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1 如图,点A,B,C在$\odot O$上,$∠ ABC=40°$,连接OA,OC.若$\odot O$的半径为3,则扇形OAC(阴影部分)的面积为 (
A.$\frac{2}{3}π$
B.$π$
C.$\frac{4}{3}π$
D.$2π$
D
)A.$\frac{2}{3}π$
B.$π$
C.$\frac{4}{3}π$
D.$2π$
答案
1. D
解析
【分析】
要计算扇形OAC的面积，需要知道扇形对应的圆心角度数和圆的半径。已知圆的半径为3，所以首先需要求圆心角∠AOC的度数。根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知同弧AC所对的圆周角∠ABC=40°，即可求出∠AOC的度数，再代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵∠ABC和∠AOC分别是弧AC所对的圆周角和圆心角
∴由圆周角定理可得：$∠ AOC=2∠ ABC$
已知$∠ ABC=40°$，因此$∠ AOC=2×40°=80°$
又已知$\odot O$的半径$r=3$，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为扇形圆心角度数），将$n=80$，$r=3$代入得：
$S_{扇形OAC}=\frac{80π×3^2}{360}=\frac{80π×9}{360}=2π$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握圆周角定理和扇形面积计算公式，先通过圆周角求出对应圆心角的度数，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
要计算扇形OAC的面积，需要知道扇形对应的圆心角度数和圆的半径。已知圆的半径为3，所以首先需要求圆心角∠AOC的度数。根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知同弧AC所对的圆周角∠ABC=40°，即可求出∠AOC的度数，再代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵∠ABC和∠AOC分别是弧AC所对的圆周角和圆心角
∴由圆周角定理可得：$∠ AOC=2∠ ABC$
已知$∠ ABC=40°$，因此$∠ AOC=2×40°=80°$
又已知$\odot O$的半径$r=3$，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为扇形圆心角度数），将$n=80$，$r=3$代入得：
$S_{扇形OAC}=\frac{80π×3^2}{360}=\frac{80π×9}{360}=2π$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握圆周角定理和扇形面积计算公式，先通过圆周角求出对应圆心角的度数，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
2 如图,在等腰直角三角形$ABC$中,$∠ A=90°$,$BC=4$.分别以点$B$,$C$为圆心,线段$BC$长的一半为半径作圆弧,交$AB$,$BC$,$AC$于点$D$,$E$,$F$,则图中涂色部分的面积为
$4-π$
.答案
2. $4-π$
解析
【分析】
本题要求不规则涂色部分的面积，采用“整体减空白”的思路求解：①先确定整体图形是等腰直角△ABC，先计算它的面积；②空白部分是两个圆心角均为45°、半径相等的扇形，两个扇形的圆心角之和为90°，可合并计算面积；③用三角形面积减去两个扇形的面积和，即可得到涂色部分的面积。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4
∴∠B=∠C=45°，$AB=AC=\frac{BC}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$
首先计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$
由题意可知，两个扇形的半径$r=BC÷2=2$，两个扇形的圆心角之和为$45°+45°=90°$
∴两个扇形的面积和$=\frac{90°}{360°}×π×r^2=\frac{1}{4}×π×2^2=π$
∴涂色部分的面积$=S_{△ ABC}-$两个扇形的面积和$=4-π$
【答案】
$4-π$
【知识点】
不规则图形面积计算、等腰直角三角形的性质、扇形面积计算
【点评】
本题考查割补法求不规则图形的面积，解题关键是将空白的两个扇形合并计算简化运算，属于不规则面积计算的基础题型，需熟练掌握“整体减空白”的面积求解思路。
【难度系数】
0.7
本题要求不规则涂色部分的面积，采用“整体减空白”的思路求解：①先确定整体图形是等腰直角△ABC，先计算它的面积；②空白部分是两个圆心角均为45°、半径相等的扇形，两个扇形的圆心角之和为90°，可合并计算面积；③用三角形面积减去两个扇形的面积和，即可得到涂色部分的面积。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4
∴∠B=∠C=45°，$AB=AC=\frac{BC}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$
首先计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$
由题意可知，两个扇形的半径$r=BC÷2=2$，两个扇形的圆心角之和为$45°+45°=90°$
∴两个扇形的面积和$=\frac{90°}{360°}×π×r^2=\frac{1}{4}×π×2^2=π$
∴涂色部分的面积$=S_{△ ABC}-$两个扇形的面积和$=4-π$
【答案】
$4-π$
【知识点】
不规则图形面积计算、等腰直角三角形的性质、扇形面积计算
【点评】
