11.（锦州中考改编）如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，过$B,C$两点的$\odot O$交$AC$于点$D$，交$AB$于点$E$，连接$EO$并延长交$\odot O$于点$F$，连接$BF$，$CF$，若$∠ EDC = 135°$，$CF = 2\sqrt{2}$，则$AE^2 + BE^2$的值为。

11. 16 解析:连接 EC.
∵ 四边形 BCDE 内接于 $\odot O$,且
$∠ EDC=135°$,$\therefore ∠ EFC=∠ ABC=180°-∠ EDC=45°$.
∵ $∠ ACB=90°$,$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形,$\therefore AC=BC$.
又
∵ EF是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ EBF=∠ ECF=∠ ACB=90°$,
$\therefore ∠ BCF=∠ ACE$.
∵ 四边形 BECF 是 $\odot O$ 的内接四边形,
$\therefore ∠ AEC=∠ BFC$,$\therefore △ ACE ≌ △ BCF$,$\therefore AE=BF$.
∵ 在
$\mathrm{Rt}△ ECF$中,$CF=2\sqrt{2}$,$∠ EFC=45°$,$\therefore EF^2=16$,则 $AE^2+BE^2=BF^2+BE^2=EF^2=16$.

12. 如图，$\odot O$ 的内接四边形 $ABCD$ 两组对边的延长线分别交于点 $E,F$.
(1)若$∠ E=∠ F$,求证:$∠ ADC=∠ ABC$;
(2)若$∠ E = ∠ F = 42°$, $∠ A$ 的度数是________;
(3)若$∠ E=α,∠ F=β$,请你用含有$α,β$的代数式表示$∠ A$ 的大小.

12. (1)
∵ $∠ E=∠ F$,$∠ DCE=∠ BCF$,$∠ ADC=∠ E+∠ DCE$,
$∠ ABC=∠ F+∠ BCF$,$\therefore ∠ ADC=∠ ABC$.
(2)48° 解析:由(1)知$∠ ADC=∠ ABC$.
∵ 四边形 ABCD
为$\odot O$ 的内接四边形,$\therefore ∠ EDC=∠ ABC$,$\therefore ∠ EDC=$
$∠ ADC$,$\therefore ∠ ADC=90°$,$\therefore ∠ A=90°-42°=48°$.
(3)连接 EF,如图.
∵ 四边形 ABCD 为 $\odot O$ 的内接四边形,
$\therefore ∠ ECD=∠ A$,$\therefore ∠ A=∠ 1+∠ 2$.
∵ $∠ A+∠ 1+∠ 2+$
$∠ AEB+∠ AFD=180°$,$\therefore 2∠ A+α+β=180°$,$\therefore ∠ A=90°-\frac{α+β}{2}$.

13. (广西中考),已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形,BD平分∠ABC,DH⊥AB于点H,DH = $\sqrt{3}$, ∠ABC = 120°,则AB+BC的值为.

13. 2 解析:延长 BA 到 E,使 AE=BC,连接 DE,如图.
∵ BD 平
分$∠ ABC$,$\therefore ∠ ABD=∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×120°=60°$.
∵ $∠ DAC=∠ DBC=60°$,$∠ DCA=∠ DBA=60°$,
$\therefore △ DAC$ 为等边三角形,$\therefore DA=DC$.
在 $△ ADE$ 和 $△ CDB$ 中,$\begin{cases} AE=CB, \\ ∠ DAE=∠ DCB, \\ AD=CD, \end{cases}$ $\therefore △ ADE ≌$
$△ CDB(\mathrm{SAS})$,$\therefore AE=BC$,$∠ E=∠ DBC=60°$.而 $∠ DBA=$
$60°$,$\therefore △ DBE$ 为等边三角形.
∵ $DH ⊥ AB$,$\therefore BH=EH$.在
$\mathrm{Rt}△ BDH$中,由勾股定理可得 $BH=1$,$\therefore BE=2BH=2$,
$\therefore AB+BC=2$.

