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1.「2026广东广州期末」已知一个角为$24°40'$，则它的补角度数为（
A.$65°20'$
B.$66°20'$
C.$155°20'$
D.$156°20'$
C
）A.$65°20'$
B.$66°20'$
C.$155°20'$
D.$156°20'$
答案
1.C 因为一个角为$24°40'$,所以它的补角度数为$180°-24°40'=155°20'$.故选 C.
解析
【分析】
解题首先要回忆补角的定义：如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角。因此求已知角的补角，只需用180°减去已知角的度数即可。计算时要注意度和分的换算进制为60进制，即1°=60'，当分位不够减时，需要从度位借1°转化为60'再计算。
【解析】
根据补角的定义，互为补角的两个角之和为180°。
已知该角的度数为$24°40'$，因此它的补角度数为：
$180°-24°40'$
将$180°$改写为$179°60'$（借1°转化为60'，满足分位减法要求），分别计算度、分的差值：
度位：$179°-24°=155°$
分位：$60'-40'=20'$
合并得补角度数为$155°20'$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题是基础概念运算题，核心考查补角的定义和度分秒的60进制计算规则，只要掌握相关基础概念和运算规则，就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
解题首先要回忆补角的定义：如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角。因此求已知角的补角，只需用180°减去已知角的度数即可。计算时要注意度和分的换算进制为60进制，即1°=60'，当分位不够减时，需要从度位借1°转化为60'再计算。
【解析】
根据补角的定义，互为补角的两个角之和为180°。
已知该角的度数为$24°40'$，因此它的补角度数为：
$180°-24°40'$
将$180°$改写为$179°60'$（借1°转化为60'，满足分位减法要求），分别计算度、分的差值：
度位：$179°-24°=155°$
分位：$60'-40'=20'$
合并得补角度数为$155°20'$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题是基础概念运算题，核心考查补角的定义和度分秒的60进制计算规则，只要掌握相关基础概念和运算规则，就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
2. 学科特色多解法「2025浙江丽水期末」如图，已知∠BOC=122°18′，则∠AOC的余角的度数是（
A.57°42′
B.32°18′
C.32°14′
D.57°16′
B
）A.57°42′
B.32°18′
C.32°14′
D.57°16′
答案
2.B 【解法一】逐步计算法:因为∠AOC+∠BOC=180°,∠BOC=122°18',所以∠AOC=180°-122°18'=57°42',所以∠AOC 的余角的度数是 90°-57°42' = 32°18',故选 B.
【解法二】同角的余角与补角的关系法:
因为∠AOC 的补角∠BOC=122°18',
所以∠AOC 的余角 = 122°18'-90° = 32°18'.
知识拓展 一个锐角的补角比它的余角大 90 度.
【解法二】同角的余角与补角的关系法:
因为∠AOC 的补角∠BOC=122°18',
所以∠AOC 的余角 = 122°18'-90° = 32°18'.
知识拓展 一个锐角的补角比它的余角大 90 度.
解析
【分析】
观察图形可知A、O、B在同一直线上，因此∠AOB是平角，∠AOC与∠BOC互为补角，和为180°。解题有两种思路：第一种是先根据补角关系算出∠AOC的度数，再根据余角定义（两个角和为90°则互为余角），用90°减去∠AOC的度数得到结果；第二种是利用“一个锐角的补角比它的余角大90°”的规律，直接用∠BOC的度数减去90°快速求解，计算时注意度分秒是60进制，借位按60计算即可。
【解析】
解法一：
∵A、O、B共线，
∴∠AOC + ∠BOC = 180°
已知∠BOC=122°18′，
∴∠AOC = 180° - 122°18′ = 179°60′ - 122°18′ = 57°42′
根据余角定义，∠AOC的余角 = 90° - 57°42′ = 89°60′ - 57°42′ = 32°18′
解法二：
∵∠AOC与∠BOC互补，
∴∠AOC = 180° - ∠BOC
∠AOC的余角 = 90° - ∠AOC = 90° - (180° - ∠BOC) = ∠BOC - 90°
