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1 若三个一元二次方程$2x^2 + 3x + c = 0$，$3x^2 + cx + 2 = 0$，$cx^2 + 2x + 3 = 0$有公共实数解，则c的值为（
A.5
B.$-5$
C.3
D.$-3$
B
）A.5
B.$-5$
C.3
D.$-3$
答案
1. B
解析
【分析】
本题是一元二次方程公共实根问题，解题思路如下：首先设三个方程的公共实数解为α，根据方程解的定义，α满足每一个方程；将三个含α的等式相加，整理后可因式分解得到乘积形式；再利用根的判别式判断二次式是否可能为0，进而求出c的值，最后验证所求c是否符合题意即可。
【解析】
设三个方程的公共实数解为$α$，将$α$分别代入三个方程可得：
$2α^2 + 3α + c = 0$ ①
$3α^2 + cα + 2 = 0$ ②
$cα^2 + 2α + 3 = 0$ ③
将①+②+③，整理得：
$(2+3+c)α^2 + (3+c+2)α + (c+2+3) = 0$
即$(c+5)(α^2 + α + 1) = 0$
对于二次式$α^2 + α + 1$，其判别式$\Delta = 1^2 - 4×1×1 = -3 ＜ 0$，因此对任意实数$α$，$α^2 + α + 1 ≠ 0$
故只能$c+5=0$，解得$c=-5$
验证：将$c=-5$代入三个方程，可得三个方程的公共实根为$α=1$，符合题意，且三个方程二次项系数均不为0，满足一元二次方程的要求。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解；根的判别式；等式的性质
【点评】
本题是一元二次方程公共根问题的典型题型，核心解题技巧是设公共根代入方程后通过等式变形简化运算，求解后要注意验证结果是否满足题目的所有条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
本题是一元二次方程公共实根问题，解题思路如下：首先设三个方程的公共实数解为α，根据方程解的定义，α满足每一个方程；将三个含α的等式相加，整理后可因式分解得到乘积形式；再利用根的判别式判断二次式是否可能为0，进而求出c的值，最后验证所求c是否符合题意即可。
【解析】
设三个方程的公共实数解为$α$，将$α$分别代入三个方程可得：
$2α^2 + 3α + c = 0$ ①
$3α^2 + cα + 2 = 0$ ②
$cα^2 + 2α + 3 = 0$ ③
将①+②+③，整理得：
$(2+3+c)α^2 + (3+c+2)α + (c+2+3) = 0$
即$(c+5)(α^2 + α + 1) = 0$
对于二次式$α^2 + α + 1$，其判别式$\Delta = 1^2 - 4×1×1 = -3 ＜ 0$，因此对任意实数$α$，$α^2 + α + 1 ≠ 0$
故只能$c+5=0$，解得$c=-5$
验证：将$c=-5$代入三个方程，可得三个方程的公共实根为$α=1$，符合题意，且三个方程二次项系数均不为0，满足一元二次方程的要求。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解；根的判别式；等式的性质
【点评】
本题是一元二次方程公共根问题的典型题型，核心解题技巧是设公共根代入方程后通过等式变形简化运算，求解后要注意验证结果是否满足题目的所有条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
2 若一元二次方程$mx^2 + nx + p = 0$，$nx^2 + px + m = 0$，$px^2 + mx + n = 0$有公共实数解，则$m + n + p =$
0
（$m,n,p$均不为0）。答案
2. 0
解析
【分析】
我们可以先设三个方程的公共实数解为$α$，根据方程解的定义，$α$会同时满足三个一元二次方程。把$α$代入三个方程后，将三个等式左右两边分别相加，即可提取出公因式$m+n+p$，再通过根的判别式判断另一个因式的取值情况，就能求出$m+n+p$的值。
【解析】
设三个方程的公共实数解为$α$，将$α$分别代入三个方程可得：
$mα^2 + nα + p = 0$ ①
$nα^2 + pα + m = 0$ ②
$pα^2 + mα + n = 0$ ③
将①+②+③，左边合并同类项得：
$(m + n + p)α^2 + (m + n + p)α + (m + n + p) = 0$
提取公因式$(m + n + p)$后得：
$(m + n + p)(α^2 + α + 1) = 0$
对二次式$α^2 + α + 1$计算判别式：$\Delta = 1^2 - 4×1×1 = -3 ＜ 0$，因此对任意实数$α$，都有$α^2 + α + 1 ≠ 0$。
所以仅能得到$m + n + p = 0$。
【答案】
0
【知识点】
1. 一元二次方程的解
2. 因式分解
3. 根的判别式
【点评】
本题的解题核心是巧设公共解，通过方程相加构造出含所求代数式的乘积式，再结合判别式排除另一因式为0的可能，是一元二次方程公共解问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
我们可以先设三个方程的公共实数解为$α$，根据方程解的定义，$α$会同时满足三个一元二次方程。把$α$代入三个方程后，将三个等式左右两边分别相加，即可提取出公因式$m+n+p$，再通过根的判别式判断另一个因式的取值情况，就能求出$m+n+p$的值。
【解析】
