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10. 阅读理解 阅读下列内容,并答题:我们知道,计算$n$边形对角线条数的公式为$\frac{1}{2}n(n-3)$.如果一个$n$边形共有20条对角线,那么可以得到方程$\frac{1}{2}n(n-3)=20$.整理,得$n^2 -3n -40=0$,解得$n=8$或$n=-5$.
∵$n$为大于或等于3的整数,
∴$n=-5$不符合题意,舍去.
∴$n=8$,即多边形是八边形.
根据以上内容,解答下列问题:
(1)若一个多边形共有9条对角线,求这个多边形的边数;
(2)小明说:"我求得一个多边形共有10条对角线."你认为小明的说法正确吗?为什么?
∵$n$为大于或等于3的整数,
∴$n=-5$不符合题意,舍去.
∴$n=8$,即多边形是八边形.
根据以上内容,解答下列问题:
(1)若一个多边形共有9条对角线,求这个多边形的边数;
(2)小明说:"我求得一个多边形共有10条对角线."你认为小明的说法正确吗?为什么?
答案
10.解:(1)设这个多边形的边数为 $n$.根据题意,得
$\frac{1}{2}n(n-3)=9$,即 $n^2-3n-18=0$,
解得 $n=6$ 或 $n=-3$.
$\because n$ 为大于或等于 3 的整数,
$\therefore n=-3$ 不符合题意,舍去,
$\therefore n=6$,即这个多边形的边数为 6.
(2)小明的说法不正确.理由如下:
假设小明的说法正确.设这个多边形的边数为 $n$,
则 $\frac{1}{2}n(n-3)=10$,即 $n^2-3n-20=0$,
解得 $n=\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}$.
$\because n$ 为大于或等于 3 的整数,
$\therefore$ 符合方程 $n^2-3n-20=0$ 的正整数 $n$ 不存在,
$\therefore$ 多边形的对角线不可能有 10 条.
$\frac{1}{2}n(n-3)=9$,即 $n^2-3n-18=0$,
解得 $n=6$ 或 $n=-3$.
$\because n$ 为大于或等于 3 的整数,
$\therefore n=-3$ 不符合题意,舍去,
$\therefore n=6$,即这个多边形的边数为 6.
(2)小明的说法不正确.理由如下:
假设小明的说法正确.设这个多边形的边数为 $n$,
则 $\frac{1}{2}n(n-3)=10$,即 $n^2-3n-20=0$,
解得 $n=\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}$.
$\because n$ 为大于或等于 3 的整数,
$\therefore$ 符合方程 $n^2-3n-20=0$ 的正整数 $n$ 不存在,
$\therefore$ 多边形的对角线不可能有 10 条.
11.(2025·雨花区期末)综合与实践
【主题】三角点阵前$n$行的点数计算.
【素材】如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点,…,第$n$行有$n$个点,如果要用试验的方法,由上而下地逐行相加其点数,容易发现,前$n$行的点数和是$1+2+3+\dots+(n-2)+(n-1)+n=\frac{1}{2}n(n+1)$.这就是说,三角点阵中前$n$行的点数和是$\frac{1}{2}n(n+1)$.
【实践探索】请你根据上述材料解答下列问题:
(1)若三角点阵中前$n$行的点数和是55,求出$n$的值.
【拓展探索】
(2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2,4,6,…,$2n$,请探究出前$n$行的点数和满足的规律.
(3)在(2)的条件下,这个三角点阵中前$n$行的点数和能是120吗?如果能,求出$n$的值;如果不能,请说明理由.
易错知识点:一元二次方程——单循环制比赛问题
易错考法:由数量关系列方程;实际问题根的取舍
【主题】三角点阵前$n$行的点数计算.
【素材】如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点,…,第$n$行有$n$个点,如果要用试验的方法,由上而下地逐行相加其点数,容易发现,前$n$行的点数和是$1+2+3+\dots+(n-2)+(n-1)+n=\frac{1}{2}n(n+1)$.这就是说,三角点阵中前$n$行的点数和是$\frac{1}{2}n(n+1)$.
【实践探索】请你根据上述材料解答下列问题:
(1)若三角点阵中前$n$行的点数和是55,求出$n$的值.
【拓展探索】
(2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2,4,6,…,$2n$,请探究出前$n$行的点数和满足的规律.
(3)在(2)的条件下,这个三角点阵中前$n$行的点数和能是120吗?如果能,求出$n$的值;如果不能,请说明理由.
易错知识点:一元二次方程——单循环制比赛问题
易错考法:由数量关系列方程;实际问题根的取舍
答案
11.解:(1)由题意若三角点阵中前 $n$ 行的点数和是 55,
得 $\frac{n(n+1)}{2}=55$,即 $n^2+n-110=0$,
$\therefore (n+11)(n-10)=0$,
$\therefore n_1=-11$(舍去),$n_2=10$,$\therefore n$ 的值为 10.
(2)前 $n$ 行所有点数的和为 $2+4+6+\dots+2(n-2)+2(n-1)+2n=2[1+2+3+\dots+(n-2)+(n-1)+n]=$
$2×\frac{n(n+1)}{2}=n(n+1)$.
(3)不能,假设能为 120,则 $n(n+1)=120$,
即 $n^2+n-120=0$,$\therefore n=\frac{-1\pm\sqrt{481}}{2}$.
$\because n$ 为正整数,$\therefore$ 前 $n$ 行的点数和不能为 120.
得 $\frac{n(n+1)}{2}=55$,即 $n^2+n-110=0$,
$\therefore (n+11)(n-10)=0$,
$\therefore n_1=-11$(舍去),$n_2=10$,$\therefore n$ 的值为 10.
(2)前 $n$ 行所有点数的和为 $2+4+6+\dots+2(n-2)+2(n-1)+2n=2[1+2+3+\dots+(n-2)+(n-1)+n]=$
$2×\frac{n(n+1)}{2}=n(n+1)$.
(3)不能,假设能为 120,则 $n(n+1)=120$,
即 $n^2+n-120=0$,$\therefore n=\frac{-1\pm\sqrt{481}}{2}$.
$\because n$ 为正整数,$\therefore$ 前 $n$ 行的点数和不能为 120.
