1. (2026·太原期末)如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，连接$AO$并延长交$BC$于点$D$，且$AD ⊥ BC$于点$D$.
(1)如图①，求证：$∠ B=∠ C$；
(2)如图②，点$E$在$\overset{\frown}{AC}$上，连接$AE$，$CE$，$∠ ACE=\frac{1}{3}∠ ACB$，求证：$∠ CAE=2∠ ACE$；
(3)如图②，在(2)的条件下，若$AE=5$，$AB=13$，求$E$到$AC$的距离.

(1) $\because AD ⊥ BC, AD$ 过圆心 $O, \therefore BD = CD, \therefore AB = AC, \therefore ∠ B=∠ C.$
(2) 如图 ①, 连接 $BE$, 设 $∠ ACE = α$, 则 $∠ ACB = 3α$,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB = 3α. \because ∠ ABE = ∠ ACE = α, \therefore ∠ CBE = ∠ ABC-∠ ABE=3α-α=2α, \therefore ∠ CAE=∠ CBE=2α=2∠ ACE.$
(3) 如图 ②, 过点 $E$ 作 $EG ⊥ AC$ 于点 $G$, 在 $CG$ 上截取 $GH=AG$, 连接 $EH, \therefore EH = AE = 5, \therefore ∠ AHE = ∠ EAH = 2α$,
$\therefore ∠ CEH=∠ AHE-∠ ECH=2α-α=α=∠ ECH, \therefore CH = EH = 5. \because AC=AB=13, \therefore AH=AC-CH=13-5=8, \therefore AG=GH=4$, 在 $\mathrm{Rt}△ AEG$ 中, $EG=\sqrt{AE^2-AG^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3.$

2. (2026·自贡期末)如图,线段AB为$\odot O$的直径,点C在$\odot O$上,$CD ⊥ AB$,垂足为D.点F在CD上,且$CF=BF$.BF的延长线交$\odot O$于点E.过点C作$CM // BE$交AB的延长线于点M.
(1)猜想BC与EC的数量关系,并说明理由;
(2)求证:直线CM是$\odot O$的切线;
(3)若$AB=10,BC=6$,求AD的长.

(1) $BC=EC$,理由如下：
延长 $CD$ 交$\odot O$ 于点 $H$,如图①所示：

$\because CD ⊥ AB$,线段 $AB$ 为$\odot O$ 的直径, $\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BH}. \because CF = BF, \therefore ∠ FCB=∠ FBC, \therefore \overset{\frown}{BH}=\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BC}, \therefore BC=EC.$
(2) 连接 $OC$,如图②所示：

由(1)知 $BC=EC, \therefore OC ⊥ BE. \because CM // BE, \therefore OC ⊥ CM$, 即 $∠ OCM=90°. \because OC$ 是$\odot O$ 的半径, $\therefore$ 直线 $CM$ 是$\odot O$ 的切线.
(3) 连接 $AC$,如图③所示：

$\because$ 线段 $AB$ 为$\odot O$ 的直径,点 $C$ 在$\odot O$ 上, $\therefore ∠ ACB=90°$, 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $AB = 10, BC = 6, \therefore AC = \sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8. \because CD ⊥ AB, \therefore \frac{1}{2} AC · BC = \frac{1}{2} AB · CD, \therefore 6×8=10× CD, \therefore CD=\frac{24}{5}$, 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中, $AC=8, CD=\frac{24}{5}, \therefore AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{8^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{32}{5}.$