8. [2025 南通] 在平面直角坐标系$xOy$中，五个点的坐标分别为$A(-1,5),B(1,2),C(2,1),D(3,-1),E(5,5)$。若抛物线$y=a(x-2)^2 +k(a＞0)$经过上述五个点中的三个点，则满足题意的$a$的值不可能为（）

A.$\dfrac{3}{8}$
B.$\dfrac{4}{9}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{3}{4}$

【点拨】$\because$抛物线$y=a(x-2)^2 +k(a＞0),\therefore$抛物线开口向上,对称轴为直线$x=2.$$\because A(-1,5),E(5,5)$,且$\frac{-1+5}{2}=2,\therefore$点$A,E$同时在抛物线上或同时不在抛物线上.当$A,D,E$三点在抛物线$y=a(x-2)^2 +k(a＞0)$上时,将$A(-1,5),D(3,-1)$的坐标代入得$\begin{cases}5=a(-1-2)^2 +k,\\-1=a(3-2)^2 +k,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{3}{4},\\k=-\frac{7}{4}.\end{cases}$ $\therefore y=\frac{3}{4}(x-2)^2-\frac{7}{4}$,把$x=5$代入,得$y=\frac{3}{4}(5-2)^2-\frac{7}{4}=5,\therefore$点$E$在抛物线$y=\frac{3}{4}(x-2)^2-\frac{7}{4}$上,故抛物线$y=a(x-2)^2 +k(a＞0)$同时经过$A,D,E$三点;当$A,C,E$三点在抛物线$y=a(x-2)^2 +k(a＞0)$上时,把$A(-1,5),C(2,1)$的坐标代入得$\begin{cases}5=a(-1-2)^2 +k,\\1=a(2-2)^2 +k,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{4}{9},\\k=1,\end{cases}$ $\therefore y=\frac{4}{9}(x-2)^2+1.$当$x=5$时,$y=\frac{4}{9}(5-2)^2+1=5,\therefore E(5,5)$在抛物线$y=\frac{4}{9}(x-2)^2+1$上,故抛物线$y=a(x-2)^2 +k(a＞0)$同时过$A,C,E$三点;当$A,B,E$三点在抛物线$y=a(x-2)^2 +k(a＞0)$上时,把$A(-1,5),B(1,2)$的坐标代入,得$\begin{cases}5=a(-1-2)^2 +k,\\2=a(1-2)^2 +k,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{3}{8},\\k=\frac{13}{8},\end{cases}$ $\therefore y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{13}{8}.$把$x=5$代入,得$y=\frac{3}{8}(5-2)^2+\frac{13}{8}=5,\therefore E(5,5)$在抛物线$y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{13}{8}$上.$\therefore$抛物线$y=a(x-2)^2 +k(a＞0)$同时过$A,B,E$三点;当$B,C,D$三点在抛物线$y=a(x-2)^2 +k(a＞0)$上时,把$C(2,1)$的坐标代入表达式,得$k=1$,$\therefore y=a(x-2)^2+1.$把$B(1,2)$的坐标代入,得$a+1=2$,解得$a=1$,把$D(3,-1)$的坐标代入,得$a+1=-1$,解得$a=-2$.$\therefore B,C,D$三点不能同时在抛物线上.综上所述,抛物线$y=a(x-2)^2 +k(a＞0)$能同时经过的三个点有$A,D,E;A,C,E;A,B,E$且$a$的值分别是$\frac{3}{4}$,$\frac{4}{9}$,$\frac{3}{8}$.$\therefore a$的值不可能为$\frac{2}{3}$.故选C.

9. 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象过点$A(0,m),B(1,-m),C(2,n),D(3,-m)$，其中$m,n$为常数，则$\frac{m}{n}$的值为。

【点拨】把$A(0,m),B(1,-m),D(3,-m)$代入$y=ax^2+bx+c(a≠0)$,得$\begin{cases}c=m,\\a+b+c=-m,\\9a+3b+c=-m,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=\frac{2}{3}m,\\b=-\frac{8}{3}m,\\c=m.\end{cases}$
$\therefore y=\frac{2}{3}mx^2-\frac{8}{3}mx+m.$把$C(2,n)$代入$y=\frac{2}{3}mx^2-\frac{8}{3}mx+m$,得$n=\frac{2}{3}m×2^2-\frac{8}{3}m×2+m=-\frac{5}{3}m.$$\therefore \frac{m}{n}=\frac{m}{-\frac{5}{3}m}=-\frac{3}{5}.$

10. ★★ 新考法 图表信息法 设二次函数 $ y = ax^2 + bx + 1 $（$ a≠0 $，$ b $ 是实数）.已知函数 $ y $ 和自变量 $ x $ 的部分对应取值如下表所示：
(1)若 $ m=4 $，
①二次函数的表达式为 ______；
②当 $ x $ 的取值范围为 ______ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.
(2)若在 $ m,n,p $ 这三个实数中，只有一个是正数，则 $ a $ 的取值范围为 ______.

