登录
1 [2025云南]若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为$90°$,母线长为$40\ \mathrm{cm}$,则该圆锥的底面圆的半径为（
A.$9\ \mathrm{cm}$
B.$10\ \mathrm{cm}$
C.$11\ \mathrm{cm}$
D.$12\ \mathrm{cm}$
B
）A.$9\ \mathrm{cm}$
B.$10\ \mathrm{cm}$
C.$11\ \mathrm{cm}$
D.$12\ \mathrm{cm}$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题，需明确圆锥侧面展开图与圆锥本身的核心等量关系：①圆锥侧面展开得到的扇形的半径等于圆锥的母线长；②该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时先利用弧长公式算出扇形的弧长，再结合圆的周长公式，即可求出圆锥底面圆的半径。
【解析】
设该圆锥底面圆的半径为$ r\ \mathrm{cm} $。
已知圆锥侧面展开图是圆心角为$ 90° $、半径（即母线长）为$ 40\ \mathrm{cm} $的扇形，根据弧长公式$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中$ n $为圆心角度数，$ R $为扇形半径），可得扇形弧长为：
$ l=\frac{90π×40}{180}=20π\ \mathrm{cm} $
因为扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，底面圆周长公式为$ C=2π r $，因此：
$ 2π r=20π $
两边同时除以$ π $，解得$ r=10 $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图的性质、弧长计算公式、圆的周长公式
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查圆锥侧面展开图与底面圆的对应等量关系，解题的关键是牢记“扇形弧长=底面圆周长”这一核心等量，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需明确圆锥侧面展开图与圆锥本身的核心等量关系：①圆锥侧面展开得到的扇形的半径等于圆锥的母线长；②该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时先利用弧长公式算出扇形的弧长，再结合圆的周长公式，即可求出圆锥底面圆的半径。
【解析】
设该圆锥底面圆的半径为$ r\ \mathrm{cm} $。
已知圆锥侧面展开图是圆心角为$ 90° $、半径（即母线长）为$ 40\ \mathrm{cm} $的扇形，根据弧长公式$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中$ n $为圆心角度数，$ R $为扇形半径），可得扇形弧长为：
$ l=\frac{90π×40}{180}=20π\ \mathrm{cm} $
因为扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，底面圆周长公式为$ C=2π r $，因此：
$ 2π r=20π $
两边同时除以$ π $，解得$ r=10 $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图的性质、弧长计算公式、圆的周长公式
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查圆锥侧面展开图与底面圆的对应等量关系，解题的关键是牢记“扇形弧长=底面圆周长”这一核心等量，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2 如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上.若每个小方格的边长都为2 cm，则这个圆锥的底面圆的半径是 （
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$ cm
B.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$ cm
C.$\sqrt{2}$ cm
D.$3\sqrt{2}$ cm
D
）A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$ cm
B.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$ cm
C.$\sqrt{2}$ cm
D.$3\sqrt{2}$ cm
答案
2. D
