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10 如图，C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点D处，且$\overset{\frown}{BD}$与$\overset{\frown}{AD}$的长度之比为1：3。若将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径与母线长的比为（
A.1：3
B.1：π
C.1：4
D.2：9
（第10题）（第11题）
D
）A.1：3
B.1：π
C.1：4
D.2：9
（第10题）（第11题）
答案
10. D
解析
【分析】
解题时先从折叠性质入手，折叠前后对应边相等，可得OA=AD，结合扇形半径相等可判断△OAD是等边三角形，得到∠AOD的度数；再根据弧长比等于对应圆心角的比，求出∠BOD的度数，进而得到扇形的总圆心角；最后利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长的关系，建立等式即可求出底面半径和母线长的比值。
【解析】
解：连接OD，
∵将△OAC沿AC折叠，点O落在$\overset{\frown}{AB}$上的D处，
∴$OA=AD$，
又
∵OA、OD都是扇形的半径，即$OA=OD$，
∴$OA=OD=AD$，$△ OAD$为等边三角形，
∴$∠ AOD=60°$，
∵$\overset{\frown}{BD}$与$\overset{\frown}{AD}$的长度比为$1:3$，同圆中弧长比等于对应圆心角的比，
∴$∠ BOD:∠ AOD=1:3$，
∴$∠ BOD=\frac{1}{3}×60°=20°$，
∴扇形$OAB$的圆心角$∠ AOB=∠ AOD+∠ BOD=60°+20°=80°$，
设扇形母线长为$l$，圆锥底面圆半径为$r$，
圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，即$\frac{nπ l}{180}=2π r$，代入$n=80$得：
$\frac{80π l}{180}=2π r$，
约去$π$化简得：$\frac{80l}{180}=2r$，
整理得$r:l=80:360=2:9$。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质，扇形弧长计算，圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题是几何综合题，结合了折叠、等边三角形判定、弧长与圆心角关系、圆锥展开图相关性质，解题关键是正确求出扇形圆心角，熟记圆锥底面周长等于侧面展开图弧长的等量关系。
【难度系数】
0.6
解题时先从折叠性质入手，折叠前后对应边相等，可得OA=AD，结合扇形半径相等可判断△OAD是等边三角形，得到∠AOD的度数；再根据弧长比等于对应圆心角的比，求出∠BOD的度数，进而得到扇形的总圆心角；最后利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长的关系，建立等式即可求出底面半径和母线长的比值。
【解析】
解：连接OD，
∵将△OAC沿AC折叠，点O落在$\overset{\frown}{AB}$上的D处，
∴$OA=AD$，
又
∵OA、OD都是扇形的半径，即$OA=OD$，
∴$OA=OD=AD$，$△ OAD$为等边三角形，
∴$∠ AOD=60°$，
∵$\overset{\frown}{BD}$与$\overset{\frown}{AD}$的长度比为$1:3$，同圆中弧长比等于对应圆心角的比，
∴$∠ BOD:∠ AOD=1:3$，
∴$∠ BOD=\frac{1}{3}×60°=20°$，
∴扇形$OAB$的圆心角$∠ AOB=∠ AOD+∠ BOD=60°+20°=80°$，
设扇形母线长为$l$，圆锥底面圆半径为$r$，
圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，即$\frac{nπ l}{180}=2π r$，代入$n=80$得：
$\frac{80π l}{180}=2π r$，
约去$π$化简得：$\frac{80l}{180}=2r$，
整理得$r:l=80:360=2:9$。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质，扇形弧长计算，圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题是几何综合题，结合了折叠、等边三角形判定、弧长与圆心角关系、圆锥展开图相关性质，解题关键是正确求出扇形圆心角，熟记圆锥底面周长等于侧面展开图弧长的等量关系。
【难度系数】
0.6
11 如图,小珍同学用半径为8 cm、圆心角为100°的扇形纸片,制作一个底面圆半径为2 cm的圆锥侧面,则圆锥上粘贴部分的面积是$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$ cm².