代入∠BOC=122°18′，得∠AOC的余角 = 122°18′ - 90° = 32°18′
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
补角的定义，余角的定义，度分秒运算
【点评】
本题是余角、补角的基础应用题，既可以按常规步骤分步计算，也可以利用补角和余角的关系巧算，解题时需注意度分秒为60进制，减法、借位计算要准确。
【难度系数】
0.8
观察图形可知A、O、B在同一直线上，因此∠AOB是平角，∠AOC与∠BOC互为补角，和为180°。解题有两种思路：第一种是先根据补角关系算出∠AOC的度数，再根据余角定义（两个角和为90°则互为余角），用90°减去∠AOC的度数得到结果；第二种是利用“一个锐角的补角比它的余角大90°”的规律，直接用∠BOC的度数减去90°快速求解，计算时注意度分秒是60进制，借位按60计算即可。
【解析】
解法一：
∵A、O、B共线，
∴∠AOC + ∠BOC = 180°
已知∠BOC=122°18′，
∴∠AOC = 180° - 122°18′ = 179°60′ - 122°18′ = 57°42′
根据余角定义，∠AOC的余角 = 90° - 57°42′ = 89°60′ - 57°42′ = 32°18′
解法二：
∵∠AOC与∠BOC互补，
∴∠AOC = 180° - ∠BOC
∠AOC的余角 = 90° - ∠AOC = 90° - (180° - ∠BOC) = ∠BOC - 90°
代入∠BOC=122°18′，得∠AOC的余角 = 122°18′ - 90° = 32°18′
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
补角的定义，余角的定义，度分秒运算
【点评】
本题是余角、补角的基础应用题，既可以按常规步骤分步计算，也可以利用补角和余角的关系巧算，解题时需注意度分秒为60进制，减法、借位计算要准确。
【难度系数】
0.8
3. 学科特色 教材变式「2026山西大同月考」一副三角尺按如图所示的四种不同的方式摆放，其中∠α与∠β具有相等关系的摆放方式为（
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②④
D
）A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②④
答案
3.D 摆放方式①中,∠α=∠β=180°-45°=135°.
摆放方式②中,∠β=45°,所以∠α=180°-∠β-90°=180°-45°-90°=45°,
所以∠α=∠β.
摆放方式③中,∠β=180°-90°-30°=60°,所以∠α=180°-∠β=180°-60°=120°,
所以∠α≠∠β.
摆放方式④中,根据同角的余角相等可知∠α=∠β.
综上可知,∠α 与∠β 具有相等关系的摆放方式为①②④.故选 D.
摆放方式②中,∠β=45°,所以∠α=180°-∠β-90°=180°-45°-90°=45°,
所以∠α=∠β.
摆放方式③中,∠β=180°-90°-30°=60°,所以∠α=180°-∠β=180°-60°=120°,
所以∠α≠∠β.
摆放方式④中,根据同角的余角相等可知∠α=∠β.
综上可知,∠α 与∠β 具有相等关系的摆放方式为①②④.故选 D.
解析
【分析】
解题时首先明确一副三角尺的内角度数分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°，再依次对4种摆放方式分析：结合平角为180°、直角为90°的特征，利用角的和差关系、补角和余角的相关性质，分别判断∠α和∠β是否相等，最后汇总符合条件的摆放方式即可。
【解析】
我们逐个分析4种摆放方式：
1. 摆放方式①：∠α和45°角互补，∠β也和45°角互补，因此∠α=∠β=180°-45°=135°，二者相等；
2. 摆放方式②：三个角组成平角180°，中间是直角90°，∠β=45°，因此∠α=180°-90°-45°=45°，可得∠α=∠β；
3. 摆放方式③：先计算∠β=90°-30°=60°，∠α和∠β互补，因此∠α=180°-60°=120°，∠α≠∠β；
4. 摆放方式④：∠α和公共角相加为90°，∠β和同一个公共角相加也为90°，根据同角的余角相等，可得∠α=∠β。
综上，∠α与∠β相等的摆放方式为①②④。
【答案】
D
【知识点】
补角的性质；余角的性质；角的和差计算
【点评】
本题结合三角尺的摆放考查角的相关性质，解题关键是熟悉三角尺各角的度数，结合图形特征利用角的和差关系、余角补角的性质判断两角的等量关系，是角的相关知识的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确一副三角尺的内角度数分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°，再依次对4种摆放方式分析：结合平角为180°、直角为90°的特征，利用角的和差关系、补角和余角的相关性质，分别判断∠α和∠β是否相等，最后汇总符合条件的摆放方式即可。
