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1[2025浙江杭州调研,较难]已知二次函数$y=-x(x+2m)+4m+3$($m$是实数).
(1)求函数图象的顶点坐标(用含$m$的代数式表示);
(2)若$m＜-2$,且函数图象的顶点在$x$轴上,当$t-3≤x≤t$时,函数最大值为$-4$,求$t$的值;
(3)对于该二次函数图象上的两点$A(a,p)$,$B(3,q)$,当$4≤a≤m+8$($m≥-4$)时,始终有$p≥q$成立,求$m$的取值范围.
(1)求函数图象的顶点坐标(用含$m$的代数式表示);
(2)若$m＜-2$,且函数图象的顶点在$x$轴上,当$t-3≤x≤t$时,函数最大值为$-4$,求$t$的值;
(3)对于该二次函数图象上的两点$A(a,p)$,$B(3,q)$,当$4≤a≤m+8$($m≥-4$)时,始终有$p≥q$成立,求$m$的取值范围.
答案
(1)$\because y=-x(x+2m)+4m+3=-x^2-2mx+4m+3=-(x+m)^2+m^2+4m+3$,$\therefore$ 函数图象的顶点坐标为$(-m,m^2+4m+3)$.
(2)$\because$ 函数图象的顶点在$x$轴上,$\therefore m^2+4m+3=0$,解得$m=-1$或$m=-3$.
$\because m＜-2$,$\therefore m=-3$,$\therefore$ 二次函数表达式为$y=-(x-3)^2$,$\therefore$ 二次函数图象的对称轴为直线$x=3$,且开口向下.
$\because$ 当$t-3≤x≤t$时,函数最大值为$-4$,$\therefore$ 当$t-3≥3$时,$t≥6$,则当$x=t-3$时,函数有最大值,$\therefore -4=-(t-3-3)^2$,即$(t-6)^2=4$,解得$t_1=8$,$t_2=4$(舍去);
当$t≤3$时,则当$x=t$时,函数有最大值,$\therefore -4=-(t-3)^2$,即$(t-3)^2=4$,解得$t_1=1$,$t_2=5$(舍去);
当$t-3＜3＜t$时,函数最大值为0,不符合题意.
综上,$t$的值为1或8.
(3)由(1)知二次函数图象的对称轴为直线$x=-m$,且开口向下.
$\because$ 二次函数图象上的两点$A(a,p)$,$B(3,q)$,当$4≤a≤m+8$($m≥-4$)时,始终有$p≥q$成立,$\therefore$ 点$A$到对称轴的距离小于或等于点$B$到对称轴的距离,
$\therefore |a-(-m)|≤|3-(-m)|$,即$|a+m|≤|3+m|$,
$\therefore (a+m)^2≤(3+m)^2$,$\therefore (a+3+2m)(a-3)≤0$.
$\because a≥4$,$\therefore a-3＞0$,$\therefore a+3+2m≤0$,$\therefore a≤-2m-3$,
$\therefore m+8≤-2m-3$,解得$m≤-\frac{11}{3}$.
$\because m≥-4$,$\therefore -4≤m≤-\frac{11}{3}$.
(2)$\because$ 函数图象的顶点在$x$轴上,$\therefore m^2+4m+3=0$,解得$m=-1$或$m=-3$.
$\because m＜-2$,$\therefore m=-3$,$\therefore$ 二次函数表达式为$y=-(x-3)^2$,$\therefore$ 二次函数图象的对称轴为直线$x=3$,且开口向下.
$\because$ 当$t-3≤x≤t$时,函数最大值为$-4$,$\therefore$ 当$t-3≥3$时,$t≥6$,则当$x=t-3$时,函数有最大值,$\therefore -4=-(t-3-3)^2$,即$(t-6)^2=4$,解得$t_1=8$,$t_2=4$(舍去);
当$t≤3$时,则当$x=t$时,函数有最大值,$\therefore -4=-(t-3)^2$,即$(t-3)^2=4$,解得$t_1=1$,$t_2=5$(舍去);
当$t-3＜3＜t$时,函数最大值为0,不符合题意.
综上,$t$的值为1或8.
(3)由(1)知二次函数图象的对称轴为直线$x=-m$,且开口向下.
$\because$ 二次函数图象上的两点$A(a,p)$,$B(3,q)$,当$4≤a≤m+8$($m≥-4$)时,始终有$p≥q$成立,$\therefore$ 点$A$到对称轴的距离小于或等于点$B$到对称轴的距离,
$\therefore |a-(-m)|≤|3-(-m)|$,即$|a+m|≤|3+m|$,
$\therefore (a+m)^2≤(3+m)^2$,$\therefore (a+3+2m)(a-3)≤0$.