答案
11. $\frac{16π}{9}$
解析
【分析】
要计算粘贴部分的面积，首先明确粘贴部分是原扇形中超出围成圆锥所需扇形的部分。解题思路为：1.先根据圆锥底面半径算出底面周长，该周长等于围成圆锥所需扇形的弧长；2.利用扇形弧长公式反算出围成圆锥需要的扇形的圆心角；3.求出原扇形圆心角与所需圆心角的差值，该差值对应的扇形面积就是粘贴部分的面积；4.利用扇形面积公式计算对应面积即可。
【解析】
步骤1：计算圆锥底面周长
圆锥底面圆半径$r=2\ \mathrm{cm}$，因此底面周长$C=2πr=2π×2=4π\ \mathrm{cm}$。
步骤2：计算围成圆锥所需扇形的圆心角
设围成圆锥侧面所需扇形的圆心角为$n°$，扇形半径$R=8\ \mathrm{cm}$，根据扇形弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$，且扇形弧长等于圆锥底面周长，可得：
$\frac{nπ×8}{180}=4π$
两边同时消去$π$，解得$n=90$。
步骤3：计算粘贴部分对应的圆心角
原扇形圆心角为$100°$，因此粘贴部分对应的圆心角为$100°-90°=10°$。
步骤4：计算粘贴部分的面积
根据扇形面积公式$S=\frac{θπR^2}{360}$（$θ$为圆心角度数），代入$θ=10$，$R=8$得：
$S=\frac{10×π×8^2}{360}=\frac{640π}{360}=\frac{16π}{9}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$\frac{16π}{9}$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质，扇形弧长计算，扇形面积计算
【点评】
本题核心是利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长这一关系，找到多余部分对应的圆心角，进而求解面积，需要熟练掌握扇形和圆锥的相关计算公式，理清两者的对应关系。
【难度系数】
0.7
要计算粘贴部分的面积，首先明确粘贴部分是原扇形中超出围成圆锥所需扇形的部分。解题思路为：1.先根据圆锥底面半径算出底面周长，该周长等于围成圆锥所需扇形的弧长；2.利用扇形弧长公式反算出围成圆锥需要的扇形的圆心角；3.求出原扇形圆心角与所需圆心角的差值，该差值对应的扇形面积就是粘贴部分的面积；4.利用扇形面积公式计算对应面积即可。
【解析】
步骤1：计算圆锥底面周长
圆锥底面圆半径$r=2\ \mathrm{cm}$，因此底面周长$C=2πr=2π×2=4π\ \mathrm{cm}$。
步骤2：计算围成圆锥所需扇形的圆心角
设围成圆锥侧面所需扇形的圆心角为$n°$，扇形半径$R=8\ \mathrm{cm}$，根据扇形弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$，且扇形弧长等于圆锥底面周长，可得：
$\frac{nπ×8}{180}=4π$
两边同时消去$π$，解得$n=90$。
步骤3：计算粘贴部分对应的圆心角
原扇形圆心角为$100°$，因此粘贴部分对应的圆心角为$100°-90°=10°$。
步骤4：计算粘贴部分的面积
根据扇形面积公式$S=\frac{θπR^2}{360}$（$θ$为圆心角度数），代入$θ=10$，$R=8$得：
$S=\frac{10×π×8^2}{360}=\frac{640π}{360}=\frac{16π}{9}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$\frac{16π}{9}$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质，扇形弧长计算，扇形面积计算
【点评】
本题核心是利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长这一关系，找到多余部分对应的圆心角，进而求解面积，需要熟练掌握扇形和圆锥的相关计算公式，理清两者的对应关系。
【难度系数】
0.7
12 如图,一个圆锥的高 AO 为 $3\sqrt{3}$ cm,侧面展开图是一个半圆. 求:
（1）圆锥的母线长与底面圆的半径的比值；
（2）$∠ BAC$ 的度数；
（3）圆锥的侧面积.
（第12题）
（1）圆锥的母线长与底面圆的半径的比值；
（2）$∠ BAC$ 的度数；
（3）圆锥的侧面积.