【解析】
我们逐个分析4种摆放方式：
1. 摆放方式①：∠α和45°角互补，∠β也和45°角互补，因此∠α=∠β=180°-45°=135°，二者相等；
2. 摆放方式②：三个角组成平角180°，中间是直角90°，∠β=45°，因此∠α=180°-90°-45°=45°，可得∠α=∠β；
3. 摆放方式③：先计算∠β=90°-30°=60°，∠α和∠β互补，因此∠α=180°-60°=120°，∠α≠∠β；
4. 摆放方式④：∠α和公共角相加为90°，∠β和同一个公共角相加也为90°，根据同角的余角相等，可得∠α=∠β。
综上，∠α与∠β相等的摆放方式为①②④。
【答案】
D
【知识点】
补角的性质；余角的性质；角的和差计算
【点评】
本题结合三角尺的摆放考查角的相关性质，解题关键是熟悉三角尺各角的度数，结合图形特征利用角的和差关系、余角补角的性质判断两角的等量关系，是角的相关知识的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
4.如图，$∠ AOC = ∠ BOD = 90°$，写出图中所有互补的角：
∠AOB与∠COD,∠AOC与∠BOD
。答案
4.答案 ∠AOB与∠COD,∠AOC与∠BOD
解析 因为∠AOC=∠BOD=90°,
所以∠AOD+∠DOC+∠DOC+∠BOC=180°,
即∠AOB+∠DOC=180°,所以∠AOB 与∠COD 互补.
因为∠AOC=∠BOD=90°,
所以∠AOC+∠BOD=180°,
所以∠AOC 与∠BOD 互补.
解析 因为∠AOC=∠BOD=90°,
所以∠AOD+∠DOC+∠DOC+∠BOC=180°,
即∠AOB+∠DOC=180°,所以∠AOB 与∠COD 互补.
因为∠AOC=∠BOD=90°,
所以∠AOC+∠BOD=180°,
所以∠AOC 与∠BOD 互补.
解析
【分析】
首先明确互补角的定义：若两个角的度数之和为180°，则这两个角互补。解题时先结合已知的两个直角，先判断直角之间是否满足和为180°，再通过角的和差关系，推导其他角的组合是否满足和为180°即可。
【解析】
根据补角的定义：和为180°的两个角互为补角。
1. 已知$∠ AOC = ∠ BOD = 90°$，因此$∠ AOC + ∠ BOD = 90°+90°=180°$，所以$∠ AOC$与$∠ BOD$互补。
2. 因为$∠ AOC = ∠ AOD + ∠ DOC = 90°$，$∠ BOD = ∠ BOC + ∠ DOC = 90°$，将两个等式相加可得：$∠ AOD + ∠ DOC + ∠ BOC + ∠ DOC = 180°$，其中$∠ AOD+∠ DOC+∠ BOC = ∠ AOB$，因此可得$∠ AOB + ∠ COD = 180°$，所以$∠ AOB$与$∠ COD$互补。
【答案】
$∠ AOB$与$∠ COD$，$∠ AOC$与$∠ BOD$
【知识点】
补角的定义；角的和差计算
【点评】
本题主要考查互补角的识别，解题的核心是牢记补角的定义，结合已知直角的条件，通过角的和差运算推导角的度数和，注意不要遗漏两个直角互补的情况。
【难度系数】
0.8
首先明确互补角的定义：若两个角的度数之和为180°，则这两个角互补。解题时先结合已知的两个直角，先判断直角之间是否满足和为180°，再通过角的和差关系，推导其他角的组合是否满足和为180°即可。
【解析】
根据补角的定义：和为180°的两个角互为补角。
1. 已知$∠ AOC = ∠ BOD = 90°$，因此$∠ AOC + ∠ BOD = 90°+90°=180°$，所以$∠ AOC$与$∠ BOD$互补。
2. 因为$∠ AOC = ∠ AOD + ∠ DOC = 90°$，$∠ BOD = ∠ BOC + ∠ DOC = 90°$，将两个等式相加可得：$∠ AOD + ∠ DOC + ∠ BOC + ∠ DOC = 180°$，其中$∠ AOD+∠ DOC+∠ BOC = ∠ AOB$，因此可得$∠ AOB + ∠ COD = 180°$，所以$∠ AOB$与$∠ COD$互补。
【答案】
$∠ AOB$与$∠ COD$，$∠ AOC$与$∠ BOD$
【知识点】
补角的定义；角的和差计算
【点评】
本题主要考查互补角的识别，解题的核心是牢记补角的定义，结合已知直角的条件，通过角的和差运算推导角的度数和，注意不要遗漏两个直角互补的情况。
【难度系数】
0.8
5. 学科特色 方程思想 「2026广东汕头月考」已知∠1与∠2互为补角，且∠1的余角比∠2的三分之一多6°，求∠1的度数。
答案
5.解析 设∠1=x°,则∠1 的余角为90°-x°,
因为∠1 与∠2 互为补角,所以∠2=180°-x°,
由题意得 $90-x=\frac{1}{3}(180-x)+6$,
解得 x=36,即∠1=36°.