设三个方程的公共实数解为$α$，将$α$分别代入三个方程可得：
$mα^2 + nα + p = 0$ ①
$nα^2 + pα + m = 0$ ②
$pα^2 + mα + n = 0$ ③
将①+②+③，左边合并同类项得：
$(m + n + p)α^2 + (m + n + p)α + (m + n + p) = 0$
提取公因式$(m + n + p)$后得：
$(m + n + p)(α^2 + α + 1) = 0$
对二次式$α^2 + α + 1$计算判别式：$\Delta = 1^2 - 4×1×1 = -3 ＜ 0$，因此对任意实数$α$，都有$α^2 + α + 1 ≠ 0$。
所以仅能得到$m + n + p = 0$。
【答案】
0
【知识点】
1. 一元二次方程的解
2. 因式分解
3. 根的判别式
【点评】
本题的解题核心是巧设公共解，通过方程相加构造出含所求代数式的乘积式，再结合判别式排除另一因式为0的可能，是一元二次方程公共解问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
3 若三个一元二次方程$x^2 + 2x + k = 0$，$2x^2 + kx + 1 = 0$，$kx^2 + x + 2 = 0$有公共实数解，则k的值为
$-3$
，公共解为$x=1$
。答案
3. $-3$，公共解为$x=1$
解析
【分析】
遇到多个一元二次方程有公共实数解的问题，核心思路是：先设公共解为某个参数（如$α$），该参数同时满足所有方程，因此将其代入三个方程可得到关于$k$和$α$的方程组，再通过方程组变形消元求解。首先要注意三个方程均为一元二次方程，因此二次项系数$k≠0$。将三个代入后的等式相加，可因式分解得到含$k$和二次式的乘积为0，利用二次式恒正的特点即可求出$k$的值，再回代求公共解并验证即可。
【解析】
设三个方程的公共实数解为$α$，由于三个方程都是一元二次方程，因此$k≠ 0$。
将$x=α$分别代入三个方程，得：
$\begin{cases}α^2 + 2α + k = 0 \quad \mathrm{①} \\2α^2 + kα + 1 = 0 \quad \mathrm{②} \\kα^2 + α + 2 = 0 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
将①+②+③，合并同类项得：
$(1+2+k)α^2 + (2+k+1)α + (k+1+2) = 0$
提取公因式后为：
$(k+3)(α^2 + α + 1) = 0$
对于二次式$α^2 + α + 1$，其判别式$\Delta = 1^2 - 4×1×1 = -3 ＜ 0$，因此对任意实数$α$，$α^2 + α + 1 ≠ 0$，故只能$k+3=0$，解得$k=-3$。
将$k=-3$代入第一个方程$x^2 + 2x - 3 = 0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
验证根：将$x=-3$代入第二个方程，左边$=2×(-3)^2 + (-3)×(-3) +1=28≠0$，不是公共解；将$x=1$代入三个方程，均满足等式，因此公共解为$x=1$。
【答案】
$-3$；$x=1$
【知识点】
一元二次方程的解；因式分解；一元二次方程判别式
【点评】
本题是一元二次方程公共根的典型问题，解题的关键是通过设公共根代入方程后，利用等式相加快速消元得到参数的可能值，求出结果后要注意验证根是否满足所有方程，同时不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.6
遇到多个一元二次方程有公共实数解的问题，核心思路是：先设公共解为某个参数（如$α$），该参数同时满足所有方程，因此将其代入三个方程可得到关于$k$和$α$的方程组，再通过方程组变形消元求解。首先要注意三个方程均为一元二次方程，因此二次项系数$k≠0$。将三个代入后的等式相加，可因式分解得到含$k$和二次式的乘积为0，利用二次式恒正的特点即可求出$k$的值，再回代求公共解并验证即可。
【解析】
设三个方程的公共实数解为$α$，由于三个方程都是一元二次方程，因此$k≠ 0$。
将$x=α$分别代入三个方程，得：
$\begin{cases}α^2 + 2α + k = 0 \quad \mathrm{①} \\2α^2 + kα + 1 = 0 \quad \mathrm{②} \\kα^2 + α + 2 = 0 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
将①+②+③，合并同类项得：
$(1+2+k)α^2 + (2+k+1)α + (k+1+2) = 0$
提取公因式后为：
$(k+3)(α^2 + α + 1) = 0$
对于二次式$α^2 + α + 1$，其判别式$\Delta = 1^2 - 4×1×1 = -3 ＜ 0$，因此对任意实数$α$，$α^2 + α + 1 ≠ 0$，故只能$k+3=0$，解得$k=-3$。
将$k=-3$代入第一个方程$x^2 + 2x - 3 = 0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
验证根：将$x=-3$代入第二个方程，左边$=2×(-3)^2 + (-3)×(-3) +1=28≠0$，不是公共解；将$x=1$代入三个方程，均满足等式，因此公共解为$x=1$。
【答案】
$-3$；$x=1$
【知识点】
一元二次方程的解；因式分解；一元二次方程判别式
【点评】