（第12题）答案
12. 设圆锥的高为 $h$ cm,底面圆的半径为 $r$ cm,母线 $AC$ 长为 $l$ cm. (1) 由题意,得$\frac{180π l}{180}=2π r,\therefore \frac{l}{r}=2$,即圆锥的母线长与底面圆的半径的比值为 2
(2) $\because \frac{l}{r}=2,\therefore$ 易得圆锥的高与母线的夹角为 $30°$. $\because AB=AC,AO⊥ BC,\therefore ∠ BAC=2×30°=60°$
(3) 由题意,可知 $l^2=h^2+r^2$. 又$\because \frac{l}{r}=2,h=3\sqrt{3}$,
$\therefore (2r)^2=(3\sqrt{3})^2+r^2$,解得 $r=3$(负值舍去). $\therefore l=2r=6$.
$\therefore$ 圆锥的侧面积为 $\frac{180π l^2}{360}=18π(\mathrm{cm}^2)$
(2) $\because \frac{l}{r}=2,\therefore$ 易得圆锥的高与母线的夹角为 $30°$. $\because AB=AC,AO⊥ BC,\therefore ∠ BAC=2×30°=60°$
(3) 由题意,可知 $l^2=h^2+r^2$. 又$\because \frac{l}{r}=2,h=3\sqrt{3}$,
$\therefore (2r)^2=(3\sqrt{3})^2+r^2$,解得 $r=3$(负值舍去). $\therefore l=2r=6$.
$\therefore$ 圆锥的侧面积为 $\frac{180π l^2}{360}=18π(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
本题可结合圆锥与侧面展开图的对应关系逐步求解：
1. 求解第(1)问时，首先明确圆锥侧面展开图（半圆）的弧长等于圆锥底面圆的周长，据此列等式即可推导出母线长和底面半径的比值；
2. 求解第(2)问时，结合第(1)问得到的母线与底面半径的数量关系，在直角三角形AOC中利用直角三角形边角关系可求出∠OAC的度数，再结合等腰三角形“三线合一”的性质即可求出∠BAC的度数；
3. 求解第(3)问时，利用圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，结合勾股定理先求出底面半径和母线长，再代入扇形面积公式计算侧面积即可。
【解析】
设圆锥的高为$h$ cm，底面圆的半径为$r$ cm，母线$AC$长为$l$ cm。
(1) 圆锥侧面展开图是半圆，其弧长等于底面圆的周长，因此有：
$\frac{180π l}{180}=2π r$
化简得$l=2r$，即$\frac{l}{r}=2$。
(2) 由$\frac{l}{r}=2$，可知在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，斜边$AC=l=2r=2OC$，因此$∠ OAC=30°$。
又因为$AB=AC$，$AO⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$AO$平分$∠ BAC$，所以$∠ BAC=2∠ OAC=2×30°=60°$。
(3) 圆锥的高、底面半径、母线满足勾股定理：$l^2=h^2+r^2$，已知$h=3\sqrt{3}$，且$l=2r$，代入得：
$(2r)^2=(3\sqrt{3})^2+r^2$
展开计算：$4r^2=27+r^2$，即$3r^2=27$，解得$r=3$（半径为正数，舍去负值），因此$l=2r=6$。
圆锥侧面积即为侧面展开半圆的面积：$S_{\mathrm{侧}}=\frac{180π l^2}{360}=\frac{1}{2}π×6^2=18π(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) 比值为$\boxed{2}$；
(2) $∠ BAC$的度数为$\boxed{60°}$；
(3) 圆锥的侧面积为$\boxed{18π\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
圆锥的展开图性质；直角三角形的性质；扇形面积计算
【点评】
本题是圆锥相关计算的典型题型，解题核心是抓住“圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长”这一核心等量关系，结合几何图形的性质即可逐步求解，掌握这类规律能快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.7
本题可结合圆锥与侧面展开图的对应关系逐步求解：
1. 求解第(1)问时，首先明确圆锥侧面展开图（半圆）的弧长等于圆锥底面圆的周长，据此列等式即可推导出母线长和底面半径的比值；
2. 求解第(2)问时，结合第(1)问得到的母线与底面半径的数量关系，在直角三角形AOC中利用直角三角形边角关系可求出∠OAC的度数，再结合等腰三角形“三线合一”的性质即可求出∠BAC的度数；
3. 求解第(3)问时，利用圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，结合勾股定理先求出底面半径和母线长，再代入扇形面积公式计算侧面积即可。
【解析】
设圆锥的高为$h$ cm，底面圆的半径为$r$ cm，母线$AC$长为$l$ cm。
