13. 如图，点P是$△ ABC$的重心，点D是边AC的中点，$PE// AC$交BC于点E，$DF// BC$交EP于点F。若四边形CDFE的面积为6，则$△ ABC$的面积为（）

A.12
B.14
C.18
D.24

13.C 【点拨】如图,连接 BD.
$\because$ 点 $P$ 是 $△ ABC$ 的重心, 点 $D$ 是边 $AC$ 的中点, $\therefore P$ 在 $BD$ 上, 且 $DP:BP=1:2, S_{△ ABC}=2S_{△ BDC}. \therefore \frac{BP}{BD}=\frac{2}{3}$.
$\because DF// BC, \therefore △ DFP ∽ △ BEP$.
$\therefore \frac{S_{△ DFP}}{S_{△ BEP}}=(\frac{DP}{BP})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$.
$\because EF// AC, \therefore △ BEP ∽ △ BCD, \therefore \frac{S_{△ BEP}}{S_{△ BCD}}=(\frac{BP}{BD})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$. 设 $△ DFP$ 的面积为 $m$, 则 $△ BEP$ 的面积为 $4m, \therefore △ BCD$ 的面积为 $9m. \because$ 四边形 $CDFE$ 的面积为 6, $\therefore m+9m-4m=6$, 解得 $m=1. \therefore △ BCD$ 的面积为 9. $\therefore △ ABC$ 的面积是 18. 故选 C.

14. ★★★ [2026 亳州模拟] 如图，CE，BF 是$△ ABC$的两条高，CE，BF 相交于点 D.
(1)请直接写出图中与$△ ABF$相似的三角形；
(2)连接 EF，若$∠ A=60°$，$EF=5$，求 BC 的长；
(3)若$∠ ABC=45°$，$CF=6$，$AF=4$，求$△ AEF$的面积.

14.【解】(1)$△ ACE,△ DBE,△ DCF$ 都与 $△ ABF$ 相似.
(2)$\because BF⊥ AC, \therefore ∠ BFA=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABF$ 中, $∠ A=60°, \therefore ∠ ABF=30°. \therefore \frac{AF}{AB}=\frac{1}{2}$.
同理 $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}, \therefore \frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC}$. 又 $\because ∠ A=∠ A, \therefore △ AEF ∽ △ ACB. \therefore \frac{EF}{CB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}. \because EF=5, \therefore CB=10$.
(3)$\because △ ACE ∽ △ ABF, \therefore \frac{AE}{AF}=\frac{AC}{AB}$.
$\because CF=6,AF=4, \therefore AC=10. \therefore \frac{AE}{4}=\frac{10}{AB}. \therefore AB· AE=40$. 设 $AB=x$, 则 $AE=\frac{40}{x}$ ($AB＞AE$). 在 $\mathrm{Rt}△ ABF$ 中, $BF^2=AB^2-AF^2=x^2-16$. 在 $\mathrm{Rt}△ BCF$ 中, $BC^2=BF^2+CF^2=x^2-16+36=x^2+20. \because ∠ ABC=45°, \therefore △ EBC$ 为等腰直角三角形. $\therefore BE=CE$.
在 $\mathrm{Rt}△ EBC$ 中, $BC^2=BE^2+CE^2, \therefore CE^2=\frac{1}{2}(x^2+20)$.
在 $\mathrm{Rt}△ AEC$ 中, $AE^2+EC^2=AC^2$, 即 $(\frac{40}{x})^2+\frac{1}{2}(x^2+20)=10^2. \because x＞0, \therefore x_1=2\sqrt{5},x_2=4\sqrt{10}. \because AB＞AE, \therefore x=4\sqrt{10}$, $\therefore AB=4\sqrt{10}, AE=\sqrt{10}, BF=12. \therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BF· AC=60. \because \frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{\sqrt{10}}{10}, ∠ A=∠ A, \therefore △ AEF ∽ △ ACB. \therefore \frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ACB}}=(\frac{AE}{AC})^2=\frac{1}{10}. \therefore S_{△ AEF}=6$.

15. ※※※ [2025 山西] 综合与探究.
【问题情境】如图①,在△ABC纸片中,AB＞BC,点D在边AB上,AD＞BD.沿过点D的直线折叠该纸片,使DB的对应线段DB'与BC平行,且折痕与边BC交于点E,得到△DB'E,然后展平.
【猜想说明】(1)判断四边形BDB'E的形状,并说明理由;
【拓展延伸】(2)如图②,继续沿过点D的直线折叠该纸片,使点A的对应点A'落在射线DB'上,且折痕与边AC交于点F,然后展平.连接A'E交边AC于点G.
①若AD=2BD,判断DE与A'E的位置关系,并说明理由;
②若∠C=90°,AB=15,BC=9,当△A'FG是以A'F为腰的等腰三角形时,请直接写出A'F的长.