本题是一元二次方程公共根的典型问题，解题的关键是通过设公共根代入方程后，利用等式相加快速消元得到参数的可能值，求出结果后要注意验证根是否满足所有方程，同时不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.6
4 已知三个一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，$ bx^2 + cx + a = 0 $，$ cx^2 + ax + b = 0 $（$ a,b,c $ 均不为0），且满足 $ a + b + c = 0 $，求证：$ x = 1 $ 是这三个方程的公共解。
答案
将$x=1$代入第一个方程,得左边$=a+b+c=0$,$\therefore x=1$是第一个方程的解.同理,将$x=1$分别代入第二个方程和第三个方程,均有左边$=$右边,$\therefore x=1$是这三个方程的公共解
解析
【分析】
要证明某个值是多个方程的公共解，核心思路是依据方程解的定义：将该值代入每个方程，若左边计算结果等于右边，则这个值就是该方程的解。本题已知$a+b+c=0$，把$x=1$代入三个方程后，左边刚好可以整理为$a+b+c$的形式，刚好符合已知条件，因此我们采用代入验证的方法逐一证明即可。
【解析】
将$x=1$代入第一个方程$ax^2 + bx + c = 0$的左边，得：
左边$=a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$，
由已知$a+b+c=0$，因此左边=右边=0，故$x=1$是第一个方程的解。
同理，将$x=1$代入第二个方程$bx^2 + cx + a = 0$的左边，得：
左边$=b×1^2 + c×1 + a = a+b+c=0$，左边=右边，故$x=1$是第二个方程的解。
将$x=1$代入第三个方程$cx^2 + ax + b = 0$的左边，得：
左边$=c×1^2 + a×1 + b = a+b+c=0$，左边=右边，故$x=1$是第三个方程的解。
因此$x=1$是这三个方程的公共解。
【答案】
$x=1$是这三个方程的公共解
【知识点】
1. 一元二次方程的解的定义 2. 公共解的验证
【点评】
本题是方程类基础证明题，解题逻辑清晰直接，核心是掌握代入验证方程解的方法，结合题目给出的$a+b+c=0$的条件即可快速完成证明。
【难度系数】
0.85
要证明某个值是多个方程的公共解，核心思路是依据方程解的定义：将该值代入每个方程，若左边计算结果等于右边，则这个值就是该方程的解。本题已知$a+b+c=0$，把$x=1$代入三个方程后，左边刚好可以整理为$a+b+c$的形式，刚好符合已知条件，因此我们采用代入验证的方法逐一证明即可。
【解析】
将$x=1$代入第一个方程$ax^2 + bx + c = 0$的左边，得：
左边$=a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$，
由已知$a+b+c=0$，因此左边=右边=0，故$x=1$是第一个方程的解。
同理，将$x=1$代入第二个方程$bx^2 + cx + a = 0$的左边，得：
左边$=b×1^2 + c×1 + a = a+b+c=0$，左边=右边，故$x=1$是第二个方程的解。
将$x=1$代入第三个方程$cx^2 + ax + b = 0$的左边，得：
左边$=c×1^2 + a×1 + b = a+b+c=0$，左边=右边，故$x=1$是第三个方程的解。
因此$x=1$是这三个方程的公共解。
【答案】
$x=1$是这三个方程的公共解
【知识点】
1. 一元二次方程的解的定义 2. 公共解的验证
【点评】
本题是方程类基础证明题，解题逻辑清晰直接，核心是掌握代入验证方程解的方法，结合题目给出的$a+b+c=0$的条件即可快速完成证明。
【难度系数】
0.85
5 在线段分割问题中,分成的三条线段的长度$a,b,c$满足$a=b+c$,且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}(a＞b＞c＞0)$,则$a$与$b$的关系是（
A.$a=2b$
B.$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}b$
C.$a=\frac{\sqrt{2}+1}{2}b$
D.$a=(\sqrt{5}+1)b$
B
）A.$a=2b$
B.$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}b$
C.$a=\frac{\sqrt{2}+1}{2}b$
D.$a=(\sqrt{5}+1)b$
答案
5. B
解析
【分析】
题目给出a、b、c三者的两个等量关系，目标是推导a与b的关系，解题核心是消去未知量c。首先利用第一个等式将c用含a、b的式子表示，再代入第二个分式等式，通过化简变形得到仅含a、b的等式，最后转化为关于$\frac{a}{b}$的一元二次方程求解，结合$a＞b＞0$的条件舍去负根即可得到结果。
【解析】
解：由$a = b + c$，移项得$c = a - b$（因$a＞b＞c＞0$，故$c＞0$，符合题意）。
将$c = a - b$代入$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$，得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a - b}$
左边通分可得：
$\frac{a + b}{ab}=\frac{1}{a - b}$
交叉相乘（所有分母均为正数，等式成立）：