(1) 圆锥侧面展开图是半圆，其弧长等于底面圆的周长，因此有：
$\frac{180π l}{180}=2π r$
化简得$l=2r$，即$\frac{l}{r}=2$。
(2) 由$\frac{l}{r}=2$，可知在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，斜边$AC=l=2r=2OC$，因此$∠ OAC=30°$。
又因为$AB=AC$，$AO⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$AO$平分$∠ BAC$，所以$∠ BAC=2∠ OAC=2×30°=60°$。
(3) 圆锥的高、底面半径、母线满足勾股定理：$l^2=h^2+r^2$，已知$h=3\sqrt{3}$，且$l=2r$，代入得：
$(2r)^2=(3\sqrt{3})^2+r^2$
展开计算：$4r^2=27+r^2$，即$3r^2=27$，解得$r=3$（半径为正数，舍去负值），因此$l=2r=6$。
圆锥侧面积即为侧面展开半圆的面积：$S_{\mathrm{侧}}=\frac{180π l^2}{360}=\frac{1}{2}π×6^2=18π(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) 比值为$\boxed{2}$；
(2) $∠ BAC$的度数为$\boxed{60°}$；
(3) 圆锥的侧面积为$\boxed{18π\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
圆锥的展开图性质；直角三角形的性质；扇形面积计算
【点评】
本题是圆锥相关计算的典型题型，解题核心是抓住“圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长”这一核心等量关系，结合几何图形的性质即可逐步求解，掌握这类规律能快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.7
13 如图①,某种冰激凌的外包装可以视为圆锥,它的底面圆直径 ED 与母线 AD 的长之比为 1:2.制作这种外包装需要用如图②所示的等腰三角形材料,其中 AB=AC, AD⊥BC.将扇形 AEF 围成圆锥的侧面时,AE,AF 恰好重合.
(1) 求这种加工材料的顶角∠BAC 的度数;
(2) 若圆锥底面圆的直径 ED 为 5 cm,求加工材料剩余部分(图②中涂色部分)的面积(结果保留 π).
(1) 求这种加工材料的顶角∠BAC 的度数;
(2) 若圆锥底面圆的直径 ED 为 5 cm,求加工材料剩余部分(图②中涂色部分)的面积(结果保留 π).
答案
13. (1) 设$∠ BAC=α °$. 根据题意,得$\overset{\frown}{EF}$的长就是圆锥底面圆的周长,$\therefore \frac{α}{180}× π × AD=ED× π$. 又$\because ED:AD=1:2$,
$\therefore AD=2ED$. $\therefore α=90$,即$∠ BAC=90°$
(2) $\because$ 圆锥底面圆的直径 $ED$ 为 5 cm,$\therefore AD=2ED=10$ cm. $\because ∠ BAC=90°,AB=AC,\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形. $\because AD⊥ BC,\therefore$ 易得 $BC=2AD=20$ cm. $\therefore S_{\mathrm{涂色部分}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{1}{2}BC· AD-\frac{90π × AD^2}{360}=\frac{1}{2}× 20× 10-\frac{90π × 10^2}{360}=(100-25π)\mathrm{cm}^2$
$\therefore AD=2ED$. $\therefore α=90$,即$∠ BAC=90°$
(2) $\because$ 圆锥底面圆的直径 $ED$ 为 5 cm,$\therefore AD=2ED=10$ cm. $\because ∠ BAC=90°,AB=AC,\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形. $\because AD⊥ BC,\therefore$ 易得 $BC=2AD=20$ cm. $\therefore S_{\mathrm{涂色部分}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{1}{2}BC· AD-\frac{90π × AD^2}{360}=\frac{1}{2}× 20× 10-\frac{90π × 10^2}{360}=(100-25π)\mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
(1) 要求顶角$∠ BAC$的度数，首先明确扇形$AEF$是圆锥的侧面展开图，因此$\overset{\frown}{EF}$的长度等于圆锥底面圆的周长。我们可以设$∠ BAC=α°$，结合弧长公式、已知的$ED$与$AD$的比例关系列方程求解即可。
