3. (2026·丹东期末)如图,一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+2$的图象与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＜0)$的图象交于点$P(a,4)$,与$y$轴交于点$Q$.
(1)求$a,k$的值.
(2)直线$AB$过点$P$,与反比例函数图象交于点$A$,与$x$轴交于点$B(-6,0)$,连接$AQ$.
①求$△ APQ$的面积;
②点$M$在反比例函数的图象上,点$N$在$x$轴上,若以点$M,N,P,Q$为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出所有符合条件的点$M$坐标.

3.(1)把 $P(a,4)$ 代入 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 得 $4=-\frac{1}{2}a+2$,解得 $a=-4$
∴ 点 $P$ 的坐标为 $(-4,4)$,把 $P(-4,4)$ 代入 $y=\frac{k}{x}(x＜0)$ 得 $4=\frac{k}{-4}$,解得 $k=-16$,
∴ $a=-4,k=-16$.
(2)①设直线 $AB$ 的函数解析式为 $y=bx+c$,把 $P(-4,4)$ $B(-6,0)$ 代入得 $\begin{cases}4=-4b+c,\\0=-6b+c,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=2,\\c=12,\end{cases}$
∴ 直线 $AB$ 的函数解析式为 $y=2x+12$,由 $\begin{cases}y=-\frac{16}{x},\\y=2x+12\end{cases}$ 得 $\begin{cases}x_1=-4,\\y_1=4,\end{cases}$$\begin{cases}x_2=-2,\\y_2=8,\end{cases}$
∴ 点 $A$ 的坐标为 $(-2,8)$.
∵ 一次函数 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $Q$,
∴ 点 $Q$ 的坐标为 $(0,2)$,如图①,过点 $P$ 作 $PD⊥ x$ 轴于点 $D$,过点 $Q$ 作 $QG⊥ PD$ 于点 $G$,过点 $A$ 作 $AE⊥ y$ 轴于点 $E$,$EA$ 与 $DP$ 的延长线交于点 $F$,$S_{△ APQ}=S_{矩形EFGQ}-S_{△ AFP}-S_{△ AQE}-S_{△ PGQ}=4×6-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×6-\frac{1}{2}×4×2=10$.

②点 $M$ 的坐标为 $(-\frac{8}{3},6)$ 或 $(-8,2)$. 解析:设点 $M(m,-\frac{16}{m})$,$N(n,0)$,
∵ $P(-4,4)$,$Q(0,2)$,点 $M,N,P,Q$ 构成平行四边形,当 $MN$ 和 $PQ$ 为对角线时,有 $MQ// PN$,如图②,$Q$ 点可看作是将点 $N$ 先向右平移 $|n|$ 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度得到,故点 $M$ 也是相应关系,即点 $M$ 是点 $P$ 向右平移 $|n|$ 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度得到,
∴ 点 $M$ 的纵坐标为 6,即 $6=-\frac{16}{m}$,
∴ $m=-\frac{8}{3}$,
∴ 点 $M$ 的坐标为 $(-\frac{8}{3},6)$;当 $MQ$ 和 $PN$ 为对角线时,有 $MN// PQ$,如图③,$N$ 点可看作是将点 $Q$ 先向下平移 2 个单位长度,再向左平移 $|n|$ 个单位长度得到,故点 $M$ 也是相应关系,即点 $M$ 是点 $P$ 先向下平移 2 个单位长度,再向左平移 $|n|$ 个单位长度得到,
∴ 点 $M$ 的纵坐标为 2,即 $2=-\frac{16}{m}$,
∴ $m=-8$,
∴ 点 $M$ 的坐标为 $(-8,2)$.综上,点 $M$ 的坐标为 $(-\frac{8}{3},6)$ 或 $(-8,2)$.

4. (2026·汕头期末)已知:抛物线$y=ax^2+bx-\dfrac{3}{2}$与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)当$a=-\dfrac{1}{4},b=\dfrac{5}{4}$时,求点A与点B的坐标;
(2)如图,若$B(2,0)$,且$∠ ABC=2∠ BAC$,求抛物线$y=ax^2+bx-\dfrac{3}{2}$的解析式;
(3)在(2)的条件下,点$M(m,0)$为线段OB上一动点,过点M作垂直x轴的直线交抛物线$y=ax^2+bx-\dfrac{3}{2}$于点P,交抛物线$y=-\dfrac{1}{3}x^2+(2n+\dfrac{5}{12})x-3n^2$于点Q,设点P、点Q的纵坐标分别为$y_1,y_2$,若$y_1-y_2$的最小值为5,求n的值.