(1)①【点拨】由题意得$\begin{cases}a-b+1=4,\\4a+2b+1=1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\end{cases}$ $\therefore$二次函数的表达式为$y=x^2-2x+1.$
②$x＜1$
(2)【点拨】$\because x=0$和$x=2$时的函数值都是1,
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1.$$\therefore$点$(1,n)$是抛物线的顶点,点$(-1,m)$和点$(3,p)$关于对称轴对称.
若在$m,n,p$这三个实数中,只有一个是正数,则抛物线必须开口向下,即$a＜0$,且$m≤0.$
$\because -\frac{b}{2a}=1,\therefore b=-2a.$$\therefore$二次函数为$y=ax^2-2ax+1.$
将点$(-1,m)$的坐标代入表达式,得$m=a+2a+1.$
$\because m≤0,\therefore a+2a+1≤0.$$\therefore a≤-\frac{1}{3}.$

11. 新题型 规律探究题 如图,一段抛物线: $y=-x(x-3)(0≤x≤3)$,记为$C_1$,它与x轴交于点$O,A_1$;将$C_1$绕点$A_1$旋转$180°$得$C_2$,交x轴于点$A_2$;将$C_2$绕点$A_2$旋转$180°$得$C_3$,交x轴于点$A_3$;…,如此进行下去,直至得$C_{2026}$,若点$(m,-2)$在第2026段抛物线$C_{2026}$上,则$m=$.

【点拨】$\because y=-x(x-3)(0≤ x≤3)$,
$\therefore$图象与$x$轴的交点坐标为$O(0,0),A_1(3,0).$$\therefore OA_1=3.$
$\because$将$C_1$绕点$A_1$旋转$180°$得$C_2$,交$x$轴于点$A_2$,$\therefore OA_2=2×3=6$,$\therefore A_2(6,0)$;同理可得$OA_3=3×3=9$,$\dots$,$OA_{2025}=2025×3=6075$,$OA_{2026}=2026×3=6078.$
$\because A_1(3,0),A_2(6,0),\therefore$第2段抛物线$C_2$的表达式为$y=(x-3)(x-6).$当$y=-2$时,$(x-3)(x-6)=-2$,解得$x_1=4,x_2=5$,$\therefore$点$(4,-2),(5,-2)$在第2段抛物线$C_2$上.易知第2026段抛物线$C_{2026}$可以看作由抛物线$C_2$向右平移$6075-3=6072$(个)单位长度得到的,此时点$(4,-2),(5,-2)$对应的坐标为$(6076,-2),(6077,-2)$,$\therefore m$的值为6076或6077.

12. [2025 常州] 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=-\frac{3}{2}x+3$的图象分别与$x$轴,$y$轴交于点$A$,$B$,点$C$是线段$AB$上一点,$C$与$B$不重合.二次函数$y=ax^2+bx+c$($a,b,c$是常数,且$a≠0$)的图象经过点$B$,顶点是$C$.将该二次函数的图象平移后得到新抛物线,$B',C'$分别是$B,C$的对应点,且点$B'$落在$x$轴正半轴上,点$C'$的纵坐标为$-2$.
(1)$OB=$;
(2)求点$C$的坐标;
(3)已知新抛物线与$y$轴交于点$G(0,\frac{5}{2})$,点$D(3,y_1),E(x_2,y_2)$在新抛物线上,若对于满足$m＜x_2≤m+1$的任意实数$x_2,y_2＞y_1$总成立,求实数$m$的取值范围.

(1)3
(2)$\because B(0,3)$,点$B$的对应点$B'$落在$x$轴正半轴上,
$\therefore$点$B$向下平移了3个单位长度,
$\therefore$点$C$向下平移3个单位长度后,与$C'$的纵坐标相同.
$\because$点$C'$的纵坐标为$-2$,
$\therefore$点$C$的纵坐标为$-2+3=1.$
$\because$点$C$在线段$AB$上,即点$C$在直线$y=-\frac{3}{2}x+3$上,
$\therefore$当$y=-\frac{3}{2}x+3=1$时,$x=\frac{4}{3}$,$\therefore C(\frac{4}{3},1).$
(3)$\because B(0,3),C(\frac{4}{3},1)$,二次函数$y=ax^2+bx+c(a,b,c$是常数,且$a≠0)$的图象经过点$B$,顶点是$C$,
$\therefore y=a(x-\frac{4}{3})^2+1$,把$B(0,3)$的坐标代入,得$a(0-\frac{4}{3})^2+1=3$,$\therefore a=\frac{9}{8}.$$\therefore y=\frac{9}{8}(x-\frac{4}{3})^2+1.$
$\because$平移后点$B$的对应点$B'$落在$x$轴正半轴上,
$\therefore$设抛物线向右平移$h(h＞0)$个单位长度,再向下平移3个单位长度得到新的抛物线.
$\therefore$新的抛物线的表达式为$y=\frac{9}{8}(x-\frac{4}{3}-h)^2-2$,
把$G(0,\frac{5}{2})$的坐标代入,得$\frac{9}{8}(0-\frac{4}{3}-h)^2-2=\frac{5}{2}$,
解得$h=\frac{2}{3}$或$h=-\frac{10}{3}$(舍去).
$\therefore y=\frac{9}{8}(x-\frac{4}{3}-\frac{2}{3})^2-2=\frac{9}{8}(x-2)^2-2.$
$\therefore$抛物线的开口向上,对称轴为直线$x=2.$
$\therefore$抛物线上的点离对称轴越远,函数值越大,点$D(3,y_1)$关于对称轴的对称点为$D'(1,y_1).$
$\because$对于满足$m＜x_2≤ m+1$的任意实数$x_2$,$y_2＞y_1$总成立,
$\therefore m+1＜1$或$m≥3.$$\therefore m＜0$或$m≥3.$