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【典例1】
(1) 已知集合$M= \{ 0,1,2,3,4,5,6\},A= \{ -2,-1,0,1,2\},B= \{ y|y= x^{2},x∈A\}$,则$\complement _{M}B= $____；
(2) 已知集合$A= \{ x|2≤x≤5\},B= \{ x|3≤x＜4\}$,则$\complement _{A}B= $____.
(1) 已知集合$M= \{ 0,1,2,3,4,5,6\},A= \{ -2,-1,0,1,2\},B= \{ y|y= x^{2},x∈A\}$,则$\complement _{M}B= $____；
(2) 已知集合$A= \{ x|2≤x≤5\},B= \{ x|3≤x＜4\}$,则$\complement _{A}B= $____.
答案
解题指导
(1) 根据条件计算求得集合B,然后根据补集定义求$\complement _{M}B$.
(2) 在数轴上分别画出集合A和B,然后根据补集定义求$\complement _{A}B$.
解析
(1) 因为$A= \{ -2,-1,0,1,2\},B= \{ y|y= x^{2},x∈A\}$,所以令x分别取-2,-1,0,1,2,代入$y= x^{2}即可求得B= \{ 0,1,4\}$,所以$\complement _{M}B= \{ 2,3,5,6\}$.
(2) 根据题意画出数轴如图所示,所以$\complement _{A}B= \{ x|2≤x＜3或4≤x≤5\}$.
答案
(1)$\{ 2,3,5,6\}$ (2)$\{ x|2≤x＜3或4≤x≤5\}$
【变式1】
(1) 已知全集$U= R$,若集合$A= \{ x|1-\frac {1}{x}＜0\}$,则$\complement _{U}A= $()
A.$\{ x|x＜0或x＞1\}$
B.$\{ x|x≤0或x≥1\}$
C.$\{ x|0＜x＜1\}$
D.$\{ x|x≥1\}$
(1) 已知全集$U= R$,若集合$A= \{ x|1-\frac {1}{x}＜0\}$,则$\complement _{U}A= $()
A.$\{ x|x＜0或x＞1\}$
B.$\{ x|x≤0或x≥1\}$
C.$\{ x|0＜x＜1\}$
D.$\{ x|x≥1\}$
答案
(1)B (2)B (1)由1 - $\frac{1}{x}$＜0，得$\frac{1}{x}$＞1，解得0＜x＜1，∴集合A={x|0＜x＜1}，∴∁UA={x|x≤0或x≥1}。
(2) 已知$\complement _{Z}A= \{ x|x＜6,x∈Z\},\complement _{Z}B= \{ x|x≤2,x∈Z\}$,则()
A.$A= B$
B.$A\subsetneqq B$
C.$A\cap B= B$
D.$A\cup B= A$
A.$A= B$
B.$A\subsetneqq B$
C.$A\cap B= B$
D.$A\cup B= A$
答案
(2)由∁ZA={x|x＜6，x∈Z}，得A={x|x≥6，x∈Z}。由∁ZB={x|x≤2，x∈Z}，得B={x|x＞2，x∈Z}，
∴A⫋B，故A错误，B正确，A∩B=A，A∪B=B，故C，D错误。
∴A⫋B，故A错误，B正确，A∩B=A，A∪B=B，故C，D错误。
【典例2】
(1) 已知集合$U= \{ 1,2,3,4\},A= \{ 1,2\},B= \{ 2,3\}$,则$(A\cap (\complement _{U}B))\cup ((\complement _{U}A)\cap B)= $____；
(2) 已知全集$U= \{ 1,2,3,4,5,6\},A\cap B= \{ 2\},(\complement _{U}A)\cap (\complement _{U}B)= \{ 1\},(\complement _{U}A)\cap B= \{ 4,6\}$,则$A\cap (\complement _{U}B)= $____.
(1) 已知集合$U= \{ 1,2,3,4\},A= \{ 1,2\},B= \{ 2,3\}$,则$(A\cap (\complement _{U}B))\cup ((\complement _{U}A)\cap B)= $____；
(2) 已知全集$U= \{ 1,2,3,4,5,6\},A\cap B= \{ 2\},(\complement _{U}A)\cap (\complement _{U}B)= \{ 1\},(\complement _{U}A)\cap B= \{ 4,6\}$,则$A\cap (\complement _{U}B)= $____.
答案
解题指导
(1) 先分别计算$\complement _{U}A和\complement _{U}B$,然后分别计算$A\cap (\complement _{U}B)和(\complement _{U}A)\cap B$,最后计算$(A\cap (\complement _{U}B))\cup ((\complement _{U}A)\cap B)$.
(2) 根据题意画出Venn图,将数字标在对应位置求解.
解析
(1) ∵集合$U= \{ 1,2,3,4\},A= \{ 1,2\},B= \{ 2,3\}$,
∴$\complement _{U}B= \{ 1,4\},\complement _{U}A= \{ 3,4\}$,
∴$A\cap (\complement _{U}B)= \{ 1\},(\complement _{U}A)\cap B= \{ 3\}$,
∴$(A\cap (\complement _{U}B))\cup ((\complement _{U}A)\cap B)= \{ 1,3\}$.
(2) 由$A\cap B= \{ 2\}$,得$2∈A,2∈B$.
由$(\complement _{U}A)\cap (\complement _{U}B)= \{ 1\}$,得$1∉A,1∉B$.
由$(\complement _{U}A)\cap B= \{ 4,6\}$,得$\{ 4,6\} \subseteq B$,且$\{ 4,6\} \nsubseteq A$.
根据题意画出Venn图如图所示.
由图易得$A= \{ 2,3,5\},B= \{ 2,4,6\},\complement _{U}B= \{ 1,3,5\}$,∴$A\cap (\complement _{U}B)= \{ 3,5\}$.
答案
(1)$\{ 1,3\}$ (2)$\{ 3,5\}$
