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1.(5分)化简$\frac{a^2 -4}{a} · \frac{1}{a-2} - \frac{1}{a-2}$的结果是（
A.$0$
B.$\frac{a^2 -4}{a}$
C.$\frac{1}{a}$
D.$\frac{a^2 -a -4}{a^2 -2a}$
D
）A.$0$
B.$\frac{a^2 -4}{a}$
C.$\frac{1}{a}$
D.$\frac{a^2 -a -4}{a^2 -2a}$
答案
1. D
解析
【分析】
这是分式的混合运算题，解题遵循先乘除后加减的顺序：①先处理乘法运算，先对分子$a^2-4$用平方差公式因式分解，再约分得到乘积的结果；②再处理减法运算，对两个异分母分式通分，转化为同分母分式后分子相减，最后整理化简即可得到结果。
【解析】
解：先计算乘法部分：
$\frac{a^2 -4}{a} · \frac{1}{a-2} = \frac{(a+2)(a-2)}{a} · \frac{1}{a-2}$（利用平方差公式分解$a^2-4$）
约去公因式$a-2$，得：$\frac{a+2}{a}$
此时原式转化为：$\frac{a+2}{a} - \frac{1}{a-2}$
对两个异分母分式通分，最简公分母为$a(a-2)$：
$\frac{(a+2)(a-2)}{a(a-2)} - \frac{a}{a(a-2)}$
分子相减，分母不变：
$\frac{(a^2 -4) - a}{a(a-2)} = \frac{a^2 - a -4}{a^2 -2a}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.分式混合运算 2.平方差公式 3.分式通分约分
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题时要注意运算顺序，因式分解、通分、约分的步骤要规范，计算分子相减时要注意符号，避免漏乘或计算错误。
【难度系数】
0.7
这是分式的混合运算题，解题遵循先乘除后加减的顺序：①先处理乘法运算，先对分子$a^2-4$用平方差公式因式分解，再约分得到乘积的结果；②再处理减法运算，对两个异分母分式通分，转化为同分母分式后分子相减，最后整理化简即可得到结果。
【解析】
解：先计算乘法部分：
$\frac{a^2 -4}{a} · \frac{1}{a-2} = \frac{(a+2)(a-2)}{a} · \frac{1}{a-2}$（利用平方差公式分解$a^2-4$）
约去公因式$a-2$，得：$\frac{a+2}{a}$
此时原式转化为：$\frac{a+2}{a} - \frac{1}{a-2}$
对两个异分母分式通分，最简公分母为$a(a-2)$：
$\frac{(a+2)(a-2)}{a(a-2)} - \frac{a}{a(a-2)}$
分子相减，分母不变：
$\frac{(a^2 -4) - a}{a(a-2)} = \frac{a^2 - a -4}{a^2 -2a}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.分式混合运算 2.平方差公式 3.分式通分约分
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题时要注意运算顺序，因式分解、通分、约分的步骤要规范，计算分子相减时要注意符号，避免漏乘或计算错误。
【难度系数】
0.7
2.(5分)化简$(a-1)÷(\dfrac{1}{a}-1)$的结果是（
A.$-a$
B.$\dfrac{1}{a}$
C.$a$
D.$-\dfrac{1}{a}$
A
）A.$-a$
B.$\dfrac{1}{a}$
C.$a$
D.$-\dfrac{1}{a}$
答案
2. A
解析
【分析】
本题是分式的混合运算题，解题时遵循“有括号先算括号内”的运算顺序：第一步先对括号内的分式减法进行通分计算，第二步将分式除法转化为乘法运算，第三步观察分子分母的公因式，注意互为相反数的式子的变形，约分后即可得到化简结果，计算过程中要特别注意符号的处理。
【解析】
先计算括号内的分式减法：
$\dfrac{1}{a}-1=\dfrac{1}{a}-\dfrac{a}{a}=\dfrac{1-a}{a}$
将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）：
原式$=(a-1)÷\dfrac{1-a}{a}=(a-1)×\dfrac{a}{1-a}$
注意到$1-a=-(a-1)$，代入后约分：
$(a-1)×\dfrac{a}{-(a-1)}=-a$（$a≠0$且$a≠1$）
因此化简结果为$-a$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式混合运算、通分、约分
【点评】