因为∠1 与∠2 互为补角,所以∠2=180°-x°,
由题意得 $90-x=\frac{1}{3}(180-x)+6$,
解得 x=36,即∠1=36°.
解析
【分析】
本题可利用方程思想求解，首先明确待求量是∠1的度数，因此设∠1的度数为x°，再根据余角、补角的定义分别表示出∠1的余角和∠2的度数，最后根据题干给出的等量关系“∠1的余角比∠2的三分之一多6°”列一元一次方程，解方程即可得到∠1的度数。
【解析】
设∠1=x°，则∠1的余角为(90-x)°。
因为∠1与∠2互为补角，所以∠2=(180-x)°。
根据题意列方程：
$90-x=\frac{1}{3}(180-x)+6$
去分母，两边同乘3得：
$270-3x=180-x+18$
移项合并同类项得：
$-2x=-72$
系数化为1得：
$x=36$
即∠1的度数为36°。
【答案】
36°
【知识点】
补角的定义；余角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是余角、补角相关的典型题型，核心考查方程思想在几何角度计算中的应用，解题的关键是熟练掌握余角、补角的定义，准确提取题干中的等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.7
本题可利用方程思想求解，首先明确待求量是∠1的度数，因此设∠1的度数为x°，再根据余角、补角的定义分别表示出∠1的余角和∠2的度数，最后根据题干给出的等量关系“∠1的余角比∠2的三分之一多6°”列一元一次方程，解方程即可得到∠1的度数。
【解析】
设∠1=x°，则∠1的余角为(90-x)°。
因为∠1与∠2互为补角，所以∠2=(180-x)°。
根据题意列方程：
$90-x=\frac{1}{3}(180-x)+6$
去分母，两边同乘3得：
$270-3x=180-x+18$
移项合并同类项得：
$-2x=-72$
系数化为1得：
$x=36$
即∠1的度数为36°。
【答案】
36°
【知识点】
补角的定义；余角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是余角、补角相关的典型题型，核心考查方程思想在几何角度计算中的应用，解题的关键是熟练掌握余角、补角的定义，准确提取题干中的等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.7
6.「2026浙江杭州西湖月考，★☆」如果$∠ α$和$∠ β$互补，且$∠ α ＜ ∠ β$，那么下列式子中一定表示$∠ α$的余角的有（
①$90° - ∠ α$；②$∠ β - 90°$；③$\frac{1}{2}(180° - ∠ β)$；
④$\frac{1}{2}(∠ β - ∠ α)$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）①$90° - ∠ α$；②$∠ β - 90°$；③$\frac{1}{2}(180° - ∠ β)$；
④$\frac{1}{2}(∠ β - ∠ α)$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
6.C ①∠α 的余角为90°-∠α,故①符合.
②由题意可得∠α+∠β=180°,所以∠α=180°-∠β,
所以∠α 的余角=90°-∠α=90°-(180°-∠β)=∠β-90°,故②符合.
③因为∠α=180°-∠β,所以$\frac{1}{2}(180°-∠β)=\frac{1}{2}∠α$,
而$\frac{1}{2}∠α$ 不一定等于90°-∠α,故③不符合.
④$\frac{1}{2}(∠β-∠α)=\frac{1}{2}[(180°-∠α)-∠α]=\frac{1}{2}(180°-2∠α)=90°-∠α$,故④符合.故选 C.
②由题意可得∠α+∠β=180°,所以∠α=180°-∠β,
所以∠α 的余角=90°-∠α=90°-(180°-∠β)=∠β-90°,故②符合.
③因为∠α=180°-∠β,所以$\frac{1}{2}(180°-∠β)=\frac{1}{2}∠α$,
而$\frac{1}{2}∠α$ 不一定等于90°-∠α,故③不符合.
