变式3 (1)下列各式:①$-x^2 - y^2$;②$1 - \frac{1}{4}a^2b^2$;③$a^2 + ab + b^2$;④$x^2 + 2xy + y^2$;⑤$x^2 - x + \frac{1}{4}$,可以用公式法分解因式的有…………………………………………………………（）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
(2)因式分解:
①$2a^2 - 12a + 18$;
②$a^3 - 25a$。

(1)B
(2)①原式=$2(a^2-6a+9)=2(a-3)^2$。
②原式=$a(a^2-25)=a(a-5)(a+5)$。

例4 (1)若k为任意整数,则$(k+5)^2-(k-3)^2$的值总能（）
A. 被5整除
B. 被6整除
C. 被7整除
D. 被8整除
(2)已知实数x满足$x^3+x^2+x+1=0$,则$x^{2024}+x^3+x=\_\_\_\_\_\_$。
(3)(2024·金华浦江)如图,在边长为a的大正方形中剪掉边长为b的小正方形,剩余部分剪拼成一个长为20,宽为10的长方形,则$a^2-b^2=\_\_\_\_\_\_$。

(4)(2024·绍兴越城、上虞)若$x^2+xy=17-a,y^2+xy=8+a$,则$x+y=\_\_\_\_\_\_$。
知识归纳
利用因式分解可以解决整除问题,代数式恒等变形问题以及代数式的求值问题等。

(1)D (2)-1 (3)200 (4)±5

变式4 如图,将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块,其中有2块是边长为acm的大正方形,2块是边长为bcm的小正方形,5块是长为acm,宽为bcm的相同的小长方形,且$a＞b$。
(1)观察图形,可以发现代数式$2a^2 + 5ab + 2b^2$可以因式分解为。
(2)若图中阴影部分的面积为$34\mathrm{cm}^2$,大长方形纸板的周长为30cm。
①求$a+b$的值；
②求图中空白部分的面积。

(1)通过观察图形可以得出大长方形的面积是$(2a^2+5ab+2b^2)\mathrm{cm}^2$,大长方形的长是$(2a+b)\mathrm{cm}$,宽是$(a+2b)\mathrm{cm}$,由此可得$2a^2+5ab+2b^2=(a+2b)(b+2a)$。故答案为$(a+2b)(b+2a)$。
(2)①根据大长方形的周长为30cm,可得$2(2a+b+a+2b)=30,2(3a+3b)=30,6(a+b)=30,a+b=5$。故$a+b$的值为5。
②空白部分的面积为$5ab\mathrm{cm}^2$,根据①得$a+b=5$,因为阴影部分的面积为$34\mathrm{cm}^2$,且阴影部分的面积表示为$2a^2+2b^2$,故$a^2+b^2=17$,因为$(a+b)^2-2ab=a^2+b^2$,所以$5^2-2ab=17$,所以$ab=4$,所以$5ab=20$。故空白部分的面积为$20\mathrm{cm}^2$。