本题考查分式的混合运算，核心是运算顺序的遵守和符号的正确处理，通分、约分是分式运算的基础技能，计算时注意识别互为相反数的因式，避免符号出错即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题是分式的混合运算题，解题时遵循“有括号先算括号内”的运算顺序：第一步先对括号内的分式减法进行通分计算，第二步将分式除法转化为乘法运算，第三步观察分子分母的公因式，注意互为相反数的式子的变形，约分后即可得到化简结果，计算过程中要特别注意符号的处理。
【解析】
先计算括号内的分式减法：
$\dfrac{1}{a}-1=\dfrac{1}{a}-\dfrac{a}{a}=\dfrac{1-a}{a}$
将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）：
原式$=(a-1)÷\dfrac{1-a}{a}=(a-1)×\dfrac{a}{1-a}$
注意到$1-a=-(a-1)$，代入后约分：
$(a-1)×\dfrac{a}{-(a-1)}=-a$（$a≠0$且$a≠1$）
因此化简结果为$-a$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式混合运算、通分、约分
【点评】
本题考查分式的混合运算，核心是运算顺序的遵守和符号的正确处理，通分、约分是分式运算的基础技能，计算时注意识别互为相反数的因式，避免符号出错即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
3.(9分)化简:
(1)$\frac{4x}{y} · \frac{y}{2x^2} - \frac{2}{x} =$
(2)$(1 - \frac{1}{x+1}) · \frac{x^2 -1}{x} =$
(3)(绥化中考)$\frac{x-y}{x} ÷ (x - \frac{2xy - y^2}{x}) =$
(1)$\frac{4x}{y} · \frac{y}{2x^2} - \frac{2}{x} =$
0
;(2)$(1 - \frac{1}{x+1}) · \frac{x^2 -1}{x} =$
$x-1$
;(3)(绥化中考)$\frac{x-y}{x} ÷ (x - \frac{2xy - y^2}{x}) =$
$\frac{1}{x-y}$
.答案
3. (1) 0 (2) $x-1$ (3) $\frac{1}{x-y}$
解析
【分析】
本题考查分式的混合运算，解题遵循以下思路：①运算顺序：先乘除后加减，有括号优先计算括号内的运算；②分式乘除运算优先约分再计算，可简化步骤；③括号内整式与分式加减时，将整式看作分母为1的分式通分后计算，最终结果需化为最简分式或整式。
【解析】
(1) 先计算乘法，再计算减法：
$\frac{4x}{y} · \frac{y}{2x^2} = \frac{4xy}{2x^2y} = \frac{2}{x}$，
代入原式得：$\frac{2}{x} - \frac{2}{x} = 0$。
(2) 先计算括号内的减法，再计算乘法：
括号内通分：$1 - \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1} = \frac{x}{x+1}$，
对$\frac{x^2-1}{x}$因式分解得$\frac{(x+1)(x-1)}{x}$，
相乘约分：$\frac{x}{x+1} · \frac{(x+1)(x-1)}{x} = x-1$。
(3) 先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法计算：
括号内通分：$x - \frac{2xy - y^2}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{2xy - y^2}{x} = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x} = \frac{(x-y)^2}{x}$，
除法变乘法：$\frac{x-y}{x} ÷ \frac{(x-y)^2}{x} = \frac{x-y}{x} × \frac{x}{(x-y)^2}$，
约分后得：$\frac{1}{x-y}$。
【答案】
(1) $0$；(2) $x-1$；(3) $\frac{1}{x-y}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式通分约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题型，核心考查分式运算规则、通分约分方法以及常用因式分解公式的应用，计算时注意运算顺序和符号问题，熟练掌握基础规则即可快速正确求解。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的混合运算，解题遵循以下思路：①运算顺序：先乘除后加减，有括号优先计算括号内的运算；②分式乘除运算优先约分再计算，可简化步骤；③括号内整式与分式加减时，将整式看作分母为1的分式通分后计算，最终结果需化为最简分式或整式。
