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1. 阿基米德折弦定理:如图①,AB和BC是$\odot O$的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),$BC＞AB$,M是$\overset{\frown}{ABC}$的中点,则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即$CD=AB+BD$.下面是运用“截长法”证明$CD=AB+BD$的部分过程.
证明:如图②,在CB上截取$CG=AB$,连接MA,MB,MC和MG……
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)如图③,D是$\overset{\frown}{ACB}$的中点,$BC＞AB＞AC$,若$AC=4,BC=10$,则CE的长度为
(3)如图④,已知等腰$△ ABC$内接于$\odot O$,$AB=AC$,D为$\overset{\frown}{AB}$上一点,连接DB,DC,$∠ ACD=45°$,$AE ⊥ CD$于点E,$△ BDC$的周长为$4\sqrt{2}+2$,$BC=2$,求AC的长.
证明:如图②,在CB上截取$CG=AB$,连接MA,MB,MC和MG……
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)如图③,D是$\overset{\frown}{ACB}$的中点,$BC＞AB＞AC$,若$AC=4,BC=10$,则CE的长度为
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;(3)如图④,已知等腰$△ ABC$内接于$\odot O$,$AB=AC$,D为$\overset{\frown}{AB}$上一点,连接DB,DC,$∠ ACD=45°$,$AE ⊥ CD$于点E,$△ BDC$的周长为$4\sqrt{2}+2$,$BC=2$,求AC的长.
答案
(1)
∵ M是$\overset{\frown}{ABC}$的中点,
∴ MA=MC. 在△MBA 和△MGC中,
$\begin{cases}BA=GC,\\∠A=∠C,\\MA=MC,\end{cases}$
∴ $△ MBA ≌ △ MGC (\mathrm{SAS})$,
∴ MB = MG. 又
∵ $MD ⊥ BC$,
∴ BD = GD,
∴ $CD = GC+GD = AB+BD$.
(2)3 解析:根据结论得 $4+CE=10-CE$,
∴ $CE=3$.
(3)
∵ $AB=AC$,
∴ A 是$\overset{\frown}{BAC}$的中点.
∵ $AE ⊥ CD$,根据阿基米德折弦定理,得 $CE = BD + DE$.
∵ $△ BCD$ 的周长为 $4\sqrt{2}+2$,
∴ $BD+CD+BC = 4\sqrt{2}+2$,
∴ $BD+DE+CE+BC = 2CE+BC = 4\sqrt{2}+2$.
∵ $BC=2$,
∴ $CE=2\sqrt{2}$. 又在 $\mathrm{Rt}△ ACE$ 中, $∠ACD=45°$,
∴ $AE=CE=2\sqrt{2}$,
∴ $AC=4$.
∵ M是$\overset{\frown}{ABC}$的中点,
∴ MA=MC. 在△MBA 和△MGC中,
$\begin{cases}BA=GC,\\∠A=∠C,\\MA=MC,\end{cases}$
∴ $△ MBA ≌ △ MGC (\mathrm{SAS})$,
∴ MB = MG. 又
∵ $MD ⊥ BC$,
∴ BD = GD,
∴ $CD = GC+GD = AB+BD$.
(2)3 解析:根据结论得 $4+CE=10-CE$,
∴ $CE=3$.
(3)
∵ $AB=AC$,
∴ A 是$\overset{\frown}{BAC}$的中点.
∵ $AE ⊥ CD$,根据阿基米德折弦定理,得 $CE = BD + DE$.
∵ $△ BCD$ 的周长为 $4\sqrt{2}+2$,
∴ $BD+CD+BC = 4\sqrt{2}+2$,
∴ $BD+DE+CE+BC = 2CE+BC = 4\sqrt{2}+2$.
∵ $BC=2$,
∴ $CE=2\sqrt{2}$. 又在 $\mathrm{Rt}△ ACE$ 中, $∠ACD=45°$,
∴ $AE=CE=2\sqrt{2}$,
∴ $AC=4$.