$\because a≥4$,$\therefore a-3＞0$,$\therefore a+3+2m≤0$,$\therefore a≤-2m-3$,
$\therefore m+8≤-2m-3$,解得$m≤-\frac{11}{3}$.
$\because m≥-4$,$\therefore -4≤m≤-\frac{11}{3}$.
2[2025山东烟台期中,较难]如图,抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-1$,与$x$轴交于$A(-3,0),B(1,0)$两点,与$y$轴交于点$C(0,3)$,设抛物线的顶点为$D$.
(1)求抛物线的表达式.
(2)连结$AC,CD,DA$,试判断$△ ACD$的形状,并说明理由.
(3)若点$Q$在抛物线的对称轴上,抛物线上是否存在点$P$,使以$A,B,Q,P$四点为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出满足条件的点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的表达式.
(2)连结$AC,CD,DA$,试判断$△ ACD$的形状,并说明理由.
(3)若点$Q$在抛物线的对称轴上,抛物线上是否存在点$P$,使以$A,B,Q,P$四点为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出满足条件的点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)将$A(-3,0)$,$B(1,0)$,$C(0,3)$代入抛物线$y=ax^2+bx+c$中,得$\begin{cases}a· (-3)^2+b· (-3)+c=0,\\a· 1+b· 1+c=0,\\c=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1,\\b=-2,\\c=3,\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-x^2-2x+3$.
(2)$△ ACD$为直角三角形.理由如下:$\because$ 抛物线的表达式为$y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$,且$D$是抛物线的顶点,$\therefore D(-1,4)$.
又$\because A(-3,0)$,$C(0,3)$,$\therefore AD=\sqrt{[(-1)-(-3)]^2+(4-0)^2}=2\sqrt{5}$,$CD=\sqrt{[0-(-1)]^2+(3-4)^2}=\sqrt{2}$,$AC=\sqrt{[(-3)-0]^2+(0-3)^2}=3\sqrt{2}$,$\therefore AC^2+CD^2=AD^2$,$\therefore △ ACD$为直角三角形.
(3)存在.$\because Q$在抛物线对称轴上,$P$在抛物线上,$\therefore$ 可设$Q(-1,q)$,$P(p,-p^2-2p+3)$,则可分为以下三种情况进行讨论:①两条对角线为$AB$,$PQ$时,有
$\begin{cases}\dfrac{-3+1}{2}=\dfrac{-1+p}{2},\\\dfrac{0+0}{2}=\dfrac{q+(-p^2-2p+3)}{2},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}p=-1,\\q=-4,\end{cases}$
即此时$Q(-1,-4)$,$P(-1,4)$;
② 两条对角线为$AQ$,$BP$ 时,有
$\begin{cases}\dfrac{(-3)+(-1)}{2}=\dfrac{1+p}{2},\\\dfrac{0+q}{2}=\dfrac{0+(-p^2-2p+3)}{2},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}p=-5,\\q=-12,\end{cases}$
即此时$Q(-1,-12)$,$P(-5,-12)$;
③ 两条对角线为$AP$,$BQ$ 时,有
$\begin{cases}\dfrac{(-3)+p}{2}=\dfrac{1+(-1)}{2},\\\dfrac{0+(-p^2-2p+3)}{2}=\dfrac{0+q}{2},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}p=3,\\q=-12,\end{cases}$
即此时$Q(-1,-12)$,$P(3,-12)$.故满足条件的$P$点坐标为$(-1,4)$,$(-5,-12)$,$(3,-12)$.
解得$\begin{cases}a=-1,\\b=-2,\\c=3,\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-x^2-2x+3$.
(2)$△ ACD$为直角三角形.理由如下:$\because$ 抛物线的表达式为$y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$,且$D$是抛物线的顶点,$\therefore D(-1,4)$.
又$\because A(-3,0)$,$C(0,3)$,$\therefore AD=\sqrt{[(-1)-(-3)]^2+(4-0)^2}=2\sqrt{5}$,$CD=\sqrt{[0-(-1)]^2+(3-4)^2}=\sqrt{2}$,$AC=\sqrt{[(-3)-0]^2+(0-3)^2}=3\sqrt{2}$,$\therefore AC^2+CD^2=AD^2$,$\therefore △ ACD$为直角三角形.