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要利用圆锥侧面展开图的核心性质：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题思路如下：第一步，结合格点用勾股定理求出扇形的半径OA的长度；第二步，观察图形确定扇形对应的圆心角（图中扇形为优弧AB对应的扇形，圆心角为270°）；第三步，用弧长公式计算扇形的弧长；第四步，根据弧长等于底面圆周长列等式，求解底面圆半径。
【解析】
首先计算扇形半径OA的长度：
每个小方格边长为2 cm，观察格点可知，点A相对于点O，水平方向差2格，竖直方向差2格，因此水平距离为$2×2=4\ \mathrm{cm}$，竖直距离为$2×2=4\ \mathrm{cm}$。
由勾股定理得：$OA = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，即扇形半径$R=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
观察图形可得，扇形对应的圆心角为优角$∠ AOB$，大小为$360° - 90° = 270°$。
根据弧长公式，扇形弧长$l = \frac{nπ R}{180} = \frac{270 × π × 4\sqrt{2}}{180} = 6\sqrt{2}π\ \mathrm{cm}$。
因为圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，设底面圆半径为r，则：
$2π r = 6\sqrt{2}π$
两边同时除以$π$得：$2r = 6\sqrt{2}$，解得$r=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理
【点评】
本题易错点是误将劣弧对应的圆心角当作扇形的圆心角，解题时需注意结合图形判断扇形对应的弧是优弧还是劣弧，牢记圆锥侧面展开图弧长与底面周长相等的核心关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们需要利用圆锥侧面展开图的核心性质：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题思路如下：第一步，结合格点用勾股定理求出扇形的半径OA的长度；第二步，观察图形确定扇形对应的圆心角（图中扇形为优弧AB对应的扇形，圆心角为270°）；第三步，用弧长公式计算扇形的弧长；第四步，根据弧长等于底面圆周长列等式，求解底面圆半径。
【解析】
首先计算扇形半径OA的长度：
每个小方格边长为2 cm，观察格点可知，点A相对于点O，水平方向差2格，竖直方向差2格，因此水平距离为$2×2=4\ \mathrm{cm}$，竖直距离为$2×2=4\ \mathrm{cm}$。
由勾股定理得：$OA = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，即扇形半径$R=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
观察图形可得，扇形对应的圆心角为优角$∠ AOB$，大小为$360° - 90° = 270°$。
根据弧长公式，扇形弧长$l = \frac{nπ R}{180} = \frac{270 × π × 4\sqrt{2}}{180} = 6\sqrt{2}π\ \mathrm{cm}$。
因为圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，设底面圆半径为r，则：
$2π r = 6\sqrt{2}π$
两边同时除以$π$得：$2r = 6\sqrt{2}$，解得$r=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理
【点评】
本题易错点是误将劣弧对应的圆心角当作扇形的圆心角，解题时需注意结合图形判断扇形对应的弧是优弧还是劣弧，牢记圆锥侧面展开图弧长与底面周长相等的核心关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
3 某同学发现家里的草帽可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为 50 cm，高度为 30 cm，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长为
$80π$
cm.答案
3. $80π$
解析
【分析】
要计算圆锥侧面展开图的弧长，首先需明确：圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长。因此解题分为两步：第一步，利用圆锥的母线长、高、底面半径构成直角三角形的特点，结合勾股定理求出底面半径；第二步，代入圆的周长公式计算底面周长，即可得到侧面展开图的弧长。
【解析】
设该圆锥的底面半径为$ r \, \mathrm{cm} $，已知圆锥母线长$ l=50 \, \mathrm{cm} $，高$ h=30 \, \mathrm{cm} $。
