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一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)
1. 下列方程中，属于二元一次方程的是(
A.$5x - y = 3z$
B.$x^{2} - y = 3$
C.$x + \frac{1}{y} = 3$
D.$3y + x = 1$
1. 下列方程中，属于二元一次方程的是(
D
)A.$5x - y = 3z$
B.$x^{2} - y = 3$
C.$x + \frac{1}{y} = 3$
D.$3y + x = 1$
答案
1. D
2. 如果$\begin{cases}x = 1,\\y = - 2\end{cases}$是关于$x$，$y$的二元一次方程$ax + y = 1$的解，那么$a$的值是( )
A.$-3$
B.$-1$
C.$1$
D.$3$
A.$-3$
B.$-1$
C.$1$
D.$3$
答案
2. D
解析
将$x = 1$，$y=-2$代入方程$ax + y = 1$，得$a×1 + (-2)=1$，即$a - 2 = 1$，解得$a=3$。
D
D
3. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}x + 3y = k,\\x + 2y = - 1\end{cases}$的解互为相反数，则$k$的值是( )
A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
答案
3. A
解析
因为方程组的解互为相反数，所以$x + y = 0$，即$y=-x$。
将$y=-x$代入$x + 2y=-1$，得$x + 2(-x)=-1$，
即$x - 2x=-1$，$-x=-1$，解得$x=1$。
则$y=-x=-1$。
把$x=1$，$y=-1$代入$x + 3y=k$，得$1 + 3×(-1)=k$，
即$1 - 3=k$，解得$k=-2$。
A
将$y=-x$代入$x + 2y=-1$，得$x + 2(-x)=-1$，
即$x - 2x=-1$，$-x=-1$，解得$x=1$。
则$y=-x=-1$。
把$x=1$，$y=-1$代入$x + 3y=k$，得$1 + 3×(-1)=k$，
即$1 - 3=k$，解得$k=-2$。
A
4. (2025·自贡)某小区人行道地砖铺设图案如图所示. 用 10 块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形，若大平行四边形短边长 40 cm，则小地砖短边长(
A.7 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm
B
)A.7 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm
答案
4. B
解析
设小平行四边形短边长为$x$ cm，长边长为$y$ cm。
由图可知，大平行四边形短边由5个小平行四边形短边组成，即$5x = 40$，解得$x = 8$。
B
由图可知，大平行四边形短边由5个小平行四边形短边组成，即$5x = 40$，解得$x = 8$。
B
二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)
5. 已知$\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases}$是方程$5x - ky = 7$的一个解，则$k =$ ______ .
5. 已知$\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases}$是方程$5x - ky = 7$的一个解，则$k =$ ______ .
答案
5. 1
解析
将$x = 2$，$y = 3$代入方程$5x - ky = 7$，得$5×2 - k×3 = 7$，即$10 - 3k = 7$，移项可得$-3k = 7 - 10$，$-3k = -3$，解得$k = 1$。
1
1
6. 若方程$mx + ny = 6$的两个解是$\begin{cases}x = 1,\\y = 1\end{cases}$和$\begin{cases}x = 2,\\y = - 2,\end{cases}$则$m$，$n$的值分别为 ______ .
