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1. (2026·北京期末)在平面直角坐标系$xOy$中,已知抛物线$y=x^2-2bx$.
(1)写出抛物线的对称轴(用含$b$的式子表示);
(2)若点$A(-1,0)$,$B(4,0)$,抛物线$y=x^2-2bx$与线段$AB$有两个交点,求$b$的取值范围;
(3)$M(1-b,y_1)$,$N(b,y_2)$是抛物线$y=x^2-2bx$上两点,若$|y_1-y_2|≤2$,直接写出$b$的取值范围.
(1)写出抛物线的对称轴(用含$b$的式子表示);
(2)若点$A(-1,0)$,$B(4,0)$,抛物线$y=x^2-2bx$与线段$AB$有两个交点,求$b$的取值范围;
(3)$M(1-b,y_1)$,$N(b,y_2)$是抛物线$y=x^2-2bx$上两点,若$|y_1-y_2|≤2$,直接写出$b$的取值范围.
答案
1.(1)由题意,对于抛物线 $y = x^2 - 2bx$,对称轴为直线 $x = \frac{-2b}{2×1}=b$.
(2)令 $y=0$,即 $x^2-2bx=0$,解得 $x_1=0,x_2=2b$,又
∵ 抛物线$y=x^2-2bx$ 与线段 AB 有两个交点,$A(-1,0),B(4,0)$,
∴ $-1≤ 2b＜0$ 或 $0＜2b≤4$,解得 $-\frac{1}{2}≤ b＜0$ 或 $0＜b≤2$,
∴ $b$ 的取值范围是 $-\frac{1}{2}≤ b＜0$ 或 $0＜b≤2$.
(3)由题意,将 $x=1-b$ 代入抛物线 $y=x^2-2bx$,
∴ $y_1=(1-b)^2-2b(1-b)=1-2b+b^2-2b+2b^2=3b^2-4b+1$,又将 $x=b$ 代入抛物线 $y=x^2-2bx$,
∴ $y_2=b^2-2b× b=-b^2$,
∴ $|y_1-y_2|=|3b^2-4b+1-(-b^2)|=|4b^2-4b+1|=|(2b-1)^2|=(2b-1)^2$.
∵ $|y_1-y_2|≤2$,
∴ $(2b-1)^2≤2$,
∴ $-\sqrt{2}≤2b-1≤\sqrt{2}$.
∵ $2b-1≥-\sqrt{2}$,
∴ $2b≥1-\sqrt{2}$,$b≥\frac{1-\sqrt{2}}{2}$.又
∵ $2b-1≤\sqrt{2}$,
∴ $2b≤1+\sqrt{2}$,$b≤\frac{1+\sqrt{2}}{2}$,
∴ $\frac{1-\sqrt{2}}{2}≤ b≤\frac{1+\sqrt{2}}{2}$.
(2)令 $y=0$,即 $x^2-2bx=0$,解得 $x_1=0,x_2=2b$,又
∵ 抛物线$y=x^2-2bx$ 与线段 AB 有两个交点,$A(-1,0),B(4,0)$,
∴ $-1≤ 2b＜0$ 或 $0＜2b≤4$,解得 $-\frac{1}{2}≤ b＜0$ 或 $0＜b≤2$,
∴ $b$ 的取值范围是 $-\frac{1}{2}≤ b＜0$ 或 $0＜b≤2$.
(3)由题意,将 $x=1-b$ 代入抛物线 $y=x^2-2bx$,
∴ $y_1=(1-b)^2-2b(1-b)=1-2b+b^2-2b+2b^2=3b^2-4b+1$,又将 $x=b$ 代入抛物线 $y=x^2-2bx$,
∴ $y_2=b^2-2b× b=-b^2$,
∴ $|y_1-y_2|=|3b^2-4b+1-(-b^2)|=|4b^2-4b+1|=|(2b-1)^2|=(2b-1)^2$.
∵ $|y_1-y_2|≤2$,
∴ $(2b-1)^2≤2$,
∴ $-\sqrt{2}≤2b-1≤\sqrt{2}$.
∵ $2b-1≥-\sqrt{2}$,
∴ $2b≥1-\sqrt{2}$,$b≥\frac{1-\sqrt{2}}{2}$.又
∵ $2b-1≤\sqrt{2}$,
∴ $2b≤1+\sqrt{2}$,$b≤\frac{1+\sqrt{2}}{2}$,
∴ $\frac{1-\sqrt{2}}{2}≤ b≤\frac{1+\sqrt{2}}{2}$.
2. (2026·榆林期末)如图,抛物线$L_1:y=x^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$,且与$y$轴交点的纵坐标为-3.
(1)求$b,c$的值.
(2)若抛物线$L_1$与$x$轴交于$A,B$两点(点$A$在点$B$左侧),求$A,B$两点的坐标.
(3)抛物线$L_2:y=-x^2+mx+n$经过抛物线$L_1$的顶点$P$.
①请判断抛物线$L_2$的顶点$Q$是否在抛物线$L_1$上,并说明理由;
②若$m=8$,点$E$是在点$P$和点$Q$之间抛物线$L_1$上的一点,过点$E$作$x$轴的垂线交抛物线$L_2$于点$F$,直接写出$EF$长度的最大值.
(1)求$b,c$的值.
(2)若抛物线$L_1$与$x$轴交于$A,B$两点(点$A$在点$B$左侧),求$A,B$两点的坐标.
(3)抛物线$L_2:y=-x^2+mx+n$经过抛物线$L_1$的顶点$P$.
