8. [2025烟台] 如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为$(6,\dfrac{3}{2})$,$△ ABC$的顶点A的坐标为$(4,3)$.以点P为位似中心作$△ A_1B_1C_1$与$△ ABC$位似,相似比为2,且与$△ ABC$位于点P同侧;以点P为位似中心作$△ A_2B_2C_2$与$△ A_1B_1C_1$位似,相似比为2,且与$△ A_1B_1C_1$位于点P同侧,$···$,按照以上规律作图,点$A_3$的坐标为.

8. $(-10,\frac{27}{2})$ 【点拨】依题意得 $A_1P = 2AP = 2\sqrt{(6-4)^2+(\frac{3}{2}-3)^2}=5, \therefore A_2P=2A_1P=10. \therefore A_3P=2A_2P=20$. 设直线 $AP$ 的表达式为 $y=kx+b(k≠0)$, 代入 $P(6,\frac{3}{2}),A(4,3)$ 的坐标, 则 $\begin{cases}\frac{3}{2}=6k+b, \\3=4k+b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\frac{3}{4}, \\b=6,\end{cases}$ $\therefore y=-\frac{3}{4}x+6$. 设 $A_3(m,-\frac{3}{4}m+6), \therefore (m-6)^2+(-\frac{3}{4}m+6-\frac{3}{2})^2=20^2$, 解得 $m_1=-10,m_2=22$(舍去), $\therefore A_3(-10,\frac{27}{2})$.

9. 如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点(点B,C不重合)，连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的平分线于点F，若FG⊥BG.
(1)求证：$△ ABE ∽ △ EGF$.
(2)若$EC=2$，求$△ CEF$的面积.
(3)EC为何值时，$△ CEF$的面积最大？

9.(1)【证明】$\because$ 四边形 ABCD 是正方形, $EF⊥ AE,FG⊥ BG$, $\therefore ∠ B = ∠ G = ∠ AEF = 90°, \therefore ∠ BAE + ∠ AEB = 90°$, $∠ AEB + ∠ FEG = 90°, \therefore ∠ BAE = ∠ FEG. \because ∠ B = ∠ G = 90°, \therefore △ ABE ∽ △ EGF$.
(2)【解】$\because BC=10,CE=2, \therefore BE=8$.
$\because CF$ 是 $∠ DCG$ 的平分线, $∠ DCG=90°$,
$\therefore ∠ FCG=45°, \therefore ∠ CFG=45°, \therefore FG=CG$,
$\therefore EG=CE+CG=2+FG$.
由(1)知, $△ ABE ∽ △ EGF, \therefore \frac{AB}{EG}=\frac{BE}{FG}$,
$\therefore \frac{10}{2+FG}=\frac{8}{FG}, \therefore FG=8$,
$\therefore S_{△ ECF}=\frac{1}{2}CE· FG=\frac{1}{2}×2×8=8$.
(3)【解】设 $CE=x$, 则 $BE=10-x, EG=CE+CG=x+FG$.
由(2)知, $\frac{AB}{EG}=\frac{BE}{FG}, \therefore \frac{10}{x+FG}=\frac{10-x}{FG}, \therefore FG=10-x$,
$\therefore S_{△ ECF}=\frac{1}{2}× CE× FG=\frac{1}{2}x(10-x)=-\frac{1}{2}(x^2-10x)=-\frac{1}{2}(x-5)^2+\frac{25}{2}. \because -\frac{1}{2}＜0, \therefore$ 当 $x=5$ 时, $S_{△ ECF}$ 最大, 即 $EC=5$ 时, $△ CEF$ 的面积最大.

10. [中华传统文化·墨经]2026·西安期末 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验.小孔成像示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD(点A,B的对应点分别是C,D).若物体AB的高为5 cm，小孔O到地面OE距离为2 cm，则实像CD的高度为cm.

10.$\frac{10}{3}$ 【点拨】由题意可得 $OE// AB, \therefore △ COE ∽ △ CAB$, $\therefore \frac{CE}{CB}=\frac{OE}{AB}=\frac{2}{5}, \therefore \frac{BE}{BC}=\frac{3}{5}. \because OE// CD, \therefore △ BOE ∽ △ BDC, \therefore \frac{OE}{CD}=\frac{BE}{BC}=\frac{3}{5}, \therefore CD=\frac{10}{3}\ \mathrm{cm}$.

11. 如图,小斌想用学过的知识测算河的宽度EF.在河对岸有一棵树GF,树GF在河里的倒影为HF,且$GF=HF=4.64\ \mathrm{m}$,小斌在岸边调整自己的位置,当站在点B处时恰好看到岸边点C和倒影顶点H在一条直线上,点C到水面EF的距离$CE=0.58\ \mathrm{m}$,小斌的眼睛与地面的距离(AB)为$1.74\ \mathrm{m}$,$BC=2.7\ \mathrm{m}$,$AB⊥ BC$,$CE⊥ EF$,$HF⊥ EF$,$GF⊥ EF$,$BC// EF$,视线AH与水面EF的交点为D.根据以上测量方法及数据可得河的宽度EF为 m.

11.8.1 【点拨】$\because BC// EF,AB⊥ BC,CE⊥ EF, \therefore ∠ ACB=∠ CDE, ∠ ABC = ∠ CED = 90°. \therefore △ ABC ∽ △ CED$. $\therefore \frac{AB}{CE}=\frac{BC}{ED}$, 即 $\frac{1.74}{0.58}=\frac{2.7}{ED}$, 解得 $ED=0.9\ \mathrm{m}. \because CE⊥ EF, FH⊥ EF, \therefore ∠ CED = ∠ HFD = 90°$. 又 $\because ∠ CDE = ∠ HDF, \therefore △ CED ∽ △ HFD. \therefore \frac{FH}{CE}=\frac{DF}{ED}$, 即 $\frac{4.64}{0.58}=\frac{DF}{0.9}$, 解得 $DF=7.2\ \mathrm{m}. \therefore EF=ED+DF=0.9+7.2=8.1(\mathrm{m}). \therefore$ 河的宽度 $EF$ 为 $8.1\ \mathrm{m}$.

12. 教材母题 教材P101例1变式 如图,在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位)有一点O和$△ ABC$. 请以点O为位似中心,把$△ ABC$缩小为原来的一半(不改变方向),画出$△ ABC$的位似图形.

12.【解】如图,$△ A'B'C'$即为所求作的图形.