根据圆锥的性质，母线、高、底面半径满足勾股定理：
$ r^2 + h^2 = l^2 $
代入数值可得：
$ r^2 + 30^2 = 50^2 $
计算得$ r^2 = 2500 - 900 = 1600 $，因为半径为正数，所以$ r = 40 \, \mathrm{cm} $。
又因为圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，所以弧长$ L = 2π r = 2π × 40 = 80π \, \mathrm{cm} $。
【答案】
$ 80π $
【知识点】
圆锥侧面展开图特征；勾股定理；圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥计算的基础题型，解题核心是掌握圆锥侧面展开图与底面圆的对应等量关系，结合勾股定理求解即可，难度较低，属于高频基础考点。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥侧面展开图的弧长，首先需明确：圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长。因此解题分为两步：第一步，利用圆锥的母线长、高、底面半径构成直角三角形的特点，结合勾股定理求出底面半径；第二步，代入圆的周长公式计算底面周长，即可得到侧面展开图的弧长。
【解析】
设该圆锥的底面半径为$ r \, \mathrm{cm} $，已知圆锥母线长$ l=50 \, \mathrm{cm} $，高$ h=30 \, \mathrm{cm} $。
根据圆锥的性质，母线、高、底面半径满足勾股定理：
$ r^2 + h^2 = l^2 $
代入数值可得：
$ r^2 + 30^2 = 50^2 $
计算得$ r^2 = 2500 - 900 = 1600 $，因为半径为正数，所以$ r = 40 \, \mathrm{cm} $。
又因为圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，所以弧长$ L = 2π r = 2π × 40 = 80π \, \mathrm{cm} $。
【答案】
$ 80π $
【知识点】
圆锥侧面展开图特征；勾股定理；圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥计算的基础题型，解题核心是掌握圆锥侧面展开图与底面圆的对应等量关系，结合勾股定理求解即可，难度较低，属于高频基础考点。
【难度系数】
0.8
4 如图，在一张正方形纸片上剪下一个半径为 $ r $ cm 的圆和一个半径为 $ R $ cm 的扇形，使之恰好围成如图所示的圆锥，试确定 $ R $ 与 $ r $ 之间的关系。
（第4题）
（第4题）答案
4. 由题意,得$\frac{90π R}{180}=2π r,\therefore R=4r$
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住“扇形和圆恰好围成圆锥”这一条件，思考圆锥侧面展开图与底面圆的对应关系：圆锥侧面展开图（即本题的扇形）的弧长等于圆锥底面圆（即本题剪下的小圆）的周长。首先观察图形可知，正方形中的扇形圆心角为90°，接下来分别根据弧长公式和圆的周长公式表示出两个量，建立等式化简即可得到R与r的关系。
【解析】
解：由图形可知，剪下的扇形圆心角为90°，
∵扇形和圆恰好围成圆锥，
∴扇形的弧长 = 圆锥底面圆的周长，
根据弧长公式和圆的周长公式可得：
$\frac{90π R}{180}=2π r$，
化简等式：
左边约分得$\frac{π R}{2}=2π r$，
两边同时除以$π$得$\frac{R}{2}=2r$，
解得$R=4r$。
【答案】
$R=4r$
【知识点】
圆锥展开图性质，弧长计算，圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥展开相关的基础题，解题的关键是明确扇形弧长与底面圆周长的等量关系，熟练掌握对应公式即可快速求解，这类问题是几何中常见的基础考点。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是抓住“扇形和圆恰好围成圆锥”这一条件，思考圆锥侧面展开图与底面圆的对应关系：圆锥侧面展开图（即本题的扇形）的弧长等于圆锥底面圆（即本题剪下的小圆）的周长。首先观察图形可知，正方形中的扇形圆心角为90°，接下来分别根据弧长公式和圆的周长公式表示出两个量，建立等式化简即可得到R与r的关系。
【解析】
解：由图形可知，剪下的扇形圆心角为90°，
∵扇形和圆恰好围成圆锥，
∴扇形的弧长 = 圆锥底面圆的周长，
根据弧长公式和圆的周长公式可得：
$\frac{90π R}{180}=2π r$，
化简等式：
左边约分得$\frac{π R}{2}=2π r$，
两边同时除以$π$得$\frac{R}{2}=2r$，
解得$R=4r$。
【答案】
$R=4r$
【知识点】