①请判断抛物线$L_2$的顶点$Q$是否在抛物线$L_1$上,并说明理由;
②若$m=8$,点$E$是在点$P$和点$Q$之间抛物线$L_1$上的一点,过点$E$作$x$轴的垂线交抛物线$L_2$于点$F$,直接写出$EF$长度的最大值.
答案
2.(1)
∵ 抛物线 $L_1:y=x^2+bx+c$ 的对称轴为直线 $x=1$,
∴ $-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2}=1$,解得 $b=-2$.
∵ 抛物线 $L_1$ 与 $y$ 轴交点的纵坐标为-3,
∴ $c=-3$.
(2)根据(1)可得抛物线 $L_1$ 的解析式为 $y=x^2-2x-3$,令 $y=0$,则 $0=x^2-2x-3$,解得 $x_1=3,x_2=-1$,
∵ 点 A 在点 B 左侧,
∴ $A(-1,0),B(3,0)$.
(3)①抛物线 $L_2$ 的顶点 $Q$ 在抛物线 $L_1$ 上,理由如下:
∵ $y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,
∴ $P(1,-4)$,把 $P(1,-4)$ 代入抛物线 $L_2:y=-x^2+mx+n$,可得 $-4=-1+m+n$,
∴ $n=-3-m$,
∴ 抛物线 $L_2:y=-x^2+mx-3-m$,$-\frac{b}{2a}=-\frac{m}{-1×2}=\frac{m}{2}$,把 $x=\frac{m}{2}$ 代入 $L_2:y=-x^2+mx-3-m$,可得 $y=-(\frac{m}{2})^2+m·\frac{m}{2}-3-m=\frac{m^2}{4}-m-3$,
∴ $Q(\frac{m}{2},\frac{m^2}{4}-m-3)$,把 $x=\frac{m}{2}$ 代入抛物线 $L_1:y=x^2-2x-3$,可得 $y=(\frac{m}{2})^2-2·\frac{m}{2}-3=\frac{m^2}{4}-m-3$,
∴ 抛物线 $L_2$ 的顶点 $Q$ 在抛物线 $L_1$ 上.
②$EF$ 长度的最大值为 $\frac{9}{2}$. 解析:
∵ $m=8$,
∴ $n=-3-m=-3-8=-11$,$\frac{m}{2}=4$,$\frac{m^2}{4}-m-3=5$,
∴ 抛物线 $L_2:y=-x^2+8x-11$,$Q(4,5)$,设 $E(t,t^2-2t-3)$,则 $F(t,-t^2+8t-11)$.
∵ $P(1,-4)$,$Q(4,5)$,
∴ $1＜t＜4$,$EF=(-t^2+8t-11)-(t^2-2t-3)=-2t^2+10t-8=-2(t-\frac{5}{2})^2+\frac{9}{2}$,当 $t=\frac{5}{2}$ 时,$EF$ 取最大值为 $\frac{9}{2}$.
∵ 抛物线 $L_1:y=x^2+bx+c$ 的对称轴为直线 $x=1$,
∴ $-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2}=1$,解得 $b=-2$.
∵ 抛物线 $L_1$ 与 $y$ 轴交点的纵坐标为-3,
∴ $c=-3$.
(2)根据(1)可得抛物线 $L_1$ 的解析式为 $y=x^2-2x-3$,令 $y=0$,则 $0=x^2-2x-3$,解得 $x_1=3,x_2=-1$,
∵ 点 A 在点 B 左侧,
∴ $A(-1,0),B(3,0)$.
(3)①抛物线 $L_2$ 的顶点 $Q$ 在抛物线 $L_1$ 上,理由如下:
∵ $y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,
∴ $P(1,-4)$,把 $P(1,-4)$ 代入抛物线 $L_2:y=-x^2+mx+n$,可得 $-4=-1+m+n$,
∴ $n=-3-m$,
∴ 抛物线 $L_2:y=-x^2+mx-3-m$,$-\frac{b}{2a}=-\frac{m}{-1×2}=\frac{m}{2}$,把 $x=\frac{m}{2}$ 代入 $L_2:y=-x^2+mx-3-m$,可得 $y=-(\frac{m}{2})^2+m·\frac{m}{2}-3-m=\frac{m^2}{4}-m-3$,
∴ $Q(\frac{m}{2},\frac{m^2}{4}-m-3)$,把 $x=\frac{m}{2}$ 代入抛物线 $L_1:y=x^2-2x-3$,可得 $y=(\frac{m}{2})^2-2·\frac{m}{2}-3=\frac{m^2}{4}-m-3$,
∴ 抛物线 $L_2$ 的顶点 $Q$ 在抛物线 $L_1$ 上.
②$EF$ 长度的最大值为 $\frac{9}{2}$. 解析:
∵ $m=8$,
∴ $n=-3-m=-3-8=-11$,$\frac{m}{2}=4$,$\frac{m^2}{4}-m-3=5$,
∴ 抛物线 $L_2:y=-x^2+8x-11$,$Q(4,5)$,设 $E(t,t^2-2t-3)$,则 $F(t,-t^2+8t-11)$.
∵ $P(1,-4)$,$Q(4,5)$,
∴ $1＜t＜4$,$EF=(-t^2+8t-11)-(t^2-2t-3)=-2t^2+10t-8=-2(t-\frac{5}{2})^2+\frac{9}{2}$,当 $t=\frac{5}{2}$ 时,$EF$ 取最大值为 $\frac{9}{2}$.