4.(1)
∵ 当 $a=-\frac{1}{4},b=\frac{5}{4}$ 时,抛物线解析式为 $y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{5}{4}x-\frac{3}{2}$,当 $y=0$ 时,$-\frac{1}{4}x^2+\frac{5}{4}x-\frac{3}{2}=0$,解得 $x_1=2,x_2=3$,
∴ 点 $A(2,0)$,点 $B(3,0)$.
(2)如图,在 $OA$ 上取点 $D(-2,0)$,连接 $CD$,

∵ $D(-2,0),B(2,0)$,
∴ $OB=OD=2$.
∵ $CO⊥ BD$,
∴ $CD=CB$,
∴ $∠ ABC=∠ CDO$.
∵ $∠ ABC=2∠ BAC$,
∴ $∠ CDO=2∠ BAC$.
∵ $∠ CDO=∠ DAC+∠ DCA$,
∴ $∠ DAC=∠ DCA$,
∴ $DC=DA$.
∵ 抛物线 $y=ax^2+bx-\frac{3}{2}$ 与 $y$ 轴交于点 $C$,
∴ 点 $C$ 的坐标为 $(0,\frac{3}{2})$,
∴ $OC=\frac{3}{2}$,在 $Rt△ COD$ 中, $CD=\sqrt{OD^2+OC^2}=\sqrt{2^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{5}{2}$,
∴ $DA=DC=\frac{5}{2}$,
∴ $OA=DA+OD=\frac{5}{2}+2=\frac{9}{2}$,
∴ $A(-\frac{9}{2},0)$.
∵ 抛物线 $y=ax^2+bx-\frac{3}{2}$ 经过 $A(-\frac{9}{2},0)$,$B(2,0)$,
∴ $\begin{cases}\frac{81}{4}a-\frac{9}{2}b-\frac{3}{2}=0,\\4a+2b-\frac{3}{2}=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=\frac{1}{6},\\b=\frac{5}{12},\end{cases}$
∴ 抛物线的解析式为 $y=\frac{1}{6}x^2+\frac{5}{12}x-\frac{3}{2}$.
(3)依题意得,点 $P(m,y_1)$ 在抛物线 $y=\frac{1}{6}x^2+\frac{5}{12}x-\frac{3}{2}$ 上,点 $Q(m,y_2)$ 在 $y=-\frac{1}{3}x^2+(2n+\frac{5}{12})x-3n^2$ 上,
∴ $y_1=\frac{1}{6}m^2+\frac{5}{12}m-\frac{3}{2}$,$y_2=-\frac{1}{3}m^2+(2n+\frac{5}{12})m-3n^2$,
∴ $y_1-y_2=\frac{1}{6}m^2+\frac{5}{12}m-\frac{3}{2}-[-\frac{1}{3}m^2+(2n+\frac{5}{12})m-3n^2]=\frac{1}{2}m^2-2nm+3n^2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}(m-2n)^2+n^2-\frac{3}{2}$,当 $n≤0$ 时,若 $0≤ m≤2$,则 $m=0$ 时,$y_1-y_2$ 的最小值为 5,
∴ $3n^2-\frac{3}{2}=5$,
∴ $n=\frac{\sqrt{78}}{6}$(舍去)或 $n=-\frac{\sqrt{78}}{6}$;当 $0＜n＜1$ 时,若 $0≤ m≤2$,则 $m=2n$ 时,$y_1-y_2$ 的最小值为 5,
∴ $n^2-\frac{3}{2}=5$,
∴ $n=\pm\frac{\sqrt{26}}{2}$(舍去);当 $n＞1$ 时,若 $0≤ m≤2$,则 $m=2$ 时,$y_1-y_2$ 的最小值为 5,
∴ $\frac{1}{2}(2-2n)^2+n^2-\frac{3}{2}=5$,解得 $n=\frac{4-\sqrt{70}}{6}$(舍去)或 $n=\frac{4+\sqrt{70}}{6}$.
∴ $n$ 的值为 $-\frac{\sqrt{78}}{6}$ 或 $\frac{4+\sqrt{70}}{6}$.