答案
6. 4.5，1.5
解析
将$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$代入$mx + ny = 6$，得$m + n = 6$；将$\begin{cases}x = 2\\y = - 2\end{cases}$代入$mx + ny = 6$，得$2m - 2n = 6$，化简为$m - n = 3$。联立方程组$\begin{cases}m + n = 6\\m - n = 3\end{cases}$，两式相加得$2m = 9$，解得$m=\frac{9}{2}=4.5$，将$m = 4.5$代入$m + n = 6$，得$4.5 + n = 6$，解得$n = 1.5$。
4.5，1.5
4.5，1.5
7. (2025·河北)甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为$a$，$b$. 如图，将甲纸条的$\frac{1}{3}$与乙纸条的$\frac{2}{5}$叠合在一起，形成长为 81 的纸条，则$a + b =$
99
.答案
7. 99
解析
解：由题意得，甲纸条未叠合部分为$a - \frac{1}{3}a = \frac{2}{3}a$，乙纸条未叠合部分为$b - \frac{2}{5}b = \frac{3}{5}b$。
叠合部分长度为$\frac{1}{3}a = \frac{2}{5}b$，即$5a = 6b$，$a = \frac{6}{5}b$。
总长度为未叠合部分与叠合部分之和：$\frac{2}{3}a + \frac{3}{5}b + \frac{1}{3}a = a + \frac{3}{5}b = 81$。
将$a = \frac{6}{5}b$代入得：$\frac{6}{5}b + \frac{3}{5}b = \frac{9}{5}b = 81$，解得$b = 45$。
则$a = \frac{6}{5} × 45 = 54$，所以$a + b = 54 + 45 = 99$。
99
叠合部分长度为$\frac{1}{3}a = \frac{2}{5}b$，即$5a = 6b$，$a = \frac{6}{5}b$。
总长度为未叠合部分与叠合部分之和：$\frac{2}{3}a + \frac{3}{5}b + \frac{1}{3}a = a + \frac{3}{5}b = 81$。
将$a = \frac{6}{5}b$代入得：$\frac{6}{5}b + \frac{3}{5}b = \frac{9}{5}b = 81$，解得$b = 45$。
则$a = \frac{6}{5} × 45 = 54$，所以$a + b = 54 + 45 = 99$。
99
8. 设$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$，则$\frac{x - 2y + 3z}{x + y + z}$的值为
$\frac{8}{9}$
.答案
8. $\frac{8}{9}$
解析
设$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k$，则$x = 2k$，$y = 3k$，$z = 4k$。
$\begin{aligned}\frac{x - 2y + 3z}{x + y + z}&=\frac{2k - 2×3k + 3×4k}{2k + 3k + 4k}\\&=\frac{2k - 6k + 12k}{9k}\\&=\frac{8k}{9k}\\&=\frac{8}{9}\end{aligned}$
$\frac{8}{9}$
$\begin{aligned}\frac{x - 2y + 3z}{x + y + z}&=\frac{2k - 2×3k + 3×4k}{2k + 3k + 4k}\\&=\frac{2k - 6k + 12k}{9k}\\&=\frac{8k}{9k}\\&=\frac{8}{9}\end{aligned}$
$\frac{8}{9}$
三、解答题（共 60 分）
9. （16 分）解方程组：
(1)$\begin{cases}y = 2x - 1,\\3x + 2y = 5;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}5x - 2y = 4,\\2x - 3y = - 5.\end{cases}$
9. （16 分）解方程组：
(1)$\begin{cases}y = 2x - 1,\\3x + 2y = 5;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}5x - 2y = 4,\\2x - 3y = - 5.\end{cases}$
答案
9. 解：(1) $\begin{cases}y = 2x - 1, & ①\\3x + 2y = 5, & ②\end{cases}$
将①代入②，得 $3x + 2(2x - 1) = 5$，解得 $x = 1$。
将 $x = 1$ 代入①，得 $y = 1$。
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = 1,\\y = 1.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}5x - 2y = 4, & ①\\2x - 3y = -5. & ②\end{cases}$
①×2 - ②×5，得 $11y = 33$，解得 $y = 3$。
将 $y = 3$ 代入①，得 $5x - 6 = 4$，解得 $x = 2$。
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = 2,\\y = 3.\end{cases}$
将①代入②，得 $3x + 2(2x - 1) = 5$，解得 $x = 1$。
将 $x = 1$ 代入①，得 $y = 1$。
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = 1,\\y = 1.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}5x - 2y = 4, & ①\\2x - 3y = -5. & ②\end{cases}$
①×2 - ②×5，得 $11y = 33$，解得 $y = 3$。
将 $y = 3$ 代入①，得 $5x - 6 = 4$，解得 $x = 2$。
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = 2,\\y = 3.\end{cases}$
