1. 如图，已知二次函数$y=x^2+bx+c$的图象与$x$轴交于$A,B$两点，与$y$轴交于点$C$，其中$A(-2,0),C(0,-2)$。
(1)则二次函数的表达式为；
(2)若$P$是二次函数图象上的一点，且点$P$在第二象限，线段$PC$交$x$轴于点$D$，$△ PDB$的面积是$△ CDB$的面积的2倍，则点$P$的坐标为。

(1)将$A(-2,0),C(0,-2)$的坐标代入$y=x^2 +bx+c$，得$\begin{cases}4-2b+c=0,\\c=-2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=1,\\c=-2,\end{cases}$ 所以二次函数的表达式为$y=x^2 +x-2$。
(2)设$P(m,n)$,因为点$P$在第二象限,所以$m＜0,n＞0$。
依题意,得$\frac{S_{△ PDB}}{S_{△ CDB}}=2$,即$\frac{\frac{1}{2}BD· n}{\frac{1}{2}BD· CO}=2$,所以$\frac{n}{CO}=2$。
因为$C(0,-2)$,所以$CO=2$.所以$n=2CO=4$。
由$m^2 +m-2=4$,解得$m_1=-3,m_2=2$(舍去),
所以点$P$的坐标为$(-3,4)$。

2. [2026合肥期中] 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），与$x$轴交于点$A(-3,0)$，$B(1,0)$，与$y$轴的负半轴交于点$C$，且$OC=OA$。
(1)求二次函数的表达式；
(2)若当$m≤x≤m+3$时，函数的最小值为5，求$m$的值。

(1)由题意易得,点$C(0,-3)$,$\because$二次函数$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交于点$A(-3,0),B(1,0)$,
$\therefore$二次函数的表达式为$y=a(x+3)(x-1)=a(x^2+2x-3)$,
将$C(0,-3)$的坐标代入,得$-3a=-3$,$\therefore a=1$。
$\therefore$二次函数的表达式为$y=x^2+2x-3$。
(2)$\because y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$,$\therefore$对称轴为直线$x=-1$。
当$m+3≤-1$,即$m≤-4$时,
此时$y_{\mathrm{min}}=(m+3)^2+2(m+3)-3=5$,
解得$m=-1$(舍去)或$m=-7$;
当$m≥-1$时,此时$y_{\mathrm{min}}=m^2+2m-3=5$,
解得$m=-4$(舍去)或$m=2$;
当$-4＜m＜-1$时,函数的最小值为$-4$,不符合题意。
综上,$m$的值为2或$-7$。

3.已知抛物线$y=ax^2 -2ax -3 +2a^2$（$a≠0$）.
(1)这条抛物线的对称轴为________；
(2)若该抛物线的顶点在$x$轴上，求其表达式；
(3)设点$P(m,y_1)$，$Q(3,y_2)$在抛物线上，若$y_1＜y_2$，求$m$的取值范围.

(1)直线$x=1$
(2)$\because y=ax^2-2ax-3+2a^2=a(x-1)^2+2a^2-a-3$,抛物线的顶点在$x$轴上,
$\therefore 2a^2-a-3=0$,解得$a=\frac{3}{2}$或$a=-1$。
$\therefore$抛物线的表达式为$y=\frac{3}{2}x^2-3x+\frac{3}{2}$或$y=-x^2+2x-1$。
(3)$\because$抛物线的对称轴为直线$x=1$,
$\therefore Q(3,y_2)$关于直线$x=1$的对称点的坐标为$(-1,y_2)$。
$\therefore$当$a＞0$时,若$y_1＜y_2$,则$-1＜m＜3$;
当$a＜0$时,若$y_1＜y_2$,则$m＜-1$或$m＞3$。
点方法 由于不知道$a$值的正负和函数的增减性,需分$a＞0$和$a＜0$两种情况讨论,避免漏解。

4. 已知抛物线 $y=x^2 - 2x - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点(点 $B$ 在点 $A$ 的右边).
(1)求 $A,B$ 两点间的距离及抛物线的顶点坐标；
(2)若将该抛物线向上平移1个单位长度,再向右平移若干个单位长度后,新的抛物线刚好经过点 $B$. 求平移后新抛物线对应的函数表达式.

(1)令$y=0$,则$x^2-2x-3=0$,
得$x_1=-1,x_2=3$,$\therefore AB=|x_1-x_2|=4$。
由$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,得顶点坐标为$(1,-4)$。
(2)根据题意,设新抛物线对应的函数表达式为$y=(x-m)^2-3$,
易知$B(3,0)$,把$B(3,0)$的坐标代入得$m=3\pm\sqrt{3}$。
$\therefore$新抛物线对应的函数表达式为$y=(x-3+\sqrt{3})^2-3$或$y=(x-3-\sqrt{3})^2-3$。