$(a + b)(a - b) = ab$
用平方差公式展开左边：
$a^2 - b^2 = ab$
两边同时除以$b^2$（$b＞0$，可作除数），设$k=\frac{a}{b}$（$k＞1$），代入得：
$k^2 - 1 = k$
整理为一元二次方程标准形式：
$k^2 - k - 1 = 0$
由求根公式解得：
$k=\frac{1\pm\sqrt{1 + 4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
因$k＞1$，舍去负根$k=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，得$k=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，即$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，故$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}b$。
【答案】
B
【知识点】
消元法，分式化简，一元二次方程求解
【点评】
本题解题关键是通过消元法去掉无关未知量c，将问题转化为仅含a、b的等式求解，求解过程中要注意结合未知量的取值范围舍去不符合要求的根，避免错解。
【难度系数】
0.7
题目给出a、b、c三者的两个等量关系，目标是推导a与b的关系，解题核心是消去未知量c。首先利用第一个等式将c用含a、b的式子表示，再代入第二个分式等式，通过化简变形得到仅含a、b的等式，最后转化为关于$\frac{a}{b}$的一元二次方程求解，结合$a＞b＞0$的条件舍去负根即可得到结果。
【解析】
解：由$a = b + c$，移项得$c = a - b$（因$a＞b＞c＞0$，故$c＞0$，符合题意）。
将$c = a - b$代入$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$，得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a - b}$
左边通分可得：
$\frac{a + b}{ab}=\frac{1}{a - b}$
交叉相乘（所有分母均为正数，等式成立）：
$(a + b)(a - b) = ab$
用平方差公式展开左边：
$a^2 - b^2 = ab$
两边同时除以$b^2$（$b＞0$，可作除数），设$k=\frac{a}{b}$（$k＞1$），代入得：
$k^2 - 1 = k$
整理为一元二次方程标准形式：
$k^2 - k - 1 = 0$
由求根公式解得：
$k=\frac{1\pm\sqrt{1 + 4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
因$k＞1$，舍去负根$k=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，得$k=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，即$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，故$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}b$。
【答案】
B
【知识点】
消元法，分式化简，一元二次方程求解
【点评】
本题解题关键是通过消元法去掉无关未知量c，将问题转化为仅含a、b的等式求解，求解过程中要注意结合未知量的取值范围舍去不符合要求的根，避免错解。
【难度系数】
0.7
6 已知线段$EF$，将其按教材活动2的条件分割为三条长度分别为$a,b,c$的线段，且$a=4$，则$b$的值为（
A.$2\sqrt{5}-2$
B.$4\sqrt{5}$
C.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$2\sqrt{2}$
A
）A.$2\sqrt{5}-2$
B.$4\sqrt{5}$
C.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$2\sqrt{2}$
答案
6. A
解析
【分析】
本题考查黄金分割相关知识，解题核心是明确教材对应活动的分割规则：分割得到的三条线段中，最长线段$a$等于另外两条线段$b$、$c$的和，且长度居中的线段$b$是最长线段$a$和最短线段$c$的比例中项。已知$a=4$，我们可以先将$c$用$a$和$b$表示，再代入比例中项公式得到关于$b$的一元二次方程，求解后取正根即可。
【解析】
根据教材活动的分割规则，可得两个等量关系：
1. 最长线段等于另外两条线段之和：$a = b + c$
2. 中间线段是最长线段和最短线段的比例中项：$b^2 = a· c$
已知$a=4$，则$c = 4 - b$，将其代入比例中项公式得：
$b^2 = 4×(4 - b)$
整理为标准一元二次方程形式：$b^2 + 4b - 16 = 0$
由求根公式解得：
$b=\frac{-4\pm\sqrt{4^2 + 4×16}}{2}=\frac{-4\pm4\sqrt{5}}{2}=-2\pm2\sqrt{5}$
线段长度为正数，舍去负根$-2-2\sqrt{5}$，因此$b=2\sqrt{5}-2$。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割，比例中项，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合教材活动考查黄金分割的性质，解题关键是熟记黄金分割对应的比例关系，运用方程思想求解线段长度，需要注意舍去不符合实际意义的负根。