圆锥展开图性质，弧长计算，圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥展开相关的基础题，解题的关键是明确扇形弧长与底面圆周长的等量关系，熟练掌握对应公式即可快速求解，这类问题是几何中常见的基础考点。
【难度系数】
0.7
5 [2024云南]某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥形工艺品.若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（
A.$700π$平方厘米
B.$900π$平方厘米
C.$1200π$平方厘米
D.$1600π$平方厘米
C
）A.$700π$平方厘米
B.$900π$平方厘米
C.$1200π$平方厘米
D.$1600π$平方厘米
答案
5. C
解析
【分析】
解决这道题的核心是牢记圆锥侧面积的计算公式，首先明确圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径对应圆锥的母线长，扇形的弧长对应圆锥底面圆的周长，由此推导得到圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（$r$为底面圆半径，$l$为母线长）。解题时先从题干中提取已知的底面半径和母线长的数值，代入公式计算即可得到结果，再对应选项选择答案。
【解析】
圆锥的侧面积计算公式为：$S=π rl$，其中$r$是底面圆的半径，$l$是圆锥的母线长。
由题干可知，$r=30\mathrm{cm}$，$l=40\mathrm{cm}$，将数值代入公式得：
$S=π×30×40=1200π(\mathrm{平方厘米})$
因此本题选C。
【答案】C
【知识点】圆锥侧面积计算，圆锥展开图性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查圆锥侧面积公式的直接应用，解题的关键是准确识别公式对应的参数，代入数值计算即可，是对基础公式掌握程度的常规考查。
【难度系数】
0.9
解决这道题的核心是牢记圆锥侧面积的计算公式，首先明确圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径对应圆锥的母线长，扇形的弧长对应圆锥底面圆的周长，由此推导得到圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（$r$为底面圆半径，$l$为母线长）。解题时先从题干中提取已知的底面半径和母线长的数值，代入公式计算即可得到结果，再对应选项选择答案。
【解析】
圆锥的侧面积计算公式为：$S=π rl$，其中$r$是底面圆的半径，$l$是圆锥的母线长。
由题干可知，$r=30\mathrm{cm}$，$l=40\mathrm{cm}$，将数值代入公式得：
$S=π×30×40=1200π(\mathrm{平方厘米})$
因此本题选C。
【答案】C
【知识点】圆锥侧面积计算，圆锥展开图性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查圆锥侧面积公式的直接应用，解题的关键是准确识别公式对应的参数，代入数值计算即可，是对基础公式掌握程度的常规考查。
【难度系数】
0.9
6 [2025龙东地区]如果圆锥的底面圆的半径为3，高为4，那么圆锥侧面展开图的面积为
$15π$
。答案
6. $15π$
解析
【分析】
要求圆锥侧面展开图的面积，也就是求圆锥的侧面积。首先回忆圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$，其中$r$是底面半径，$l$是圆锥母线长。题目已给出底面半径$r=3$，缺少母线长$l$的数值。根据圆锥的结构特征，母线$l$、底面半径$r$、圆锥的高$h$恰好构成直角三角形，可通过勾股定理求出母线长，再代入侧面积公式即可得到结果。
【解析】
解：已知圆锥底面半径$r=3$，高$h=4$。
因为圆锥的母线长$l$、底面半径$r$、高$h$构成直角三角形，由勾股定理可得：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
圆锥侧面展开图的面积等于圆锥侧面积，代入侧面积公式$S_{侧}=π rl$得：
$S_{侧}=π×3×5=15π$
【答案】
$15π$
【知识点】
圆锥侧面积计算；勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础题型，主要考查圆锥侧面积的相关计算，解题核心是掌握圆锥的结构特征，熟记侧面积公式，结合勾股定理求出母线长即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要求圆锥侧面展开图的面积，也就是求圆锥的侧面积。首先回忆圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$，其中$r$是底面半径，$l$是圆锥母线长。题目已给出底面半径$r=3$，缺少母线长$l$的数值。根据圆锥的结构特征，母线$l$、底面半径$r$、圆锥的高$h$恰好构成直角三角形，可通过勾股定理求出母线长，再代入侧面积公式即可得到结果。