④$\frac{1}{2}(∠β-∠α)=\frac{1}{2}[(180°-∠α)-∠α]=\frac{1}{2}(180°-2∠α)=90°-∠α$,故④符合.故选 C.
解析
【分析】
首先明确余角、补角的定义：若两个角的和为90°则两角互余，和为180°则两角互补。由题中∠α与∠β互补的条件，可得∠α+∠β=180°，要判断四个式子是否为∠α的余角，只需验证每个式子是否恒等于∠α余角的标准形式$90°-∠α$，逐个推导验证即可得出结果。
【解析】
解：已知∠α和∠β互补，根据补角定义可得：$∠α + ∠β = 180°$，根据余角定义，∠α的余角为$90° - ∠α$。
① $90° - ∠α$就是∠α余角的定义式，故①符合要求；
② 由$∠α + ∠β = 180°$得$∠α = 180° - ∠β$，代入余角表达式：
$90° - ∠α = 90° - (180° - ∠β) = ∠β - 90°$，故②符合要求；
③ 由$∠α + ∠β = 180°$得$180° - ∠β = ∠α$，因此$\frac{1}{2}(180° - ∠β) = \frac{1}{2}∠α$，$\frac{1}{2}∠α$仅当$∠α=60°$时等于$90°-∠α$，不是恒成立，故③不符合要求；
④ 将$∠β=180°-∠α$代入式子化简：
$\frac{1}{2}(∠β - ∠α) = \frac{1}{2}[(180° - ∠α) - ∠α] = \frac{1}{2}(180° - 2∠α) = 90° - ∠α$，故④符合要求。
综上，①②④共3个符合要求，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义；补角的定义；角度化简计算
【点评】
本题核心是对余角、补角定义的灵活运用，解题时要注意题干要求“一定表示”，即需要满足恒成立，不能仅通过特殊角度验证就判断正确，需通过代数推导验证式子的通用性。
【难度系数】
0.7
首先明确余角、补角的定义：若两个角的和为90°则两角互余，和为180°则两角互补。由题中∠α与∠β互补的条件，可得∠α+∠β=180°，要判断四个式子是否为∠α的余角，只需验证每个式子是否恒等于∠α余角的标准形式$90°-∠α$，逐个推导验证即可得出结果。
【解析】
解：已知∠α和∠β互补，根据补角定义可得：$∠α + ∠β = 180°$，根据余角定义，∠α的余角为$90° - ∠α$。
① $90° - ∠α$就是∠α余角的定义式，故①符合要求；
② 由$∠α + ∠β = 180°$得$∠α = 180° - ∠β$，代入余角表达式：
$90° - ∠α = 90° - (180° - ∠β) = ∠β - 90°$，故②符合要求；
③ 由$∠α + ∠β = 180°$得$180° - ∠β = ∠α$，因此$\frac{1}{2}(180° - ∠β) = \frac{1}{2}∠α$，$\frac{1}{2}∠α$仅当$∠α=60°$时等于$90°-∠α$，不是恒成立，故③不符合要求；
④ 将$∠β=180°-∠α$代入式子化简：
$\frac{1}{2}(∠β - ∠α) = \frac{1}{2}[(180° - ∠α) - ∠α] = \frac{1}{2}(180° - 2∠α) = 90° - ∠α$，故④符合要求。
综上，①②④共3个符合要求，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义；补角的定义；角度化简计算
【点评】
本题核心是对余角、补角定义的灵活运用，解题时要注意题干要求“一定表示”，即需要满足恒成立，不能仅通过特殊角度验证就判断正确，需通过代数推导验证式子的通用性。
【难度系数】
0.7
7.「2025湖南娄底冷水江期末，★☆」如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠AOB，∠AOE=2∠BOD，OP平分∠COE，∠COQ与∠COD互余，则∠POQ=
45
°。答案
7.答案 45
解析 因为OC平分∠AOB,
所以$∠AOC=∠BOC=\frac{1}{2}∠AOB=90°$,
因为∠COQ 与∠COD 互余,
所以∠COQ+∠COD=90°,
因为∠BOD+∠COD=∠BOC=90°,
所以∠COQ=∠BOD,
因为∠AOE=2∠BOD,
所以∠AOE=2∠COQ,即$∠COQ=\frac{1}{2}∠AOE$,
因为OP平分∠COE,所以$∠COP=\frac{1}{2}∠COE$,
所以$∠POQ=∠COQ+∠COP=\frac{1}{2}(∠AOE+∠COE)=\frac{1}{2}∠AOC=45°$.