【难度系数】
0.6
本题考查黄金分割相关知识，解题核心是明确教材对应活动的分割规则：分割得到的三条线段中，最长线段$a$等于另外两条线段$b$、$c$的和，且长度居中的线段$b$是最长线段$a$和最短线段$c$的比例中项。已知$a=4$，我们可以先将$c$用$a$和$b$表示，再代入比例中项公式得到关于$b$的一元二次方程，求解后取正根即可。
【解析】
根据教材活动的分割规则，可得两个等量关系：
1. 最长线段等于另外两条线段之和：$a = b + c$
2. 中间线段是最长线段和最短线段的比例中项：$b^2 = a· c$
已知$a=4$，则$c = 4 - b$，将其代入比例中项公式得：
$b^2 = 4×(4 - b)$
整理为标准一元二次方程形式：$b^2 + 4b - 16 = 0$
由求根公式解得：
$b=\frac{-4\pm\sqrt{4^2 + 4×16}}{2}=\frac{-4\pm4\sqrt{5}}{2}=-2\pm2\sqrt{5}$
线段长度为正数，舍去负根$-2-2\sqrt{5}$，因此$b=2\sqrt{5}-2$。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割，比例中项，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合教材活动考查黄金分割的性质，解题关键是熟记黄金分割对应的比例关系，运用方程思想求解线段长度，需要注意舍去不符合实际意义的负根。
【难度系数】
0.6
7 在教材活动2的线段分割中，若$b=2$，则$c=$
$\sqrt{5}-1$
（结果保留根号）。答案
7. $\sqrt{5}-1$
解析
【分析】
本题考查黄金分割的相关应用，解题思路如下：首先明确教材中的线段分割指的是黄金分割，黄金分割的核心比例关系为：分割后的较长线段长度与原线段总长度的比值等于较短线段长度与较长线段长度的比值。已知较长线段b=2，设较短线段为c，我们可以先根据比例关系列出关于c的方程，再解一元二次方程，最后结合线段长度为正的实际意义舍去负根，即可得到c的值。
【解析】
根据教材黄金分割的定义，设分割后较长线段为b，较短线段为c，可得比例关系：
$\frac{b}{b+c}=\frac{c}{b}$
由比例的基本性质交叉相乘得：$b^2 = c(b + c)$
将$b=2$代入上式：
$2^2 = c(2 + c)$
整理为一元二次方程的标准形式：
$c^2 + 2c - 4 = 0$
用求根公式求解：
$c = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4×1×(-4)}}{2×1} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$
因为线段长度为正数，故舍去负根$c=-1-\sqrt{5}$，得$c=\sqrt{5}-1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
黄金分割；一元二次方程的解法；比例的基本性质
【点评】
本题重点考查对黄金分割概念的掌握，解题的关键是准确写出黄金分割对应的比例关系，求解方程后要注意结合线段的实际意义舍去不合理的根。
【难度系数】
0.7
本题考查黄金分割的相关应用，解题思路如下：首先明确教材中的线段分割指的是黄金分割，黄金分割的核心比例关系为：分割后的较长线段长度与原线段总长度的比值等于较短线段长度与较长线段长度的比值。已知较长线段b=2，设较短线段为c，我们可以先根据比例关系列出关于c的方程，再解一元二次方程，最后结合线段长度为正的实际意义舍去负根，即可得到c的值。
【解析】
根据教材黄金分割的定义，设分割后较长线段为b，较短线段为c，可得比例关系：
$\frac{b}{b+c}=\frac{c}{b}$
由比例的基本性质交叉相乘得：$b^2 = c(b + c)$
将$b=2$代入上式：
$2^2 = c(2 + c)$
整理为一元二次方程的标准形式：
$c^2 + 2c - 4 = 0$
用求根公式求解：
$c = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4×1×(-4)}}{2×1} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$
因为线段长度为正数，故舍去负根$c=-1-\sqrt{5}$，得$c=\sqrt{5}-1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
黄金分割；一元二次方程的解法；比例的基本性质
【点评】
本题重点考查对黄金分割概念的掌握，解题的关键是准确写出黄金分割对应的比例关系，求解方程后要注意结合线段的实际意义舍去不合理的根。
【难度系数】
0.7
8 已知线段AB的长度为$2(\sqrt{5}+1)$，将其按教材活动2的条件分割成三条长度分别为$a$，$b$，$c$的线段，则最长线段$a$的长度是
$\sqrt{5}+1$
。答案
8. $\sqrt{5}+1$ 【解析】总长度$=2(\sqrt{5}+1)=a+b+c=\frac{\sqrt{5}+1}{2}b+ b+\frac{\sqrt{5}-1}{2}b=(\sqrt{5}+1)b$,解得$b=2$,故$a=\sqrt{5}+1$.