15.【解】(1)四边形 $BDB'E$ 是菱形. 理由如下:
由折叠的性质可得 $B'D=BD,B'E=BE,∠ B'DE=∠ BDE$.
$\because B'D// BC, \therefore ∠ B'DE=∠ BED$.
$\therefore ∠ BDE=∠ BED. \therefore BD=BE$.
$\therefore B'D=BD=BE=B'E. \therefore$ 四边形 $BDB'E$ 是菱形.
(2)①$DE⊥ A'E$. 理由如下:
由(1)知 $BD=B'D=B'E, \therefore ∠ 1=∠ 2$.
由折叠的性质得到 $A'D=AD$.
$\because AD=2BD, \therefore A'D=2B'D=2B'E$.
$\therefore A'B'=B'D=B'E, \therefore ∠ 3=∠ 4$.
$\because ∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=180°, \therefore ∠ 2+∠ 3=90°$.
$\therefore DE⊥ A'E$.
②$A'F$ 的长为 5 或 $\frac{165}{37}$.
【点拨】$\because ∠ C = 90°, AB = 15, BC = 9, \therefore AC = \sqrt{AB^2-BC^2}=12$. 当 $△ A'FG$ 是以 $A'F$ 为腰, $A'G$ 为底的等腰三角形时, 则 $FG=A'F$. 如图①, 延长 $A'F$ 交 $AB$ 于点 $H$, 设 $AC,A'D$ 的交点为 $M$.
$\because ∠ C = 90°, A'D // BC, \therefore ∠ AMD=∠ C=90°, \therefore ∠ AMA'=90°$. 由折叠的性质得 $∠ A = ∠ DA'F$. 又 $\because ∠ AFH = ∠ A'FG, \therefore ∠ AHF = ∠ AMA' = 90°$.
$\therefore ∠ C = ∠ AHF = 90°$. 又 $\because ∠ A = ∠ A, \therefore △ AFH ∽ △ ABC, \therefore \frac{AF}{AB}=\frac{HF}{BC}=\frac{AH}{AC}, \therefore HF:AH:AF=BC:AC:AB=3:4:5. \because ∠ A = ∠ DA'F, ∠ AHF = ∠ A'MF, AF=A'F, \therefore △ AHF ≌ △ A'MF(\mathrm{AAS}), \therefore HF=FM, AH=A'M$. 设 $HF=FM=3x, AH=A'M=4x, AF=A'F=5x, \therefore AM = AF + FM = 8x. \because A'D // BC, \therefore △ AMD ∽ △ ACB, \therefore \frac{AM}{AC}=\frac{AD}{AB}$, 即 $\frac{8x}{12}=\frac{AD}{15}, \therefore AD=10x, \therefore BE=BD=AB-AD=15-10x, \therefore CE=BC-BE=10x-6$.
$\because FG=A'F=5x, \therefore MG=FG-FM=2x, \therefore CG=AC-AF-FG=12-10x. \because A'D // BC, \therefore △ A'MG ∽ △ ECG$,
$\therefore \frac{A'M}{CE}=\frac{MG}{CG}, \therefore \frac{4x}{10x-6}=\frac{2x}{12-10x}$, 解得 $x=1$ ($x=0$ 已舍去), $\therefore A'F=5x=5$;
当 $△ A'FG$ 是以 $A'F$ 为腰, $FG$ 为底的等腰三角形时, 则 $A'F=A'G$, 如图②, 延长 $A'F$ 交 $AB$ 于点 $H$, 设 $AC,A'D$ 的交点为 $M$,
同理得 $HF:AH:AF=BC:AC:AB=3:4:5, HF=FM, AH=A'M$,
$AF=A'F$, 设 $HF=FM=3y, AH=A'M=4y, AF=A'F=5y, \therefore AM=AF+FM=8y$.
$\because A'D // BC, \therefore △ AMD ∽ △ ACB$,
$\therefore \frac{AM}{AC}=\frac{AD}{AB}$, 即 $\frac{8y}{12}=\frac{AD}{15}, \therefore AD=10y, \therefore BE=BD=AB-AD=15-10y, \therefore CE=BC-BE=10y-6$.
$\because △ A'FG$ 是以 $A'F$ 为腰, $FG$ 为底的等腰三角形, $A'M ⊥ AC, \therefore GM=FM=3y, \therefore FG=GM+FM=6y$,
$\therefore CG = AC - AF - FG = 12 - 11y. \because A' D // BC, \therefore △ A'MG ∽ △ ECG, \therefore \frac{A'M}{CE}=\frac{MG}{CG}, \therefore \frac{4y}{10y-6}=\frac{3y}{12-11y}$,
解得 $y=\frac{33}{37}$ ($y=0$ 已舍去), $\therefore A'F=5y=\frac{165}{37}$.
综上, $A'F$ 的长为 5 或 $\frac{165}{37}$.