1
(1)第三圈的一个半圆形弯道长比第一圈的一个半圆形弯道长多多少米(保留整数)
(2)小轩计算的第八圈的长是多少米(保留整数)
任务2
(3)小轩与邓教练的平均速度各是多少(保留小数点后一位)
答案
(1)$\frac{1}{2}×(413.3-398.0)≈8$(米).
答:第三圈的一个半圆形弯道长比第一圈的一个半圆形弯道长多8米.
(2)$84.39×2+2π×(36.5+1.22×7)≈452$(米).
答:小轩计算的第八圈的长约为452米.
(3)设小轩的平均速度为x米/秒,则邓教练的平均速度为2x米/秒,
由题意得$20(x+2x)≈398+8$,
解得$x≈6.8$,所以$2x=13.6$.
答:小轩的平均速度约为6.8米/秒,邓教练的平均速度约为13.6米/秒.
答:第三圈的一个半圆形弯道长比第一圈的一个半圆形弯道长多8米.
(2)$84.39×2+2π×(36.5+1.22×7)≈452$(米).
答:小轩计算的第八圈的长约为452米.
(3)设小轩的平均速度为x米/秒,则邓教练的平均速度为2x米/秒,
由题意得$20(x+2x)≈398+8$,
解得$x≈6.8$,所以$2x=13.6$.
答:小轩的平均速度约为6.8米/秒,邓教练的平均速度约为13.6米/秒.
解析
【分析】
（1）各跑道直道长度完全相同，不同跑道的总长度差仅来自弯道部分的周长差。第三圈和第一圈的总长度差是两个半圆形弯道的总差值（对应一个整圆的周长差），要求单个半圆形弯道的长度差，将总长度差除以2即可。
（2）计算第八圈长度时，第八圈弯道半径=最内圈弯道半径+（8-1）×单条跑道宽度，再代入跑道周长公式：跑道总长=2×直道长度+2π×对应弯道半径，代入数值计算即可。
（3）本题属于相向而行的相遇问题，核心等量关系为：两人行驶路程和=总路程。已知邓教练速度是小轩的2倍，设小轩速度为x米/秒，教练速度即为2x米/秒；两人同时同地反向出发，第一次直道相遇时的总路程为第一圈半周长与第三圈半周长之和，结合相遇时间为20秒，列方程求解即可。
【解析】
（1）各圈直道长度相等，两圈总长度差等于两个半圆形弯道的总长度差，因此单个半圆形弯道的长度差为：
$\frac{1}{2}×(413.3-398.0)=\frac{1}{2}×15.3≈8$（米）
答：第三圈的一个半圆形弯道长比第一圈的一个半圆形弯道长多8米。
（2）第八圈弯道半径为$36.5+1.22×(8-1)$，代入跑道周长公式：
第八圈长$=84.39×2+2×3.14×(36.5+1.22×7)$
$=168.78+2×3.14×45.04$
$≈452$（米）
答：小轩计算的第八圈的长约为452米。
（3）设小轩的平均速度为$x$米/秒，则邓教练的平均速度为$2x$米/秒。
由题意得两人相遇时路程和约为$398+8$米，根据路程=速度×时间列方程：
$20(x+2x)≈398+8$
$60x≈406$
解得$x≈6.8$，则邓教练的速度为$2x=2×6.8=13.6$（米/秒）
答：小轩的平均速度约为6.8米/秒，邓教练的平均速度约为13.6米/秒。
【答案】
(1)8米
(2)452米
(3)小轩平均速度约6.8米/秒，邓教练平均速度约13.6米/秒
【知识点】
圆的周长计算，一元一次方程应用，相遇问题
【点评】
本题以田径跑道设计为真实背景，将几何周长计算和行程类问题结合，既考查基础公式的掌握程度，也考查学生从实际场景中提取数学等量关系的能力，贴近生活，能够有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）各跑道直道长度完全相同，不同跑道的总长度差仅来自弯道部分的周长差。第三圈和第一圈的总长度差是两个半圆形弯道的总差值（对应一个整圆的周长差），要求单个半圆形弯道的长度差，将总长度差除以2即可。
（2）计算第八圈长度时，第八圈弯道半径=最内圈弯道半径+（8-1）×单条跑道宽度，再代入跑道周长公式：跑道总长=2×直道长度+2π×对应弯道半径，代入数值计算即可。
（3）本题属于相向而行的相遇问题，核心等量关系为：两人行驶路程和=总路程。已知邓教练速度是小轩的2倍，设小轩速度为x米/秒，教练速度即为2x米/秒；两人同时同地反向出发，第一次直道相遇时的总路程为第一圈半周长与第三圈半周长之和，结合相遇时间为20秒，列方程求解即可。
【解析】
（1）各圈直道长度相等，两圈总长度差等于两个半圆形弯道的总长度差，因此单个半圆形弯道的长度差为：
$\frac{1}{2}×(413.3-398.0)=\frac{1}{2}×15.3≈8$（米）
答：第三圈的一个半圆形弯道长比第一圈的一个半圆形弯道长多8米。
（2）第八圈弯道半径为$36.5+1.22×(8-1)$，代入跑道周长公式：
第八圈长$=84.39×2+2×3.14×(36.5+1.22×7)$
$=168.78+2×3.14×45.04$
$≈452$（米）
答：小轩计算的第八圈的长约为452米。
（3）设小轩的平均速度为$x$米/秒，则邓教练的平均速度为$2x$米/秒。
由题意得两人相遇时路程和约为$398+8$米，根据路程=速度×时间列方程：
$20(x+2x)≈398+8$
$60x≈406$
解得$x≈6.8$，则邓教练的速度为$2x=2×6.8=13.6$（米/秒）
答：小轩的平均速度约为6.8米/秒，邓教练的平均速度约为13.6米/秒。
【答案】
(1)8米
(2)452米
(3)小轩平均速度约6.8米/秒，邓教练平均速度约13.6米/秒
【知识点】
圆的周长计算，一元一次方程应用，相遇问题
【点评】
本题以田径跑道设计为真实背景，将几何周长计算和行程类问题结合，既考查基础公式的掌握程度，也考查学生从实际场景中提取数学等量关系的能力，贴近生活，能够有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