解析 因为OC平分∠AOB,
所以$∠AOC=∠BOC=\frac{1}{2}∠AOB=90°$,
因为∠COQ 与∠COD 互余,
所以∠COQ+∠COD=90°,
因为∠BOD+∠COD=∠BOC=90°,
所以∠COQ=∠BOD,
因为∠AOE=2∠BOD,
所以∠AOE=2∠COQ,即$∠COQ=\frac{1}{2}∠AOE$,
因为OP平分∠COE,所以$∠COP=\frac{1}{2}∠COE$,
所以$∠POQ=∠COQ+∠COP=\frac{1}{2}(∠AOE+∠COE)=\frac{1}{2}∠AOC=45°$.
解析
【分析】
解题时首先从已知条件出发，先利用直线形成的平角为180°和角平分线的定义得到∠AOC=∠BOC=90°；再结合互余的定义，通过同角的余角相等推出∠COQ=∠BOD，结合∠AOE和∠BOD的倍数关系，得到∠COQ与∠AOE的关系；然后利用OP平分∠COE得到∠COP与∠COE的关系；最后将要求的∠POQ拆分为∠COP与∠COQ的和，提取公因式后发现刚好是∠AOC的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB=180°
∵ OC平分∠AOB，
∴ $∠AOC=∠BOC=\frac{1}{2}∠AOB=90°$，
∵ ∠COQ与∠COD互余，
∴ ∠COQ+∠COD=90°，
又
∵ ∠BOD+∠COD=∠BOC=90°，
∴ ∠COQ=∠BOD（同角的余角相等），
∵ ∠AOE=2∠BOD，
∴ ∠AOE=2∠COQ，即$∠COQ=\frac{1}{2}∠AOE$，
∵ OP平分∠COE，
∴ $∠COP=\frac{1}{2}∠COE$，
∴ $∠POQ=∠COP+∠COQ=\frac{1}{2}∠COE+\frac{1}{2}∠AOE=\frac{1}{2}(∠AOE+∠COE)=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
45
【知识点】
角平分线的定义，余角的性质，角的和差计算
【点评】
本题属于角的计算的基础题型，综合考查了角平分线、余角的相关性质，解题核心是通过等量代换将所求角转化为已知特殊角的一部分，理清图中各角的和差关系是解题的关键，熟练掌握相关性质可快速求解。
【难度系数】
0.75
解题时首先从已知条件出发，先利用直线形成的平角为180°和角平分线的定义得到∠AOC=∠BOC=90°；再结合互余的定义，通过同角的余角相等推出∠COQ=∠BOD，结合∠AOE和∠BOD的倍数关系，得到∠COQ与∠AOE的关系；然后利用OP平分∠COE得到∠COP与∠COE的关系；最后将要求的∠POQ拆分为∠COP与∠COQ的和，提取公因式后发现刚好是∠AOC的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB=180°
∵ OC平分∠AOB，
∴ $∠AOC=∠BOC=\frac{1}{2}∠AOB=90°$，
∵ ∠COQ与∠COD互余，
∴ ∠COQ+∠COD=90°，
又
∵ ∠BOD+∠COD=∠BOC=90°，
∴ ∠COQ=∠BOD（同角的余角相等），
∵ ∠AOE=2∠BOD，
∴ ∠AOE=2∠COQ，即$∠COQ=\frac{1}{2}∠AOE$，
∵ OP平分∠COE，
∴ $∠COP=\frac{1}{2}∠COE$，
∴ $∠POQ=∠COP+∠COQ=\frac{1}{2}∠COE+\frac{1}{2}∠AOE=\frac{1}{2}(∠AOE+∠COE)=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
45
【知识点】
角平分线的定义，余角的性质，角的和差计算
【点评】
本题属于角的计算的基础题型，综合考查了角平分线、余角的相关性质，解题核心是通过等量代换将所求角转化为已知特殊角的一部分，理清图中各角的和差关系是解题的关键，熟练掌握相关性质可快速求解。
【难度系数】
0.75
8.「2026河北秦皇岛海港期末节选，★☆」已知OD平分$∠ AOC$，OE平分$∠ BOC$，且$0°＜∠ AOC＜180°$，$0°＜∠ BOC＜180°$。如果$∠ DOE$与$∠ AOC$互补或$∠ DOE$与$∠ BOC$互补，那么称$∠ AOC$和$∠ BOC$是一对“多补角”。
(1)如图，当OC在$∠ AOB$内部时，若$∠ AOC=110°$，$∠ BOC=50°$，则$∠ DOE=$
(2)若$∠ AOC$和$∠ BOC$是一对“多补角”，$∠ AOC=96°$，$∠ BOC$是锐角，求$∠ BOC$的度数。
(1)如图，当OC在$∠ AOB$内部时，若$∠ AOC=110°$，$∠ BOC=50°$，则$∠ DOE=$
80
°，$∠ AOC$和$∠ BOC$不是
一对“多补角”（填“是”或“不是”）。(2)若$∠ AOC$和$∠ BOC$是一对“多补角”，$∠ AOC=96°$，$∠ BOC$是锐角，求$∠ BOC$的度数。
答案
8.解析 (1)80;不是.