【解析】
(1) 先计算乘法，再计算减法：
$\frac{4x}{y} · \frac{y}{2x^2} = \frac{4xy}{2x^2y} = \frac{2}{x}$，
代入原式得：$\frac{2}{x} - \frac{2}{x} = 0$。
(2) 先计算括号内的减法，再计算乘法：
括号内通分：$1 - \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1} = \frac{x}{x+1}$，
对$\frac{x^2-1}{x}$因式分解得$\frac{(x+1)(x-1)}{x}$，
相乘约分：$\frac{x}{x+1} · \frac{(x+1)(x-1)}{x} = x-1$。
(3) 先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法计算：
括号内通分：$x - \frac{2xy - y^2}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{2xy - y^2}{x} = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x} = \frac{(x-y)^2}{x}$，
除法变乘法：$\frac{x-y}{x} ÷ \frac{(x-y)^2}{x} = \frac{x-y}{x} × \frac{x}{(x-y)^2}$，
约分后得：$\frac{1}{x-y}$。
【答案】
(1) $0$；(2) $x-1$；(3) $\frac{1}{x-y}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式通分约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题型，核心考查分式运算规则、通分约分方法以及常用因式分解公式的应用，计算时注意运算顺序和符号问题，熟练掌握基础规则即可快速正确求解。
【难度系数】
0.7
4.(5分)(教材P155练习T2变式)一份稿件，甲单独完成需要b h，乙单独完成所用的时间比甲多2 h.如果甲、乙两人合作，那么完成这份稿件需要
$\frac{b^2 + 2b}{2b + 2}$
h.答案
4. $\frac{b^2 + 2b}{2b + 2}$
解析
【分析】
这是典型的工程类问题，解题思路如下：第一步，工程问题通常将工作总量看作单位“1”，根据“工作效率=工作总量÷工作时间”分别求出甲、乙的工作效率；第二步，两人合作的工作效率为两人效率之和；第三步，再根据“工作时间=工作总量÷总工作效率”列式，最后对分式进行化简即可得到结果。
【解析】
解：将这份稿件的工作总量看作单位“1”。
1. 求甲的工作效率：
甲单独完成需要$b$ h，因此甲的工作效率为$\frac{1}{b}$。
2. 求乙的工作效率：
乙单独完成的时间比甲多2 h，即乙单独完成需要$(b+2)$ h，因此乙的工作效率为$\frac{1}{b+2}$。
3. 求甲乙合作的总效率：
$\frac{1}{b} + \frac{1}{b+2} = \frac{b+2 + b}{b(b+2)} = \frac{2b+2}{b^2 + 2b}$
4. 求合作完成需要的时间：
工作时间 = 工作总量÷总效率，即：
$1 ÷ \frac{2b+2}{b^2 + 2b} = 1 × \frac{b^2 + 2b}{2b + 2} = \frac{b^2 + 2b}{2b + 2}$
【答案】
$\frac{b^2 + 2b}{2b + 2}$
【知识点】
工程问题数量关系；分式的加减运算；分式的除法运算
【点评】
本题是工程问题的常规考法，解题核心是将工作总量设为单位“1”，结合工作效率、工作时间、工作总量三者的关系列式，运算时注意分式通分、除法变乘法的规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类问题，解题思路如下：第一步，工程问题通常将工作总量看作单位“1”，根据“工作效率=工作总量÷工作时间”分别求出甲、乙的工作效率；第二步，两人合作的工作效率为两人效率之和；第三步，再根据“工作时间=工作总量÷总工作效率”列式，最后对分式进行化简即可得到结果。
【解析】
解：将这份稿件的工作总量看作单位“1”。
1. 求甲的工作效率：
甲单独完成需要$b$ h，因此甲的工作效率为$\frac{1}{b}$。
2. 求乙的工作效率：
乙单独完成的时间比甲多2 h，即乙单独完成需要$(b+2)$ h，因此乙的工作效率为$\frac{1}{b+2}$。
3. 求甲乙合作的总效率：
$\frac{1}{b} + \frac{1}{b+2} = \frac{b+2 + b}{b(b+2)} = \frac{2b+2}{b^2 + 2b}$