解析
【分析】
本题考查黄金分割的应用，解题思路如下：首先明确教材中该分割为黄金分割相关的线段分割，三条线段满足黄金比例关系：最长线段a是中间长度线段b的$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$倍，最短线段c是中间长度线段b的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$倍；接下来将a、c都用含b的代数式表示，结合三条线段的和等于AB的总长度，列方程求解b的值，最后代入a的表达式即可求出a的长度。
【解析】
已知线段AB的总长为$2(\sqrt{5}+1)$，即$a+b+c=2(\sqrt{5}+1)$。
根据黄金分割的线段比例关系，可得：
$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}b$，$c=\frac{\sqrt{5}-1}{2}b$
将上述两个式子代入总长公式：
$\begin{aligned}a+b+c&=\frac{\sqrt{5}+1}{2}b + b + \frac{\sqrt{5}-1}{2}b\\&=(\frac{\sqrt{5}+1}{2}+1+\frac{\sqrt{5}-1}{2})b\\&=(\sqrt{5}+1)b\end{aligned}$
因此有$(\sqrt{5}+1)b=2(\sqrt{5}+1)$，两边同时除以$\sqrt{5}+1$（$\sqrt{5}+1≠0$），解得$b=2$。
将$b=2$代入$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}b$，得$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}×2=\sqrt{5}+1$。
【答案】
$\sqrt{5}+1$
【知识点】
黄金分割，代数式化简，一元一次方程求解
【点评】
本题重点考查黄金分割比例的实际应用，解题核心是准确掌握黄金分割下各线段的比例关系，结合线段总长建立等式求解，属于基础应用题型，计算时注意根式的化简即可。
【难度系数】
0.7
本题考查黄金分割的应用，解题思路如下：首先明确教材中该分割为黄金分割相关的线段分割，三条线段满足黄金比例关系：最长线段a是中间长度线段b的$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$倍，最短线段c是中间长度线段b的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$倍；接下来将a、c都用含b的代数式表示，结合三条线段的和等于AB的总长度，列方程求解b的值，最后代入a的表达式即可求出a的长度。
【解析】
已知线段AB的总长为$2(\sqrt{5}+1)$，即$a+b+c=2(\sqrt{5}+1)$。
根据黄金分割的线段比例关系，可得：
$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}b$，$c=\frac{\sqrt{5}-1}{2}b$
将上述两个式子代入总长公式：
$\begin{aligned}a+b+c&=\frac{\sqrt{5}+1}{2}b + b + \frac{\sqrt{5}-1}{2}b\\&=(\frac{\sqrt{5}+1}{2}+1+\frac{\sqrt{5}-1}{2})b\\&=(\sqrt{5}+1)b\end{aligned}$
因此有$(\sqrt{5}+1)b=2(\sqrt{5}+1)$，两边同时除以$\sqrt{5}+1$（$\sqrt{5}+1≠0$），解得$b=2$。
将$b=2$代入$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}b$，得$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}×2=\sqrt{5}+1$。
【答案】
$\sqrt{5}+1$
【知识点】
黄金分割，代数式化简，一元一次方程求解
【点评】
本题重点考查黄金分割比例的实际应用，解题核心是准确掌握黄金分割下各线段的比例关系，结合线段总长建立等式求解，属于基础应用题型，计算时注意根式的化简即可。
【难度系数】
0.7
9 已知线段$CD=4$，将其按教材活动2的条件分割为三条长度分别为$a,b,c$的线段，求$a,b,c$的值（结果保留根号），并说明这三条线段是否能构成三角形。
答案
由题意,得$a+b+c=4$,即$\frac{\sqrt{5}+1}{2}b + b + \frac{\sqrt{5}-1}{2}b=4$,解得$b=\sqrt{5}-1$. $\therefore a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}×(\sqrt{5}-1)=2$,$c=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$.$\because a=b+c$,$\therefore$ 这三条线段不能构成三角形
