8.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠DBC的平分线交CD于点E,交AC于点F,OF=1,则AB=。

8. $2+\sqrt{2}$

9.如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AE=AB，EF⊥AC交BC于点F，连接AF。求证：EC=EF=BF。

证明:在Rt△AEF 和 Rt△ABF 中，
∵AF=AF,AE=AB,
∴Rt△AEF≌Rt△ABF(HL)。
∴FE=FB。
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°。
∴∠CFE=45°。
∴∠ACB=∠CFE。
∴EC=EF。
∴EC=EF=BF。

10.【综合与实践】某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下:如图①,在正方形ABCD中,AB=4,将三角尺放在正方形ABCD上,使三角尺的直角顶点与点D重合,三角尺的一条直角边交AB于点P,另一条直角边交BC的延长线于点Q。
(1)求证:AP=CQ;
(2)如图②,小明在图①的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的数量关系,请猜测他的结论,并予以证明;
(3)在(2)的条件下,若AP=1,求PE的长。

(1) 证明:
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠A=∠BCD=∠DCQ=90°,AD=BC=CD=AB=4。
∵∠PDQ=90°,
∴∠ADP=∠CDQ。
在△APD和△CQD中，
∵∠A=∠DCQ,AD=CD,∠ADP=∠CDQ，
∴△APD≌△CQD(ASA)。
∴AP=CQ。
(2) PE=QE。
理由:由(1)得△APD≌△CQD，
∴PD=QD。
∵DE平分∠PDQ，
∴∠PDE=∠QDE。
在△PDE和△QDE中，
∵PD=QD,∠PDE=∠QDE,DE=DE，
∴△PDE≌△QDE(SAS)。
∴PE=QE。
(3) 由(2)得PE=QE,由(1)得CQ=AP=1。
∴BQ = BC + CQ = 5，BP = AB - AP=3。
设PE=QE=x,则BE=5-x。
在Rt△BPE中,由勾股定理,得 3²+(5-x)²=x²，
解得x=3.4,即PE的长为3.4。