2. 改编题 (1)AB是$\odot O$的直径，点C为圆上一点，将$\overset{\frown}{AC}$沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD。
①如图①，若点D与圆心O重合，AC=3，则$\odot O$的半径r为
②如图②，若点D与圆心O不重合，$∠ BAC=26°$，则$∠ DCA$的度数是
(2)AB是$\odot O$的直径，点C为圆上一点，将$\overset{\frown}{BC}$沿弦BC翻折，交AB于点D。把$\overset{\frown}{BD}$沿直径AB翻折，交BC于点E，连接DE。
①如图③，若点E恰好是翻折后的$\overset{\frown}{BD}$的中点，则$∠ ABC$的度数为
②如图④，若AB=10，OD=1，求线段DE的长。
①如图①，若点D与圆心O重合，AC=3，则$\odot O$的半径r为
$\sqrt{3}$
；②如图②，若点D与圆心O不重合，$∠ BAC=26°$，则$∠ DCA$的度数是
$38°$
。(2)AB是$\odot O$的直径，点C为圆上一点，将$\overset{\frown}{BC}$沿弦BC翻折，交AB于点D。把$\overset{\frown}{BD}$沿直径AB翻折，交BC于点E，连接DE。
①如图③，若点E恰好是翻折后的$\overset{\frown}{BD}$的中点，则$∠ ABC$的度数为
$22.5°$
；②如图④，若AB=10，OD=1，求线段DE的长。
答案
(1)①$\sqrt{3}$ 解析:过点 O 作 $OE ⊥ AC$ 于点 E, 则 $AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2} × 3=\frac{3}{2}$.
∵ 翻折后点 D 与圆心 O 重合,
∴ $OE=\frac{1}{2}r$. 在 $\mathrm{Rt}△ AOE$ 中, $AO^2=AE^2+OE^2$, 即 $r^2=(\frac{3}{2})^2+(\frac{1}{2}r)^2$, 解得 $r=\pm\sqrt{3}$.
∵ $r＞0$,
∴ $r=\sqrt{3}$.
②$38°$ 解析:连接 BC.
∵ AB 是直径,
∴ $∠ACB=90°$.
∵ $∠BAC=26°$,
∴ $∠B=90°-∠BAC=90°-26°=64°$.
∵ 劣弧沿弦 AC 翻折交 AB 于点 D, 而$\overset{\frown}{CD}$与$\overset{\frown}{BC}$都对应$∠BAC$,
∴ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}$,
∴ $CD=BC$,
∴ $∠CDB=∠B=64°$.
∵ $∠CDB=∠DAC+∠DCA$,
∴ $∠DCA=64°-26°=38°$.
(2)①$22.5°$ 解析:如图①,将$\odot O$沿 BC 翻折得到$\odot O'$,将$\odot O'$沿 BD 翻折得到$\odot O''$, 则$\odot O,\odot O',\odot O''$为等圆.
∵ $∠ABC=∠DBC=∠DBE$, 依据在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等可证明$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EB}$. 又
∵ $\overset{\frown}{AC},\overset{\frown}{CD},\overset{\frown}{DB}$的和为半圆$\overset{\frown}{AB}$, 半圆$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角为$180°$,
∴ $∠AOC$的度数为$180° ÷ 4=45°$, 进而得到$∠ABC$的度数为$22.5°$.
②如图②,连接 CA,CD,OC,过点 C 作 $CF ⊥ OA$ 于点 F.
∵ $AB=10$,$OD=1$,
∴ $AD=AO-OD=\frac{1}{2}AB-OD=4$.
∵ 由①知, $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$,
∴ $AC=CD=DE$,
∴ $AF=DF=2$, 由勾股定理得 $CF=4$,$CD=2\sqrt{5}$,
∴ $DE=2\sqrt{5}$.
归纳总结 圆上的一段弧沿着其所对的弦折叠,常涉及复杂的角度转化,用到等弧(等弦)对等角(圆心角和圆周角)、轴对称的性质等知识,这个折叠问题的本质,可以看作两个等圆相交(如图①),折叠的折线是两圆的交点连线(公共弦).
如图②,$\overset{\frown}{AC}$沿着弦 AC 折叠,与直径交于点 D, 则 $CD=CB$($△ CDB$ 为等腰三角形), 若 AC 平分 $∠D_1AD$, 则 $CD_1=CD=CB$.