【解析】
解：已知圆锥底面半径$r=3$，高$h=4$。
因为圆锥的母线长$l$、底面半径$r$、高$h$构成直角三角形，由勾股定理可得：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
圆锥侧面展开图的面积等于圆锥侧面积，代入侧面积公式$S_{侧}=π rl$得：
$S_{侧}=π×3×5=15π$
【答案】
$15π$
【知识点】
圆锥侧面积计算；勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础题型，主要考查圆锥侧面积的相关计算，解题核心是掌握圆锥的结构特征，熟记侧面积公式，结合勾股定理求出母线长即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
7 教材变式题 [2024龙东地区]若圆锥的底面圆的半径为3，侧面积为$36π$，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是
$90°$
。答案
7. $90°$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确圆锥和其侧面展开图（扇形）的对应关系：扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题思路分两步：第一步利用圆锥侧面积公式求出母线长，第二步利用扇形弧长和底面周长相等的关系，计算侧面展开图的圆心角。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l $，侧面展开图的圆心角为$ n° $。
1. 求母线长$ l $：
圆锥侧面积公式为$ S_{\mathrm{侧}}=π r l $，已知底面半径$ r=3 $，侧面积$ S_{\mathrm{侧}}=36π $，代入得：
$ π × 3 × l = 36π $
两边同时除以$ π $，解得$ l=12 $。
2. 求圆心角$ n $：
圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，底面周长为$ 2π r=2π × 3=6π $，扇形弧长公式为$ \frac{nπ l}{180} $，因此：
$ \frac{nπ × 12}{180}=6π $
两边同时除以$ π $，化简得：$ \frac{12n}{180}=6 $
解得$ n=90 $。
【答案】
$ 90° $
【知识点】
圆锥侧面积公式；圆锥侧面展开图性质；扇形弧长公式
【点评】
本题属于基础类题型，解题的核心是掌握圆锥与侧面展开扇形的各量对应关系，熟记相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.75
要解决这个问题，首先需要明确圆锥和其侧面展开图（扇形）的对应关系：扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题思路分两步：第一步利用圆锥侧面积公式求出母线长，第二步利用扇形弧长和底面周长相等的关系，计算侧面展开图的圆心角。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l $，侧面展开图的圆心角为$ n° $。
1. 求母线长$ l $：
圆锥侧面积公式为$ S_{\mathrm{侧}}=π r l $，已知底面半径$ r=3 $，侧面积$ S_{\mathrm{侧}}=36π $，代入得：
$ π × 3 × l = 36π $
两边同时除以$ π $，解得$ l=12 $。
2. 求圆心角$ n $：
圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，底面周长为$ 2π r=2π × 3=6π $，扇形弧长公式为$ \frac{nπ l}{180} $，因此：
$ \frac{nπ × 12}{180}=6π $
两边同时除以$ π $，化简得：$ \frac{12n}{180}=6 $
解得$ n=90 $。
【答案】
$ 90° $
【知识点】
圆锥侧面积公式；圆锥侧面展开图性质；扇形弧长公式
【点评】
本题属于基础类题型，解题的核心是掌握圆锥与侧面展开扇形的各量对应关系，熟记相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.75
8 如图是一款近似圆锥形的帐篷，其侧面展开后是一个半径为3 m、圆心角为$120°$的扇形，制作这顶帐篷（侧面与底面）需要多少平方米的材料（结果保留$π$）？
答案
8. 由题意,帐篷的侧面需要的材料为$\frac{120}{360}×3^2×π=3π(\mathrm{m}^2)$. 设帐篷的底面圆的半径为 $r$ m,则 $2π r=\frac{120}{180}×3×π$,解得 $r=1$.