本题考查割补法求不规则图形的面积，解题关键是将空白的两个扇形合并计算简化运算，属于不规则面积计算的基础题型，需熟练掌握“整体减空白”的面积求解思路。
【难度系数】
0.7
3 如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A,B,C,D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是
$16-4π$
（结果保留π）。答案
3. $16-4π$
解析
【分析】
要求不规则阴影部分的面积，可通过割补法转化为规则图形的面积差求解。观察图形可知：正方形内部的4个空白部分都是圆心角为90°、半径为2的扇形，4个扇形的圆心角总和为360°，恰好可以拼成1个完整的圆，因此阴影部分的面积=正方形的面积减去4个扇形的总面积（即1个整圆的面积），分别计算两个规则图形的面积再作差即可。
【解析】
1. 计算正方形的面积：
已知正方形边长为4，根据正方形面积公式$S_{正方形}=边长×边长$，可得
$S_{正方形}=4×4=16$
2. 计算4个扇形的总面积：
每个扇形圆心角为90°，半径$r=2$，4个扇形总圆心角为$4×90°=360°$，即4个扇形可拼接为1个半径为2的整圆。
根据圆的面积公式$S_{圆}=π r^2$，可得
$S_{4个扇形}=S_{圆}=π×2^2=4π$
3. 计算阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{正方形}-S_{4个扇形}=16-4π$
【答案】
$16-4π$
【知识点】
割补法求面积；正方形面积计算；扇形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题目，解题核心是通过拼接将零散的扇形转化为完整的圆，把未知的不规则面积问题转化为规则图形的面积差问题，掌握这类转化思想可有效提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
要求不规则阴影部分的面积，可通过割补法转化为规则图形的面积差求解。观察图形可知：正方形内部的4个空白部分都是圆心角为90°、半径为2的扇形，4个扇形的圆心角总和为360°，恰好可以拼成1个完整的圆，因此阴影部分的面积=正方形的面积减去4个扇形的总面积（即1个整圆的面积），分别计算两个规则图形的面积再作差即可。
【解析】
1. 计算正方形的面积：
已知正方形边长为4，根据正方形面积公式$S_{正方形}=边长×边长$，可得
$S_{正方形}=4×4=16$
2. 计算4个扇形的总面积：
每个扇形圆心角为90°，半径$r=2$，4个扇形总圆心角为$4×90°=360°$，即4个扇形可拼接为1个半径为2的整圆。
根据圆的面积公式$S_{圆}=π r^2$，可得
$S_{4个扇形}=S_{圆}=π×2^2=4π$
3. 计算阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{正方形}-S_{4个扇形}=16-4π$
【答案】
$16-4π$
【知识点】
割补法求面积；正方形面积计算；扇形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题目，解题核心是通过拼接将零散的扇形转化为完整的圆，把未知的不规则面积问题转化为规则图形的面积差问题，掌握这类转化思想可有效提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
4 如图，在半径为5的扇形OAB中，∠AOB=90°，C是$\overset{\frown}{AB}$上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E。若CD=CE，则阴影部分的面积为（
A.$\frac{25π}{16}$
B.$\frac{25π}{8}$
C.$\frac{25π}{6}$
D.$\frac{25π}{4}$
B
）A.$\frac{25π}{16}$
B.$\frac{25π}{8}$
C.$\frac{25π}{6}$
D.$\frac{25π}{4}$
答案
4. B
解析
【分析】
解题时首先根据已知的垂直关系和∠AOB=90°，判断四边形ODCE的形状，结合CD=CE可得出它是正方形，进而得到OC平分∠AOB，求出∠COB的度数。再观察阴影部分的构成，利用割补法，发现阴影部分的面积可转化为圆心角为45°的扇形OBC的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
连接OC，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，∠AOB=90°，
∴四边形ODCE是矩形（三个角为直角的四边形是矩形），
又
∵CD=CE，
∴矩形ODCE是正方形（邻边相等的矩形是正方形），
∴OC平分∠AOB，即$∠ COB=\frac{1}{2}∠ AOB=45°$。
∵正方形ODCE中，$S_{△ DCE}=S_{△ OCE}$，
∴$S_{阴影}=S_{△ DCE} + (S_{扇形OBC} - S_{△ OCE})=S_{扇形OBC}$。
代入扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），
得$S_{阴影}=\frac{45π×5^2}{360}=\frac{25π}{8}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的判定，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题，解题核心是利用转化思想，通过割补将不规则阴影面积转化为规则的扇形面积，同时考查了矩形、正方形的判定和角平分线的相关性质，掌握割补法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知的垂直关系和∠AOB=90°，判断四边形ODCE的形状，结合CD=CE可得出它是正方形，进而得到OC平分∠AOB，求出∠COB的度数。再观察阴影部分的构成，利用割补法，发现阴影部分的面积可转化为圆心角为45°的扇形OBC的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