(2) 涂色部分的面积等于等腰三角形$ABC$的面积减去扇形$AEF$的面积。先根据$ED$的长度求出$AD$的长，再结合$∠ BAC=90°$的结论，判断$△ ABC$是等腰直角三角形，求出$BC$的长度，分别计算三角形和扇形的面积，作差就能得到剩余部分的面积。
【解析】
(1) 设$∠ BAC=α°$。
$\because$ 扇形$AEF$围成圆锥侧面时，$\overset{\frown}{EF}$的长等于圆锥底面圆的周长，
$\therefore \frac{α}{180}× π × AD=π × ED$。
又$\because ED:AD=1:2$，即$AD=2ED$，代入上式得：
$\frac{α}{180}× π × 2ED=π × ED$，
约去两边的$π· ED$，解得$α=90$，即$∠ BAC=90°$。
(2) $\because$ 圆锥底面圆的直径$ED$为$5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AD=2ED=2×5=10\ \mathrm{cm}$。
$\because AB=AC$，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，
$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形，且$BC=2AD=2×10=20\ \mathrm{cm}$。
涂色部分面积为三角形$ABC$面积减去扇形$AEF$的面积：
$S_{\mathrm{涂色}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}$
$=\frac{1}{2}× BC· AD - \frac{90π × AD^2}{360}$
$=\frac{1}{2}×20×10 - \frac{90π × 10^2}{360}$
$=100-25π\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $∠ BAC=90°$；(2) $\boldsymbol{(100-25π)\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；弧长计算公式；扇形面积计算
【点评】
本题是圆锥展开图的典型应用题型，核心突破口是理解圆锥侧面展开图的弧长与底面圆周长相等的等量关系，结合等腰三角形性质、面积公式即可求解，掌握该等量关系是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 要求顶角$∠ BAC$的度数，首先明确扇形$AEF$是圆锥的侧面展开图，因此$\overset{\frown}{EF}$的长度等于圆锥底面圆的周长。我们可以设$∠ BAC=α°$，结合弧长公式、已知的$ED$与$AD$的比例关系列方程求解即可。
(2) 涂色部分的面积等于等腰三角形$ABC$的面积减去扇形$AEF$的面积。先根据$ED$的长度求出$AD$的长，再结合$∠ BAC=90°$的结论，判断$△ ABC$是等腰直角三角形，求出$BC$的长度，分别计算三角形和扇形的面积，作差就能得到剩余部分的面积。
【解析】
(1) 设$∠ BAC=α°$。
$\because$ 扇形$AEF$围成圆锥侧面时，$\overset{\frown}{EF}$的长等于圆锥底面圆的周长，
$\therefore \frac{α}{180}× π × AD=π × ED$。
又$\because ED:AD=1:2$，即$AD=2ED$，代入上式得：
$\frac{α}{180}× π × 2ED=π × ED$，
约去两边的$π· ED$，解得$α=90$，即$∠ BAC=90°$。
(2) $\because$ 圆锥底面圆的直径$ED$为$5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AD=2ED=2×5=10\ \mathrm{cm}$。
$\because AB=AC$，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，
$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形，且$BC=2AD=2×10=20\ \mathrm{cm}$。
涂色部分面积为三角形$ABC$面积减去扇形$AEF$的面积：
$S_{\mathrm{涂色}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}$
$=\frac{1}{2}× BC· AD - \frac{90π × AD^2}{360}$
$=\frac{1}{2}×20×10 - \frac{90π × 10^2}{360}$
$=100-25π\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $∠ BAC=90°$；(2) $\boldsymbol{(100-25π)\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；弧长计算公式；扇形面积计算
【点评】
本题是圆锥展开图的典型应用题型，核心突破口是理解圆锥侧面展开图的弧长与底面圆周长相等的等量关系，结合等腰三角形性质、面积公式即可求解，掌握该等量关系是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