$\therefore$ 帐篷的底面需要的材料为 $π r^2=π\ \mathrm{m}^2$. $\therefore$ 制作这顶帐篷(侧面与底面)需要的材料为 $π+3π=4π(\mathrm{m}^2)$
$\therefore$ 帐篷的底面需要的材料为 $π r^2=π\ \mathrm{m}^2$. $\therefore$ 制作这顶帐篷(侧面与底面)需要的材料为 $π+3π=4π(\mathrm{m}^2)$
解析
【分析】
要计算制作帐篷所需的材料总面积，本质是求该近似圆锥的全面积，即侧面积与底面积之和。第一步先利用已知的扇形参数，通过扇形面积公式算出圆锥侧面积；第二步根据“圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长”这一关系，求出底面圆的半径，再计算底面积；最后将侧面积和底面积相加即可得到总材料面积。
【解析】
1. 计算侧面所需材料面积（即扇形面积）：
扇形面积公式为$S_{扇形}=\frac{n}{360}πR^2$，其中圆心角$n=120°$，扇形半径$R=3\ \mathrm{m}$，代入得：
$S_{侧}=\frac{120}{360}×π×3^2=3π\ (\mathrm{m}^2)$
2. 求底面圆的半径$r$：
侧面展开扇形的弧长公式为$l=\frac{n}{180}πR$，代入参数得弧长：
$l=\frac{120}{180}×π×3=2π\ (\mathrm{m})$
由于扇形弧长等于底面圆周长，即$2πr=l$，代入得：
$2πr=2π$，解得$r=1\ \mathrm{m}$
3. 计算底面所需材料面积：
$S_{底}=πr^2=π×1^2=π\ (\mathrm{m}^2)$
4. 计算总材料面积：
$S_{总}=S_{侧}+S_{底}=3π+π=4π\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
$4π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
扇形面积计算，圆锥展开图性质，圆锥全面积计算
【点评】
本题属于基础计算类题型，解题核心是明确圆锥和其侧面展开扇形的对应关系，只要掌握扇形、圆的周长及面积公式，理清计算逻辑即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算制作帐篷所需的材料总面积，本质是求该近似圆锥的全面积，即侧面积与底面积之和。第一步先利用已知的扇形参数，通过扇形面积公式算出圆锥侧面积；第二步根据“圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长”这一关系，求出底面圆的半径，再计算底面积；最后将侧面积和底面积相加即可得到总材料面积。
【解析】
1. 计算侧面所需材料面积（即扇形面积）：
扇形面积公式为$S_{扇形}=\frac{n}{360}πR^2$，其中圆心角$n=120°$，扇形半径$R=3\ \mathrm{m}$，代入得：
$S_{侧}=\frac{120}{360}×π×3^2=3π\ (\mathrm{m}^2)$
2. 求底面圆的半径$r$：
侧面展开扇形的弧长公式为$l=\frac{n}{180}πR$，代入参数得弧长：
$l=\frac{120}{180}×π×3=2π\ (\mathrm{m})$
由于扇形弧长等于底面圆周长，即$2πr=l$，代入得：
$2πr=2π$，解得$r=1\ \mathrm{m}$
3. 计算底面所需材料面积：
$S_{底}=πr^2=π×1^2=π\ (\mathrm{m}^2)$
4. 计算总材料面积：
$S_{总}=S_{侧}+S_{底}=3π+π=4π\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
$4π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
扇形面积计算，圆锥展开图性质，圆锥全面积计算
【点评】
本题属于基础计算类题型，解题核心是明确圆锥和其侧面展开扇形的对应关系，只要掌握扇形、圆的周长及面积公式，理清计算逻辑即可快速求解。
【难度系数】
0.7
9 教材变式题 蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成，如图所示为一个蒙古包的示意图，底面圆的半径$DE=2\ \mathrm{m}$，圆锥的高$AC=1.5\ \mathrm{m}$，圆柱的高$CD=2.5\ \mathrm{m}$，则下列说法错误的是（