4. 求合作完成需要的时间：
工作时间 = 工作总量÷总效率，即：
$1 ÷ \frac{2b+2}{b^2 + 2b} = 1 × \frac{b^2 + 2b}{2b + 2} = \frac{b^2 + 2b}{2b + 2}$
【答案】
$\frac{b^2 + 2b}{2b + 2}$
【知识点】
工程问题数量关系；分式的加减运算；分式的除法运算
【点评】
本题是工程问题的常规考法，解题核心是将工作总量设为单位“1”，结合工作效率、工作时间、工作总量三者的关系列式，运算时注意分式通分、除法变乘法的规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
5.(5分)小强上山和下山的路程都是s km，上山的速度为x km/h，下山的速度为y km/h，则小强上山和下山的平均速度为
$\frac{2xy}{x+y}$
km/h.答案
5. $\frac{2xy}{x+y}$
解析
【分析】
解题首先要明确平均速度的核心计算逻辑：平均速度=总路程÷总时间，注意不能直接取上山和下山速度的算术平均值。解题分三步推进：第一步先算出上山加下山的总路程；第二步分别计算上山、下山的用时，求和得到总时间；第三步用总路程除以总时间，再通过分式的加减、约分运算化简得到结果。
【解析】
解：1. 计算总路程：上山和下山的路程均为$s\ \mathrm{km}$，因此总路程为$s+s=2s\ \mathrm{km}$
2. 计算总时间：上山用时$t_1=\frac{s}{x}\ \mathrm{h}$，下山用时$t_2=\frac{s}{y}\ \mathrm{h}$，总时间为：
$t=t_1+t_2=\frac{s}{x}+\frac{s}{y}=\frac{sy+sx}{xy}=\frac{s(x+y)}{xy}\ \mathrm{h}$
3. 计算平均速度：代入平均速度公式可得
$v=\frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}}=\frac{2s}{\frac{s(x+y)}{xy}}=2s×\frac{xy}{s(x+y)}=\frac{2xy}{x+y}\ \mathrm{km/h}$
【答案】
$\frac{2xy}{x+y}$
【知识点】
1. 平均速度计算 2. 分式加减运算 3. 分式约分化简
【点评】
本题易错点是误将两个速度的平均值当作平均速度，解题时需要牢记平均速度的定义，同时熟练掌握分式通分、约分的运算规则，才能准确化简得到结果。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确平均速度的核心计算逻辑：平均速度=总路程÷总时间，注意不能直接取上山和下山速度的算术平均值。解题分三步推进：第一步先算出上山加下山的总路程；第二步分别计算上山、下山的用时，求和得到总时间；第三步用总路程除以总时间，再通过分式的加减、约分运算化简得到结果。
【解析】
解：1. 计算总路程：上山和下山的路程均为$s\ \mathrm{km}$，因此总路程为$s+s=2s\ \mathrm{km}$
2. 计算总时间：上山用时$t_1=\frac{s}{x}\ \mathrm{h}$，下山用时$t_2=\frac{s}{y}\ \mathrm{h}$，总时间为：
$t=t_1+t_2=\frac{s}{x}+\frac{s}{y}=\frac{sy+sx}{xy}=\frac{s(x+y)}{xy}\ \mathrm{h}$
3. 计算平均速度：代入平均速度公式可得
$v=\frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}}=\frac{2s}{\frac{s(x+y)}{xy}}=2s×\frac{xy}{s(x+y)}=\frac{2xy}{x+y}\ \mathrm{km/h}$
【答案】
$\frac{2xy}{x+y}$
【知识点】
1. 平均速度计算 2. 分式加减运算 3. 分式约分化简
【点评】
本题易错点是误将两个速度的平均值当作平均速度，解题时需要牢记平均速度的定义，同时熟练掌握分式通分、约分的运算规则，才能准确化简得到结果。
【难度系数】
0.7
6. (5分)试卷上一个正确的式子$(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b})÷ \boldsymbol{■}=\frac{2}{a+b}$被小颖同学不小心滴上墨汁,则被墨汁遮住部分的式子为
$\frac{a}{a-b}$
.答案
6. $\frac{a}{a-b}$
解析
【分析】
本题是已知除法运算中的被除数和商，求除数的分式运算题。解题思路如下：首先根据除法各部分之间的关系“除数=被除数÷商”，将求被墨汁遮住的式子转化为分式的除法运算；其次先计算被除数中括号内的分式加法，通过通分化简得到结果；最后将分式除法转化为乘法运算，约分后即可得到未知式子。
【解析】
设被墨汁遮住的式子为$x$，根据题意可得：
$( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b} ) ÷ x = \frac{2}{a+b}$
根据除法各部分关系，得：
$x = ( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b} ) ÷ \frac{2}{a+b}$
第一步：计算括号内的分式加法，通分（最简公分母为$(a+b)(a-b)$）：
$\frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b} = \frac{a-b}{(a+b)(a-b)} + \frac{a+b}{(a+b)(a-b)} = \frac{(a-b)+(a+b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{2a}{(a+b)(a-b)}$
第二步：将分式除法转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数）：
$x = \frac{2a}{(a+b)(a-b)} × \frac{a+b}{2}$
第三步：约分计算：
分子的$2$和分母的$2$约掉，分子的$(a+b)$和分母的$(a+b)$约掉，得：
$x = \frac{a}{a-b}$
【答案】
$\frac{a}{a-b}$
【知识点】
分式的加减运算、分式的除法运算、分式的约分
【点评】
本题考查分式的混合运算应用，解题核心是利用除法的基本关系把求未知式转化为常规分式运算，计算过程中要注意通分时分子的符号变化，约分时要找准公因式，保证运算准确。
【难度系数】
0.75
本题是已知除法运算中的被除数和商，求除数的分式运算题。解题思路如下：首先根据除法各部分之间的关系“除数=被除数÷商”，将求被墨汁遮住的式子转化为分式的除法运算；其次先计算被除数中括号内的分式加法，通过通分化简得到结果；最后将分式除法转化为乘法运算，约分后即可得到未知式子。
【解析】
设被墨汁遮住的式子为$x$，根据题意可得：
$( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b} ) ÷ x = \frac{2}{a+b}$
根据除法各部分关系，得：
$x = ( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b} ) ÷ \frac{2}{a+b}$
第一步：计算括号内的分式加法，通分（最简公分母为$(a+b)(a-b)$）：
$\frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b} = \frac{a-b}{(a+b)(a-b)} + \frac{a+b}{(a+b)(a-b)} = \frac{(a-b)+(a+b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{2a}{(a+b)(a-b)}$
第二步：将分式除法转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数）：
$x = \frac{2a}{(a+b)(a-b)} × \frac{a+b}{2}$
第三步：约分计算：
分子的$2$和分母的$2$约掉，分子的$(a+b)$和分母的$(a+b)$约掉，得：
$x = \frac{a}{a-b}$
【答案】
$\frac{a}{a-b}$
【知识点】
分式的加减运算、分式的除法运算、分式的约分
【点评】
本题考查分式的混合运算应用，解题核心是利用除法的基本关系把求未知式转化为常规分式运算，计算过程中要注意通分时分子的符号变化，约分时要找准公因式，保证运算准确。
【难度系数】
0.75
7.(5分) 注重规律探究 已知 $ a_1 = x + 1(x ≠ 0 \mathrm{ 且 } x ≠ -1), a_2 = \frac{1}{1 - a_1}, a_3 = \frac{1}{1 - a_2}, \dots, a_n = \frac{1}{1 - a_{n-1}} $，则 $ a_{2024} $ 的值为
$-\frac{1}{x}$
。答案
7. $-\frac{1}{x}$
解析
【分析】
这是一道递推代数式的规律探究题，解题核心思路是：当所求项的序号n数值很大时，通常先计算前若干项的结果，观察是否存在周期性循环规律，找到周期后，用n除以周期得到余数，余数对应周期内的第几项，就是所求的$a_n$的值。接下来我们先依次计算$a_1,a_2,a_3,a_4$验证周期，再计算2024对应的余数即可求解。
【解析】
已知$a_1=x+1$（$x≠0$且$x≠-1$，保证所有分式分母不为0）
1. 计算$a_2$：
$a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-(x+1)}=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}$