解析
【分析】
首先明确教材活动2的分割规则为黄金比例关系，即$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}b$，$c=\frac{\sqrt{5}-1}{2}b$。解题时第一步先根据三条线段总长度等于CD=4，列出关于b的方程求解b的值；第二步将b的值代入比例式，分别计算出a和c的取值；最后根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断三条线段是否能构成三角形。
【解析】
解：由教材活动2的分割条件，得$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}b$，$c=\frac{\sqrt{5}-1}{2}b$。
已知$a+b+c=CD=4$，将a、c用含b的式子代入得：
$\frac{\sqrt{5}+1}{2}b + b + \frac{\sqrt{5}-1}{2}b = 4$
左边化简得：
$\frac{(\sqrt{5}+1)+2+(\sqrt{5}-1)}{2}b=(\sqrt{5}+1)b$
即$(\sqrt{5}+1)b=4$，分母有理化解得：
$b=\frac{4}{\sqrt{5}+1}=\sqrt{5}-1$
将$b=\sqrt{5}-1$分别代入a、c的表达式：
$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}×(\sqrt{5}-1)=\frac{5-1}{2}=2$
$c=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×(\sqrt{5}-1)=\frac{6-2\sqrt{5}}{2}=3-\sqrt{5}$
判断能否构成三角形：
$\because b+c=(\sqrt{5}-1)+(3-\sqrt{5})=2=a$，不满足三角形两边之和大于第三边的要求
$\therefore$ 三条线段不能构成三角形
【答案】
$a=2$，$b=\sqrt{5}-1$，$c=3-\sqrt{5}$；这三条线段不能构成三角形
【知识点】
黄金分割、二次根式运算、三角形三边关系
【点评】
本题结合黄金分割的比例关系，考查二次根式的计算和三角形三边关系的应用，解题核心是明确题目隐含的比例关系，计算二次根式时要注意乘法公式的正确使用，判断能否构成三角形时只需验证较短两边之和与最长边的大小关系即可。
【难度系数】
0.65
首先明确教材活动2的分割规则为黄金比例关系，即$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}b$，$c=\frac{\sqrt{5}-1}{2}b$。解题时第一步先根据三条线段总长度等于CD=4，列出关于b的方程求解b的值；第二步将b的值代入比例式，分别计算出a和c的取值；最后根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断三条线段是否能构成三角形。
【解析】
解：由教材活动2的分割条件，得$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}b$，$c=\frac{\sqrt{5}-1}{2}b$。
已知$a+b+c=CD=4$，将a、c用含b的式子代入得：
$\frac{\sqrt{5}+1}{2}b + b + \frac{\sqrt{5}-1}{2}b = 4$
左边化简得：
$\frac{(\sqrt{5}+1)+2+(\sqrt{5}-1)}{2}b=(\sqrt{5}+1)b$
即$(\sqrt{5}+1)b=4$，分母有理化解得：
$b=\frac{4}{\sqrt{5}+1}=\sqrt{5}-1$
将$b=\sqrt{5}-1$分别代入a、c的表达式：
$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}×(\sqrt{5}-1)=\frac{5-1}{2}=2$
$c=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×(\sqrt{5}-1)=\frac{6-2\sqrt{5}}{2}=3-\sqrt{5}$
判断能否构成三角形：
$\because b+c=(\sqrt{5}-1)+(3-\sqrt{5})=2=a$，不满足三角形两边之和大于第三边的要求
$\therefore$ 三条线段不能构成三角形
【答案】
$a=2$，$b=\sqrt{5}-1$，$c=3-\sqrt{5}$；这三条线段不能构成三角形
【知识点】
黄金分割、二次根式运算、三角形三边关系
【点评】
本题结合黄金分割的比例关系，考查二次根式的计算和三角形三边关系的应用，解题核心是明确题目隐含的比例关系，计算二次根式时要注意乘法公式的正确使用，判断能否构成三角形时只需验证较短两边之和与最长边的大小关系即可。
【难度系数】
0.65
10 用尺规作图的方法，在数轴上作出表示$c=\sqrt{2}-1$的点(要求:保留作图痕迹,写出简要步骤).