(3)存在.$\because Q$在抛物线对称轴上,$P$在抛物线上,$\therefore$ 可设$Q(-1,q)$,$P(p,-p^2-2p+3)$,则可分为以下三种情况进行讨论:①两条对角线为$AB$,$PQ$时,有
$\begin{cases}\dfrac{-3+1}{2}=\dfrac{-1+p}{2},\\\dfrac{0+0}{2}=\dfrac{q+(-p^2-2p+3)}{2},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}p=-1,\\q=-4,\end{cases}$
即此时$Q(-1,-4)$,$P(-1,4)$;
② 两条对角线为$AQ$,$BP$ 时,有
$\begin{cases}\dfrac{(-3)+(-1)}{2}=\dfrac{1+p}{2},\\\dfrac{0+q}{2}=\dfrac{0+(-p^2-2p+3)}{2},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}p=-5,\\q=-12,\end{cases}$
即此时$Q(-1,-12)$,$P(-5,-12)$;
③ 两条对角线为$AP$,$BQ$ 时,有
$\begin{cases}\dfrac{(-3)+p}{2}=\dfrac{1+(-1)}{2},\\\dfrac{0+(-p^2-2p+3)}{2}=\dfrac{0+q}{2},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}p=3,\\q=-12,\end{cases}$
即此时$Q(-1,-12)$,$P(3,-12)$.故满足条件的$P$点坐标为$(-1,4)$,$(-5,-12)$,$(3,-12)$.
3[2026 浙江杭州西湖区调研,较难]定义:我们规定二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0$且$b≠c)$与$y=ax^2+cx+b(a≠0$且$b≠c)$互为“交叉函数”,它们图象的交点叫作“交叉点”.
(1)求证:互为“交叉函数”的两个二次函数的图象有且只有一个“交叉点”;
(2)二次函数$y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$与它的“交叉函数”$y=\frac{1}{2}x^2+cx+b$的图象与$y$轴分别交于$B,C$两点,它们的“交叉点”为$A$点,若$△ ABC$是以$BC$为底边的等腰直角三角形,求这两个函数的表达式.
(1)求证:互为“交叉函数”的两个二次函数的图象有且只有一个“交叉点”;
(2)二次函数$y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$与它的“交叉函数”$y=\frac{1}{2}x^2+cx+b$的图象与$y$轴分别交于$B,C$两点,它们的“交叉点”为$A$点,若$△ ABC$是以$BC$为底边的等腰直角三角形,求这两个函数的表达式.
答案
(1)【证明】联立两表达式得$\begin{cases}y=ax^2+bx+c,\\y=ax^2+cx+b,\end{cases}$ $\therefore ax^2+bx+c=ax^2+cx+b$,整理得$(b-c)(x-1)=0$. 又$\because b≠c$,$\therefore b-c≠0$,$\therefore x-1=0$,$\therefore x=1$,$\therefore$ 方程组$\begin{cases}y=ax^2+bx+c,\\y=ax^2+cx+b,\end{cases}$只有一组解$\begin{cases}x=1,\\y=a+b+c,\end{cases}$ $\therefore$ 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0$且$b≠c)$与$y=ax^2+cx+b(a≠0$且$b≠c)$的图象只有一个交点$(1,a+b+c)$,$\therefore$ 互为“交叉函数”的两个二次函数的图象有且只有一个“交叉点”.
(2)【解】根据题意画出示意图如图,过点$A$作$AD⊥ y$轴于点$D$.
对于二次函数$y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$,当$x=0$时,$y=c$;对于二次函数$y=\frac{1}{2}x^2+cx+b$,当$x=0$时,$y=b$,故$B(0,c)$,$C(0,b)$. 由(1)知二次函数$y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$与它的“交叉函数”$y=\frac{1}{2}x^2+cx+b$的图象的“交叉点”$A$的坐标为$(1,\frac{1}{2}+b+c)$,$\therefore BC=|b-c|$,$AD=1$,$D(0,\frac{1}{2}+b+c)$. $\because △ ABC$是以$BC$为底边的等腰直角三角形,$\therefore AC=AB$,$∠ BAC=90°$. 又$\because AD⊥ BC$,$\therefore$ 点$D$为$BC$的中点,$\therefore AD=\frac{1}{2}BC$,即$1=\frac{1}{2}|b-c|$,$\therefore |b-c|=2$. $\because$ 点$D$为$BC$的中点,$\therefore y_D=\frac{1}{2}(b+c)=\frac{1}{2}+b+c$,$\therefore b+c=-1$,联立得$\begin{cases}|b-c|=2,\\b+c=-1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=\frac{1}{2},\\c=-\frac{3}{2}\end{cases}$ 或$\begin{cases}b=-\frac{3}{2},\\c=\frac{1}{2},\end{cases}$ $\therefore$ 这两个函数的表达式为$y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$,$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$.