详解:由角平分线的定义可知$∠COD=\frac{1}{2}∠AOC=55°$,
$∠COE=\frac{1}{2}∠BOC=25°$,所以$∠DOE=∠COD+∠COE=55°+25°=80°$,所以$∠AOC+∠DOE=110°+80°=190°≠180°$,$∠BOC+∠DOE=50°+80°=130°≠180°$,所以∠AOC 和∠BOC 不是一对“多补角”.
(2)设$∠BOC=α(0°＜α＜90°)$,由角平分线的定义可知$∠COD=\frac{1}{2}∠AOC=48°$,$∠COE=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}α$.当OB在∠AOC外部时,
,$∠DOE=∠COD+∠COE=48°+\frac{1}{2}α$,因为∠AOC 和∠BOC 是一对“多补角”,所以当$∠AOC+∠DOE=180°$时,$96°+48°+\frac{1}{2}α=180°$,解得$α=72°$,此时$∠BOC=72°$,符合题意;当$∠BOC+∠DOE=180°$时,$α+48°+\frac{1}{2}α=180°$,解得$α=88°$,此时$∠BOC=88°$,符合题意.当OB在∠AOC内部时,
,因为OE平分∠BOC,$0°＜∠BOC＜90°$,所以$0°＜∠COE＜45°$.又因为$∠DOC=48°$,所以$∠DOC＞∠COE$,所以OE在∠COD内部,所以$∠DOE=∠DOC-∠COE=48°-∠COE＜48°$,所以$∠DOE+∠AOC＜180°$且$∠DOE+∠BOC＜180°$,所以∠AOC 与∠BOC 不是一对“多补角”.综上所述,$∠BOC$ 的度数为 72°或 88°.
解析
【分析】
（1）第一问先利用角平分线的定义，分别求出∠COD和∠COE的度数，二者相加得到∠DOE的度数；再根据“多补角”的定义，判断∠DOE与∠AOC、∠BOC的和是否为180°，即可确定二者是不是“多补角”。
（2）第二问先设∠BOC=α，结合已知限制$0°＜α＜90°$，分OB在∠AOC外部、OB在∠AOC内部两种情况讨论：先根据角平分线定义表示出∠COD、∠COE，再对应写出不同位置下∠DOE的表达式，结合“多补角”的互补条件列方程求解，最后筛选出符合角度范围的解即可。
【解析】
(1) 因为OD平分$∠AOC$，OE平分$∠BOC$，
所以$∠COD=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×110°=55°$，$∠COE=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
因此$∠DOE=∠COD+∠COE=55°+25°=80°$。
验证互补关系：$∠AOC+∠DOE=110°+80°=190°≠180°$，$∠BOC+∠DOE=50°+80°=130°≠180°$，不满足“多补角”的定义，故$∠AOC$和$∠BOC$不是一对“多补角”。
(2) 设$∠BOC=α$，由题知$0°＜α＜90°$。
因为OD平分$∠AOC$，OE平分$∠BOC$，$∠AOC=96°$，
所以$∠COD=\frac{1}{2}∠AOC=48°$，$∠COE=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}α$。
① 当OB在$∠AOC$外部时，
$∠DOE=∠COD+∠COE=48°+\frac{1}{2}α$，结合“多补角”定义分两种情况：
若$∠AOC+∠DOE=180°$，代入得$96°+48°+\frac{1}{2}α=180°$，解得$α=72°$，满足$0°＜α＜90°$，符合题意；
若$∠BOC+∠DOE=180°$，代入得$α+48°+\frac{1}{2}α=180°$，解得$α=88°$，满足$0°＜α＜90°$，符合题意。
② 当OB在$∠AOC$内部时，
因为$0°＜α＜90°$，所以$0°＜∠COE=\frac{1}{2}α＜45°$，又$∠COD=48°$，因此$∠COE＜∠COD$，即OE在$∠COD$内部，
此时$∠DOE=∠COD-∠COE=48°-\frac{1}{2}α＜48°$，可得$∠DOE+∠AOC＜48°+96°=144°＜180°$，$∠DOE+∠BOC＜48°+90°=138°＜180°$，不可能满足互补要求，故该情况不成立。