A.圆柱的底面积为$4π\ \mathrm{m}^2$
B.圆柱的侧面积为$10π\ \mathrm{m}^2$
C.圆锥的母线$AB$长为$2.25\ \mathrm{m}$
D.圆锥的侧面积为$5π\ \mathrm{m}^2$
C
）A.圆柱的底面积为$4π\ \mathrm{m}^2$
B.圆柱的侧面积为$10π\ \mathrm{m}^2$
C.圆锥的母线$AB$长为$2.25\ \mathrm{m}$
D.圆锥的侧面积为$5π\ \mathrm{m}^2$
答案
9. C
解析
【分析】
本题是判断圆柱与圆锥组合体相关计算正误的题目，解题思路如下：首先明确已知条件：底面圆半径为2m，圆锥高1.5m，圆柱高2.5m；接下来结合对应公式逐一计算每个选项的结果，再和选项给出的数值比对，即可找出错误的选项。计算时注意：圆柱底面积用圆的面积公式求解，圆柱侧面积用“底面周长×高”求解；圆锥母线长可通过圆锥的高、底面半径构成的直角三角形，用勾股定理求解，圆锥侧面积用“π×底面半径×母线长”求解。
【解析】
已知底面圆半径$r=DE=2\ \mathrm{m}$，圆锥高$AC=1.5\ \mathrm{m}$，圆柱高$CD=2.5\ \mathrm{m}$，逐一验证选项：
1. 验证A选项：圆柱底面积$S_{底}=π r^2=π×2^2=4π\ \mathrm{m}^2$，A表述正确，不符合题意；
2. 验证B选项：圆柱侧面积$S_{圆柱侧}=2π r· CD=2π×2×2.5=10π\ \mathrm{m}^2$，B表述正确，不符合题意；
3. 验证C选项：圆锥底面半径$BC=r=2\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，由勾股定理得母线$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1.5^2+2^2}=\sqrt{6.25}=2.5\ \mathrm{m}≠2.25\ \mathrm{m}$，C表述错误，符合题意；
4. 验证D选项：圆锥侧面积$S_{圆锥侧}=π r· AB=π×2×2.5=5π\ \mathrm{m}^2$，D表述正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆柱面积计算
2. 圆锥侧面积计算
3. 勾股定理应用
【点评】
本题结合生活中的蒙古包模型考查立体图形的面积计算，解题的关键是熟记圆柱、圆锥的相关计算公式，逐一验证选项即可，注意不要混淆圆锥侧面积和底面积的计算公式。
【难度系数】
0.7
本题是判断圆柱与圆锥组合体相关计算正误的题目，解题思路如下：首先明确已知条件：底面圆半径为2m，圆锥高1.5m，圆柱高2.5m；接下来结合对应公式逐一计算每个选项的结果，再和选项给出的数值比对，即可找出错误的选项。计算时注意：圆柱底面积用圆的面积公式求解，圆柱侧面积用“底面周长×高”求解；圆锥母线长可通过圆锥的高、底面半径构成的直角三角形，用勾股定理求解，圆锥侧面积用“π×底面半径×母线长”求解。
【解析】
已知底面圆半径$r=DE=2\ \mathrm{m}$，圆锥高$AC=1.5\ \mathrm{m}$，圆柱高$CD=2.5\ \mathrm{m}$，逐一验证选项：
1. 验证A选项：圆柱底面积$S_{底}=π r^2=π×2^2=4π\ \mathrm{m}^2$，A表述正确，不符合题意；
2. 验证B选项：圆柱侧面积$S_{圆柱侧}=2π r· CD=2π×2×2.5=10π\ \mathrm{m}^2$，B表述正确，不符合题意；
3. 验证C选项：圆锥底面半径$BC=r=2\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，由勾股定理得母线$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1.5^2+2^2}=\sqrt{6.25}=2.5\ \mathrm{m}≠2.25\ \mathrm{m}$，C表述错误，符合题意；
4. 验证D选项：圆锥侧面积$S_{圆锥侧}=π r· AB=π×2×2.5=5π\ \mathrm{m}^2$，D表述正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆柱面积计算
2. 圆锥侧面积计算
3. 勾股定理应用
【点评】
本题结合生活中的蒙古包模型考查立体图形的面积计算，解题的关键是熟记圆柱、圆锥的相关计算公式，逐一验证选项即可，注意不要混淆圆锥侧面积和底面积的计算公式。
【难度系数】
0.7