答案
如图所示 作图步骤:作数轴,取原点$O$,单位长度$OA=1$;以$OA$为直角边作等腰直角三角形$OAB$,使$OB$为斜边,则$OB=\sqrt{2}$;以$O$为圆心,$OB$为半径画弧,交数轴正半轴于点$C$,则$OC=\sqrt{2}$;以$C$为圆心,$OA$为半径画弧,交$OC$于点$D$,则点$D$表示的数为$\sqrt{2}-1$
解析
【分析】
要在数轴上作出表示$\sqrt{2}-1$的点，首先需要构造长度为$\sqrt{2}$的线段：根据勾股定理，直角边长为1的等腰直角三角形的斜边长为$\sqrt{2}$，因此可先构造该等腰直角三角形得到长度为$\sqrt{2}$的斜边；接下来在数轴上截出长度为$\sqrt{2}$的线段，再从该线段的端点往原点方向截去1个单位长度，剩余线段对应的端点就是表示$\sqrt{2}-1$的点。
【解析】
1. 作数轴，标记原点$O$，确定单位长度，在数轴正半轴取点$A$，使$OA=1$；
2. 过点$A$作数轴的垂线，在垂线上截取$AB=1$，连接$OB$，此时$△ OAB$为等腰直角三角形，由勾股定理可得$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
3. 以点$O$为圆心，$OB$的长度为半径画弧，交数轴正半轴于点$C$，则$OC=OB=\sqrt{2}$，即点$C$表示的数为$\sqrt{2}$；
4. 以点$C$为圆心，$OA$的长度（即1个单位长度）为半径画弧，交线段$OC$于点$D$，则$CD=1$，因此$OD=OC-CD=\sqrt{2}-1$，点$D$即为所求作的点。
（作图需保留所有画图痕迹，包括弧线、垂直标记等）
【答案】
如图所示 作图步骤:作数轴,取原点$O$,单位长度$OA=1$;以$OA$为直角边作等腰直角三角形$OAB$,使$OB$为斜边,则$OB=\sqrt{2}$;以$O$为圆心,$OB$为半径画弧,交数轴正半轴于点$C$,则$OC=\sqrt{2}$;以$C$为圆心,$OA$为半径画弧,交$OC$于点$D$,则点$D$表示的数为$\sqrt{2}-1$
【知识点】
尺规作图；勾股定理的应用；实数与数轴
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，考查了无理数长度线段的构造方法和数轴表示实数的相关知识，解题核心是利用勾股定理构造出对应长度的线段，同时要注意尺规作图需保留完整作图痕迹。
【难度系数】
0.7
要在数轴上作出表示$\sqrt{2}-1$的点，首先需要构造长度为$\sqrt{2}$的线段：根据勾股定理，直角边长为1的等腰直角三角形的斜边长为$\sqrt{2}$，因此可先构造该等腰直角三角形得到长度为$\sqrt{2}$的斜边；接下来在数轴上截出长度为$\sqrt{2}$的线段，再从该线段的端点往原点方向截去1个单位长度，剩余线段对应的端点就是表示$\sqrt{2}-1$的点。
【解析】
1. 作数轴，标记原点$O$，确定单位长度，在数轴正半轴取点$A$，使$OA=1$；
2. 过点$A$作数轴的垂线，在垂线上截取$AB=1$，连接$OB$，此时$△ OAB$为等腰直角三角形，由勾股定理可得$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
3. 以点$O$为圆心，$OB$的长度为半径画弧，交数轴正半轴于点$C$，则$OC=OB=\sqrt{2}$，即点$C$表示的数为$\sqrt{2}$；
4. 以点$C$为圆心，$OA$的长度（即1个单位长度）为半径画弧，交线段$OC$于点$D$，则$CD=1$，因此$OD=OC-CD=\sqrt{2}-1$，点$D$即为所求作的点。
（作图需保留所有画图痕迹，包括弧线、垂直标记等）
【答案】
如图所示 作图步骤:作数轴,取原点$O$,单位长度$OA=1$;以$OA$为直角边作等腰直角三角形$OAB$,使$OB$为斜边,则$OB=\sqrt{2}$;以$O$为圆心,$OB$为半径画弧,交数轴正半轴于点$C$,则$OC=\sqrt{2}$;以$C$为圆心,$OA$为半径画弧,交$OC$于点$D$,则点$D$表示的数为$\sqrt{2}-1$
【知识点】
尺规作图；勾股定理的应用；实数与数轴
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，考查了无理数长度线段的构造方法和数轴表示实数的相关知识，解题核心是利用勾股定理构造出对应长度的线段，同时要注意尺规作图需保留完整作图痕迹。
【难度系数】
0.7