2. 计算$a_3$：
$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{x})}=\frac{1}{\frac{x+1}{x}}=\frac{x}{x+1}$
3. 计算$a_4$：
$a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-\frac{x}{x+1}}=\frac{1}{\frac{1}{x+1}}=x+1$
可得$a_4=a_1$，说明数列每3项为一个循环周期，周期为3。
4. 计算2024除以周期3的余数：
$2024÷3=674······2$，余数为2，即$a_{2024}=a_2$。
【答案】
$-\frac{1}{x}$
【知识点】
分式化简，周期规律探究，代数式求值
【点评】
本题是典型的周期类规律探究题，解题关键是通过计算前几项找到循环周期，再利用余数定位所求项，解题时要注意分式化简的准确性，题目给出的x的取值范围已经保证所有运算的分母不为0，无需额外讨论。
【难度系数】
0.7
这是一道递推代数式的规律探究题，解题核心思路是：当所求项的序号n数值很大时，通常先计算前若干项的结果，观察是否存在周期性循环规律，找到周期后，用n除以周期得到余数，余数对应周期内的第几项，就是所求的$a_n$的值。接下来我们先依次计算$a_1,a_2,a_3,a_4$验证周期，再计算2024对应的余数即可求解。
【解析】
已知$a_1=x+1$（$x≠0$且$x≠-1$，保证所有分式分母不为0）
1. 计算$a_2$：
$a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-(x+1)}=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}$
2. 计算$a_3$：
$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{x})}=\frac{1}{\frac{x+1}{x}}=\frac{x}{x+1}$
3. 计算$a_4$：
$a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-\frac{x}{x+1}}=\frac{1}{\frac{1}{x+1}}=x+1$
可得$a_4=a_1$，说明数列每3项为一个循环周期，周期为3。
4. 计算2024除以周期3的余数：
$2024÷3=674······2$，余数为2，即$a_{2024}=a_2$。
【答案】
$-\frac{1}{x}$
【知识点】
分式化简，周期规律探究，代数式求值
【点评】
本题是典型的周期类规律探究题，解题关键是通过计算前几项找到循环周期，再利用余数定位所求项，解题时要注意分式化简的准确性，题目给出的x的取值范围已经保证所有运算的分母不为0，无需额外讨论。
【难度系数】
0.7
8.(12分)计算:
(1)(辽宁中考)$\frac{a}{a+1} · \frac{a^2 -1}{a^2} + \frac{1}{a}$;
(2)$( \frac{1}{x-1} - \frac{x+2}{1-x} ) ÷ \frac{x^2 +3x}{x-1}$;
(3)$( m+2 - \frac{5}{m-2} ) · \frac{m-2}{m-3}$.
(1)(辽宁中考)$\frac{a}{a+1} · \frac{a^2 -1}{a^2} + \frac{1}{a}$;
(2)$( \frac{1}{x-1} - \frac{x+2}{1-x} ) ÷ \frac{x^2 +3x}{x-1}$;
(3)$( m+2 - \frac{5}{m-2} ) · \frac{m-2}{m-3}$.
答案
8. 解:(1)原式$=\frac{a}{a+1} · \frac{(a+1)(a-1)}{a^2} + \frac{1}{a} = \frac{a-1}{a} + \frac{1}{a} = 1$.
(2) 原式$= \frac{1+x+2}{x-1} · \frac{x-1}{x(x+3)} = \frac{x+3}{x-1} · \frac{x-1}{x(x+3)} = \frac{1}{x}$.
(3) 原式$= \frac{m^2 -4 -5}{m-2} · \frac{m-2}{m-3} = \frac{(m-3)(m+3)}{m-2} · \frac{m-2}{m-3} = m+3$.
(2) 原式$= \frac{1+x+2}{x-1} · \frac{x-1}{x(x+3)} = \frac{x+3}{x-1} · \frac{x-1}{x(x+3)} = \frac{1}{x}$.
(3) 原式$= \frac{m^2 -4 -5}{m-2} · \frac{m-2}{m-3} = \frac{(m-3)(m+3)}{m-2} · \frac{m-2}{m-3} = m+3$.