综上，$∠BOC$的度数为72°或88°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{80}$；$\boldsymbol{不是}$
(2) $\boldsymbol{72°}$或$\boldsymbol{88°}$
【知识点】
角平分线的定义，补角的定义，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查角的和差计算，解题的核心是准确理解“多补角”的定义，熟练运用角平分线的性质表示相关角的度数，解题时要注意根据OB的位置分类讨论，避免漏解，同时要结合题目给出的角度范围限制排除不符合题意的结果。
【难度系数】
0.6
（1）第一问先利用角平分线的定义，分别求出∠COD和∠COE的度数，二者相加得到∠DOE的度数；再根据“多补角”的定义，判断∠DOE与∠AOC、∠BOC的和是否为180°，即可确定二者是不是“多补角”。
（2）第二问先设∠BOC=α，结合已知限制$0°＜α＜90°$，分OB在∠AOC外部、OB在∠AOC内部两种情况讨论：先根据角平分线定义表示出∠COD、∠COE，再对应写出不同位置下∠DOE的表达式，结合“多补角”的互补条件列方程求解，最后筛选出符合角度范围的解即可。
【解析】
(1) 因为OD平分$∠AOC$，OE平分$∠BOC$，
所以$∠COD=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×110°=55°$，$∠COE=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
因此$∠DOE=∠COD+∠COE=55°+25°=80°$。
验证互补关系：$∠AOC+∠DOE=110°+80°=190°≠180°$，$∠BOC+∠DOE=50°+80°=130°≠180°$，不满足“多补角”的定义，故$∠AOC$和$∠BOC$不是一对“多补角”。
(2) 设$∠BOC=α$，由题知$0°＜α＜90°$。
因为OD平分$∠AOC$，OE平分$∠BOC$，$∠AOC=96°$，
所以$∠COD=\frac{1}{2}∠AOC=48°$，$∠COE=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}α$。
① 当OB在$∠AOC$外部时，
$∠DOE=∠COD+∠COE=48°+\frac{1}{2}α$，结合“多补角”定义分两种情况：
若$∠AOC+∠DOE=180°$，代入得$96°+48°+\frac{1}{2}α=180°$，解得$α=72°$，满足$0°＜α＜90°$，符合题意；
若$∠BOC+∠DOE=180°$，代入得$α+48°+\frac{1}{2}α=180°$，解得$α=88°$，满足$0°＜α＜90°$，符合题意。
② 当OB在$∠AOC$内部时，
因为$0°＜α＜90°$，所以$0°＜∠COE=\frac{1}{2}α＜45°$，又$∠COD=48°$，因此$∠COE＜∠COD$，即OE在$∠COD$内部，
此时$∠DOE=∠COD-∠COE=48°-\frac{1}{2}α＜48°$，可得$∠DOE+∠AOC＜48°+96°=144°＜180°$，$∠DOE+∠BOC＜48°+90°=138°＜180°$，不可能满足互补要求，故该情况不成立。
综上，$∠BOC$的度数为72°或88°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{80}$；$\boldsymbol{不是}$
(2) $\boldsymbol{72°}$或$\boldsymbol{88°}$
【知识点】
角平分线的定义，补角的定义，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查角的和差计算，解题的核心是准确理解“多补角”的定义，熟练运用角平分线的性质表示相关角的度数，解题时要注意根据OB的位置分类讨论，避免漏解，同时要结合题目给出的角度范围限制排除不符合题意的结果。
【难度系数】
0.6
