1[2026安徽合肥期中,中]下表是$3×3$的数表，数表每个位置所对应的数都是2或4.定义$a*b$为数表中第$a$行第$b$列的数.例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以$3*1=2$.若$2*3=(2x+1)*2$，则$x$的值为（）


A.0或2
B.1或2
C.$\frac{1}{2}$或1
D.$\frac{1}{2}$或2

【解析】因为 $2 * 3 = (2x+1) * 2$,且 $2 * 3 = 4$,所以 $(2x+1) * 2 = 4$. 又因为第 2 行第 2 列和第 3 行第 2 列的数都是 4,所以 $2x+1=2$ 或$2x+1=3$,解得 $x=\frac{1}{2}$或 1. 故选 C.

2[中]方程$mx+2x-12=0$是关于$x$的一元一次方程，若此方程的解为正整数，则正整数$m$的值有（）

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

【解析】

3[2025安徽淮北期末,较难]有一列数$a_1,a_2,\dots,a_{1000}$，其中任意三个相邻数的和是4，其中$a_2=-4$，$a_{100}=x-1$，$a_{900}=2x$，可得$x$的值为（）

A.0
B.1
C.2
D.3

【解析】由任意三个相邻数之和都是 4 可知 $a_1+a_2+a_3=4,a_2+a_3+a_4=4,a_3+a_4+a_5=4,\dots,a_n+a_{n+1}+a_{n+2}=4$,所以 $a_1=a_4=a_7=\dots=a_{3n-2},a_2=a_5=a_8=\dots=a_{3n-1},a_3=a_6=a_9=\dots=a_{3n}$,所以 $a_{100}=a_1=x-1,a_{900}=a_3=2x$,则$-4+x-1+2x=4$,解得 $x=3$,故选 D.

4[2025湖南永州期末,中]已知方程$2(x+1)=3(x-1)$的解为$x=a+2$,那么关于$x$的方程$2[2(x+3)-3(x-a)]=3a$的解为.

【解析】解方程 $2(x+1)=3(x-1)$,得$x=5$,所以 $a+2=5$,所以 $a=3$. 将 $a=3$ 代入$2[2(x+3)-3(x-a)]=3a$,得 $2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3$,所以 $4x+12-6x+18=9$,所以$x=\frac{21}{2}$. 故答案为 $x=\frac{21}{2}$.

5 含1个绝对值 [2025浙江温州质检,中]解方程:$|2x+9|=7x-1$

【解】$|2x+9|=7x-1$,所以 $2x+9=7x-1$ 或 $2x+9=-7x+1$,解得 $x=2$ 或 $x=-\frac{8}{9}$. 当 $x=-\frac{8}{9}$ 时,$7x-1＜0$,所以舍去 $x=-\frac{8}{9}$. 综上所述,原方程的解是 $x=2$.

6 含2个绝对值 [2025山东菏泽期末，中]
解方程：
(1) $|x+6| - |3x -9| =1$；
(2) $2|x+1| +3|x -4| =60$

【解】(1)当 $x＜-6$ 时,去绝对值,得$-x-6+3x-9=1$,解得 $x=8$,不符合,舍去;当$-6≤ x＜3$ 时,去绝对值,得 $x+6+3x-9=1$,解得 $x=1$,符合;当 $x≥ 3$ 时,去绝对值,得 $x+6-(3x-9)=1$,去括号,得 $x+6-3x+9=1$,解得 $x=7$,符合. 所以原方程的解为 $x=1$ 或 $x=7$.
(2)当 $x＜-1$ 时,去绝对值,得 $2(-x-1)+3(4-x)=60$,解得 $x=-10$,符合;当$-1≤ x＜4$ 时,去绝对值,得 $2(x+1)+3(4-x)=60$,解得 $x=-46$,不符合,舍去;当 $x≥ 4$ 时,去绝对值,得$2(x+1)+3(x-4)=60$,解得 $x=14$,符合. 所以原方程的解为 $x=-10$ 或 $x=14$.

7 新考向 开放性试题 [2025 江苏泰州期中,中]阅读下列材料:我们引入一种新的符号表示方式: $\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}$,这种符号形式称为行列式.规定: $\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad-bc$,例如 $\begin{vmatrix} 2&3 \\ 4&5 \end{vmatrix}=2×5 -3×4=10-12=-2$.按照这种运算的规定,请解答下列问题.
(1)计算: $\begin{vmatrix} -6&5 \\ 2&4 \end{vmatrix}=$ ______ ;若 $\begin{vmatrix} 2&x \\ 5&x+3 \end{vmatrix}=0$,则 $x=$ ______ .
(2)直接写出 $\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}$ 与 $\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}$ 的数量关系.
(3)请写出一个行列式,使它的结果为-2.
刷素养 走向重高

【解】(1) 由题意得 $\begin{vmatrix} -6&5 \\ 2&4 \end{vmatrix}=-6×4-5×2=-24-10=-34$. 由题意得 $\begin{vmatrix} 2&x \\ 5&x+3 \end{vmatrix}=2(x+3)-5x$,所以 $2(x+3)-5x=0$,去括号,得 $2x+6-5x=0$,移项、合并同类项,得$-3x=-6$,两边同除以$-3$,得 $x=2$. 故答案为$-34,2$.
(2)$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}=0$.
由题意得 $\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}=ad-bc+bc-ad=0$.
(3)$\begin{vmatrix} -2&0 \\ 4&1 \end{vmatrix}=-2×1-4×0=-2$. (答案不唯一)

8 核心素养运算能力[难]观察下列两个等式:1−$\frac{2}{3}$=2×1×$\frac{2}{3}$−1,2−$\frac{3}{5}$=2×2×$\frac{3}{5}$−1.给出定义如下:我们称使等式$a−b=2ab−1$成立的一对有理数a,b为“同心有理数对”,记为(a,b).如:数对$(1,\frac{2}{3}),(2,\frac{3}{5})$都是“同心有理数对”.根据上述材料,解答下列问题:(1)数对$(-2,1),(3,\frac{4}{7})$中,是“同心有理数对”的是;(2)若(a,3)是“同心有理数对”,求a的值;(3)若(m,n)是“同心有理数对”,则(−n,−m)是否为“同心有理数对”?请说明理由.

(1)因为$-2-1=-3,2×(-2)×1-1=-5$,$-3≠-5$,所以数对$(-2,1)$不是“同心有理数对”. 因为 $3-\frac{4}{7}=\frac{17}{7},2×3×\frac{4}{7}-1=\frac{17}{7}$,所以 $3-\frac{4}{7}=2×3×\frac{4}{7}-1$,所以$(3,\frac{4}{7})$是“同心有理数对”. 故答案为$(3,\frac{4}{7})$.
(2)因为$(a,3)$是“同心有理数对”,所以 $a-3=6a-1$.
等式两边同时减去 $a$,得 $a-3-a=6a-a-1$.
整理得$-3=5a-1$.
等式两边同时加上 1,得$-3+1=5a-1+1$.
整理得$-2=5a$.
等式两边同时除以 5,得 $a=-\frac{2}{5}$.
(3)$(-n,-m)$是“同心有理数对”. 理由如下:
因为$(m,n)$是“同心有理数对”,所以 $m-n=2mn-1$,而$-n-(-m)=-n+m=m-n=2mn-1$,所以$(-n,-m)$是“同心有理数对”.