解析
【分析】
本题是分式的混合运算，遵循“先乘除后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，解题时先将能因式分解的多项式因式分解，再通过约分、通分化为最简形式即可。各小问具体思路：(1)先计算乘法，对$a^2-1$用平方差公式因式分解，约分后得到同分母分式，再相加化简；(2)先处理括号内的减法，注意$1-x=-(x-1)$，统一分母后相加，再将除法转化为乘法，对$x^2+3x$提取公因式因式分解，最后约分；(3)先将括号内的整式通分，计算分子后用平方差公式因式分解，再与后面的分式相乘约分即可。
【解析】
(1) 原式$=\frac{a}{a+1} · \frac{(a+1)(a-1)}{a^2} + \frac{1}{a} = \frac{a-1}{a} + \frac{1}{a} = 1$
(2) 原式$= \frac{1+x+2}{x-1} · \frac{x-1}{x(x+3)} = \frac{x+3}{x-1} · \frac{x-1}{x(x+3)} = \frac{1}{x}$
(3) 原式$= \frac{m^2 -4 -5}{m-2} · \frac{m-2}{m-3} = \frac{(m-3)(m+3)}{m-2} · \frac{m-2}{m-3} = m+3$
【答案】
(1)$\boxed{1}$；(2)$\boxed{\dfrac{1}{x}}$；(3)$\boxed{m+3}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查运算顺序和运算规则的掌握，解题时要注意符号的处理，尤其是括号内分母互为相反数的情况，熟练运用因式分解能大幅简化运算过程，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
本题是分式的混合运算，遵循“先乘除后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，解题时先将能因式分解的多项式因式分解，再通过约分、通分化为最简形式即可。各小问具体思路：(1)先计算乘法，对$a^2-1$用平方差公式因式分解，约分后得到同分母分式，再相加化简；(2)先处理括号内的减法，注意$1-x=-(x-1)$，统一分母后相加，再将除法转化为乘法，对$x^2+3x$提取公因式因式分解，最后约分；(3)先将括号内的整式通分，计算分子后用平方差公式因式分解，再与后面的分式相乘约分即可。
【解析】
(1) 原式$=\frac{a}{a+1} · \frac{(a+1)(a-1)}{a^2} + \frac{1}{a} = \frac{a-1}{a} + \frac{1}{a} = 1$
(2) 原式$= \frac{1+x+2}{x-1} · \frac{x-1}{x(x+3)} = \frac{x+3}{x-1} · \frac{x-1}{x(x+3)} = \frac{1}{x}$
(3) 原式$= \frac{m^2 -4 -5}{m-2} · \frac{m-2}{m-3} = \frac{(m-3)(m+3)}{m-2} · \frac{m-2}{m-3} = m+3$
【答案】
(1)$\boxed{1}$；(2)$\boxed{\dfrac{1}{x}}$；(3)$\boxed{m+3}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查运算顺序和运算规则的掌握，解题时要注意符号的处理，尤其是括号内分母互为相反数的情况，熟练运用因式分解能大幅简化运算过程，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
9.(9分)化简：$( \frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-1} ) · \frac{x^2 -1}{x}$，甲、乙两名同学的部分运算过程如图.
(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________.(填序号)
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律.
(2)请选择其中一种解法，写出完整的解答过程.
(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________.(填序号)
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律.
(2)请选择其中一种解法，写出完整的解答过程.
答案
9. 解:(1) ② ③
(2) 答案不唯一,选择乙同学的解法,解答过程如下:原式$= \frac{x}{x+1} · \frac{x^2 -1}{x} + \frac{x}{x-1} · \frac{x^2 -1}{x} = \frac{x}{x+1} · \frac{(x+1)(x-1)}{x} + \frac{x}{x-1} · \frac{(x+1)(x-1)}{x} = x-1+x+1=2x$.
(2) 答案不唯一,选择乙同学的解法,解答过程如下:原式$= \frac{x}{x+1} · \frac{x^2 -1}{x} + \frac{x}{x-1} · \frac{x^2 -1}{x} = \frac{x}{x+1} · \frac{(x+1)(x-1)}{x} + \frac{x}{x-1} · \frac{(x+1)(x-1)}{x} = x-1+x+1=2x$.