14. 教材变式 改编题 阅读理解:如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,简称“四点共圆”.
证明“四点共圆”的判定定理:1.若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等,那么这两点和线段两端点四点共圆;2.若平面上四点连成的四边形对角互补,那么这四点共圆.
例:如图①,若∠ADB=∠ACB,则A,B,C,D四点共圆;或若∠ADC+∠ABC=180°,则A,B,C,D四点共圆.
(1)如图①,已知∠ADB = ∠ACB = 60°,∠BAD=65°,则∠ACD=;
(2)如图②,若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点,且DE⊥AD,BE⊥AB,AD=2,求AE的长;
(3)如图③,四边形ABCD中CD和BC的长是关于x的方程$\frac{1}{2}x^2 - (m+2)x + (2m^2 - m + \frac{7}{2})=0$的两个实数根,∠DAB=∠DCB=90°,AD=2,AC的长是;
(4)如图④,正方形ABCD的边长为4,等边△EFG内接于此正方形,且E,F,G分别在边AB,AD,BC上,若AE = 3,EF的长是.

14. (1)55°
(2)解法一:
∵ $DE ⊥ AD$,$BE ⊥ AB$,$\therefore ∠ ADE=90°$,$∠ ABE=$
$90°$,$\therefore$ 点A,D,B,E 在以 AE 的中点 O 为圆心,AE 的长为
直径的圆上.
∵ $△ ABC$为等腰直角三角形,$\therefore ∠ ABD=45°$,
$\therefore ∠ AED=45°$,$\therefore △ ADE$ 为等腰直角三角形.
∵ $AD=2$,
$\therefore AE=2\sqrt{2}$.
解法二:可以用“截长补短法”或“旋转法”,证明三角形全
等,得到 $AD=DE$,$△ ADE$ 是等腰直角三角形,从而求解.
(3)$\sqrt{2}+\sqrt{7}$ 解析:连接 BD,过点 D 作 $DE ⊥ AC$,垂足为 E.
根据题意得 $\Delta = [-(m+2)]^2-4×\frac{1}{2}×(2m^2 - m + \frac{7}{2})=$
$-3m^2+6m-3\ge0$,$\therefore (m-1)^2\le0$,$\therefore m=1$.原方程为 $\frac{1}{2}x^2-$
$3x+\frac{9}{2}=0$,解得 $x=3$.$\therefore CD=BC=3$.
∵ $∠ DAB=∠ DCB=$
$90°$,$\therefore$ 点 A,B,C,D 四点共圆,$∠ CBD=45°$,$\therefore ∠ DAC=$
$45°$.在 $\mathrm{Rt}△ DEA$中,
∵ $AD=2$,$\therefore AE=DE=\sqrt{2}$.在 $\mathrm{Rt}△ DEC$
中,
∵ $CD=3$,$\therefore CE=\sqrt{7}$,$\therefore AC=AE+CE=\sqrt{2}+\sqrt{7}$.
(4)$\frac{2\sqrt{39}}{3}$ 解析:过点 E 作 $EK ⊥ FG$ 于 K,则 K 是 FG 的
中点,连接 AK,BK,如图,$\therefore ∠ EKG=∠ EBG=∠ EKF=$
$∠ EAF=90°$,$\therefore E,K,G,B$ 和 $E,K,F,A$ 分别四点共圆,
$\therefore ∠ KBE=∠ EGK=60°$,$∠ EAK=∠ EFK=60°$,$\therefore △ ABK$是
等边三角形,$\therefore AB=AK=KB=4$.过点 K 作 $KM ⊥ AB$ 于 M,则 M
为 AB 的中点,$\therefore ∠ AKM=\frac{1}{2}∠ AKB=30°$,$AM=2$,$\therefore KM=$
$2\sqrt{3}$,$\therefore ME=AE-AM=3-2=1$,$KE=\sqrt{MK^2+ME^2}=\sqrt{13}$.
∵ $∠ FEK=30°$,$\therefore KF=\frac{1}{2}EF$,$\therefore (\frac{EF}{2})^2 + EK^2 = EF^2$,
$\therefore EF=\frac{2\sqrt{39}}{3}$.