连接OC，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，∠AOB=90°，
∴四边形ODCE是矩形（三个角为直角的四边形是矩形），
又
∵CD=CE，
∴矩形ODCE是正方形（邻边相等的矩形是正方形），
∴OC平分∠AOB，即$∠ COB=\frac{1}{2}∠ AOB=45°$。
∵正方形ODCE中，$S_{△ DCE}=S_{△ OCE}$，
∴$S_{阴影}=S_{△ DCE} + (S_{扇形OBC} - S_{△ OCE})=S_{扇形OBC}$。
代入扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），
得$S_{阴影}=\frac{45π×5^2}{360}=\frac{25π}{8}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的判定，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题，解题核心是利用转化思想，通过割补将不规则阴影面积转化为规则的扇形面积，同时考查了矩形、正方形的判定和角平分线的相关性质，掌握割补法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
5 如图，C，D是以AB为直径的半圆O上的两个三等分点，$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{π}{3}$，则图中阴影部分的面积为
$\frac{π}{6}$
。答案
5. $\frac{π}{6}$
解析
【分析】
解题时首先连接OC、OD、CD，利用C、D是半圆三等分点的性质求出弧CD对应的圆心角∠COD的度数，再结合弧长公式求出半圆的半径r。接下来通过角度关系推导得CD//AB，可知△ACD与△OCD同底等高、面积相等，因此可将不规则的阴影面积转化为规则的扇形OCD的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
连接OC、OD、CD。
∵C、D是AB为直径的半圆O的三等分点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴$∠ COD=\frac{180°}{3}=60°$。
设半圆O的半径为r，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，已知$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{π}{3}$，代入得：
$\frac{π}{3}=\frac{60π r}{180}$，
解得$r=1$。
∵$∠ AOC=60°$，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，$∠ OAC=60°$，
∴$∠ OAC=∠ COD=60°$，
∴CD//AB，
∴点A和点O到CD的距离相等，即$S_{△ ACD}=S_{△ OCD}$，
因此阴影部分面积等于扇形OCD的面积：
$S_{阴影}=S_{扇形OCD}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$。
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
弧长的计算；扇形面积的计算；割补法求面积
【点评】
本题解题核心是利用转化思想，将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积，需要熟练掌握弧长公式和扇形面积公式，同时能结合平行线的性质判断两个三角形面积相等。
【难度系数】
0.6
解题时首先连接OC、OD、CD，利用C、D是半圆三等分点的性质求出弧CD对应的圆心角∠COD的度数，再结合弧长公式求出半圆的半径r。接下来通过角度关系推导得CD//AB，可知△ACD与△OCD同底等高、面积相等，因此可将不规则的阴影面积转化为规则的扇形OCD的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
连接OC、OD、CD。
∵C、D是AB为直径的半圆O的三等分点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴$∠ COD=\frac{180°}{3}=60°$。
设半圆O的半径为r，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，已知$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{π}{3}$，代入得：
$\frac{π}{3}=\frac{60π r}{180}$，
解得$r=1$。
∵$∠ AOC=60°$，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，$∠ OAC=60°$，
∴$∠ OAC=∠ COD=60°$，
∴CD//AB，
∴点A和点O到CD的距离相等，即$S_{△ ACD}=S_{△ OCD}$，
因此阴影部分面积等于扇形OCD的面积：
$S_{阴影}=S_{扇形OCD}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$。
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
弧长的计算；扇形面积的计算；割补法求面积
【点评】
本题解题核心是利用转化思想，将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积，需要熟练掌握弧长公式和扇形面积公式，同时能结合平行线的性质判断两个三角形面积相等。
【难度系数】
0.6