解析
【分析】
(1) 分析两名同学的运算过程：甲同学将括号内的异分母分式通分转化为同分母分式，通分的依据是分式的基本性质；乙同学将括号外的分式分别与括号内的两个分式相乘再求和，依据是乘法分配律，对应选出序号即可。
(2) 若选择乙同学的解法，可先利用乘法分配律拆分算式，再将$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，分别约分后合并同类项即可得到结果；若选择甲同学的解法，先通分计算括号内分式的和，再与括号外的分式约分计算即可，两种方法最终结果一致。
【解析】
(1) 甲同学进行分式通分，依据是分式的基本性质，对应②；乙同学使用乘法分配律展开运算，对应③。
(2) 选择乙同学的解法，完整解答过程如下：
$\begin{aligned}原式&= \frac{x}{x+1} · \frac{x^2 -1}{x} + \frac{x}{x-1} · \frac{x^2 -1}{x} \\&= \frac{x}{x+1} · \frac{(x+1)(x-1)}{x} + \frac{x}{x-1} · \frac{(x+1)(x-1)}{x} \\&= (x-1) + (x+1) \\&= 2x\end{aligned}$
（若选择甲同学的解法，过程如下：
$\begin{aligned}原式&=[ \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)} ] · \frac{(x+1)(x-1)}{x} \\&=\frac{x^2 -x +x^2 +x}{(x+1)(x-1)} · \frac{(x+1)(x-1)}{x} \\&=\frac{2x^2}{x} \\&=2x\end{aligned}$）
【答案】
(1) $\boxed{②}$；$\boxed{③}$
(2) 化简结果为$\boxed{2x}$，解答过程参考上述解析。
【知识点】
分式的基本性质；乘法分配律；分式化简运算
【点评】
本题考查分式的化简，既可以按常规顺序先算括号内的加法再算乘法，也可以利用运算律简化计算，选择合适的运算方法能减少计算量，计算过程中要注意约分的前提是公因式不为0，确保分式有意义。
【难度系数】
0.8
(1) 分析两名同学的运算过程：甲同学将括号内的异分母分式通分转化为同分母分式，通分的依据是分式的基本性质；乙同学将括号外的分式分别与括号内的两个分式相乘再求和，依据是乘法分配律，对应选出序号即可。
(2) 若选择乙同学的解法，可先利用乘法分配律拆分算式，再将$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，分别约分后合并同类项即可得到结果；若选择甲同学的解法，先通分计算括号内分式的和，再与括号外的分式约分计算即可，两种方法最终结果一致。
【解析】
(1) 甲同学进行分式通分，依据是分式的基本性质，对应②；乙同学使用乘法分配律展开运算，对应③。
(2) 选择乙同学的解法，完整解答过程如下：
$\begin{aligned}原式&= \frac{x}{x+1} · \frac{x^2 -1}{x} + \frac{x}{x-1} · \frac{x^2 -1}{x} \\&= \frac{x}{x+1} · \frac{(x+1)(x-1)}{x} + \frac{x}{x-1} · \frac{(x+1)(x-1)}{x} \\&= (x-1) + (x+1) \\&= 2x\end{aligned}$
（若选择甲同学的解法，过程如下：
$\begin{aligned}原式&=[ \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)} ] · \frac{(x+1)(x-1)}{x} \\&=\frac{x^2 -x +x^2 +x}{(x+1)(x-1)} · \frac{(x+1)(x-1)}{x} \\&=\frac{2x^2}{x} \\&=2x\end{aligned}$）
【答案】
(1) $\boxed{②}$；$\boxed{③}$
(2) 化简结果为$\boxed{2x}$，解答过程参考上述解析。
【知识点】
分式的基本性质；乘法分配律；分式化简运算
【点评】
本题考查分式的化简，既可以按常规顺序先算括号内的加法再算乘法，也可以利用运算律简化计算，选择合适的运算方法能减少计算量，计算过程中要注意约分的前提是公因式不为0，确保分式有意义。
【难度系数】
0.8
