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9. (10分)先化简,再求值:$\frac{2b}{a+2b}+\frac{a}{2b-a}+\frac{4ab}{a^2-4b^2}$,其中$a+3b=0(b≠0)$.
答案
9. 解: 原式 = $\frac{2b(a-2b)}{(a+2b)(a-2b)} - \frac{a(a+2b)}{(a+2b)(a-2b)} + \frac{4ab}{(a+2b)(a-2b)} = \frac{2ab-4b^2-a^2-2ab+4ab}{(a+2b)(a-2b)} = \frac{-(a-2b)^2}{(a+2b)(a-2b)}=\frac{-a+2b}{a+2b}. \because a+3b=0,\therefore a=-3b.$
∴原式=$\frac{3b+2b}{-3b+2b}=-5.$
∴原式=$\frac{3b+2b}{-3b+2b}=-5.$
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题分两大步骤：第一步先化简分式，首先观察三个分式的分母，利用平方差公式对$a^2-4b^2$因式分解得$(a+2b)(a-2b)$，同时注意到$2b-a=-(a-2b)$，因此确定最简公分母为$(a+2b)(a-2b)$，将三个异分母分式转化为同分母分式后，按同分母分式加减法则计算，分子合并同类项后再因式分解，约分化为最简分式；第二步代入求值，根据已知条件$a+3b=0$得到$a=-3b$，代入最简分式，结合$b≠0$的条件约去$b$即可算出结果。计算过程中要重点注意符号变化，避免因符号处理错误失分。
【解析】
解：先对原式通分化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2b(a-2b)}{(a+2b)(a-2b)} - \frac{a(a+2b)}{(a+2b)(a-2b)} + \frac{4ab}{(a+2b)(a-2b)}\\&=\frac{2ab-4b^2 -a^2 -2ab +4ab}{(a+2b)(a-2b)}\\&=\frac{-a^2 +4ab -4b^2}{(a+2b)(a-2b)}\\&=\frac{-(a^2 -4ab +4b^2)}{(a+2b)(a-2b)}\\&=\frac{-(a-2b)^2}{(a+2b)(a-2b)}\\&=\frac{2b -a}{a+2b}\end{aligned}$
由$a+3b=0$（$b≠0$），可得$a=-3b$，代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=\frac{2b - (-3b)}{-3b +2b}=\frac{5b}{-b}=-5$
【答案】
$\boxed{-5}$
【知识点】
分式的加减运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题核心考查分式的加减混合运算及化简求值，解题的关键是准确确定最简公分母，正确处理运算过程中的符号，同时熟练运用因式分解对分式约分，代入求值时利用已知条件消元即可，需注意题目隐含的分母不为0的限制条件。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值题，解题分两大步骤：第一步先化简分式，首先观察三个分式的分母，利用平方差公式对$a^2-4b^2$因式分解得$(a+2b)(a-2b)$，同时注意到$2b-a=-(a-2b)$，因此确定最简公分母为$(a+2b)(a-2b)$，将三个异分母分式转化为同分母分式后，按同分母分式加减法则计算，分子合并同类项后再因式分解，约分化为最简分式；第二步代入求值，根据已知条件$a+3b=0$得到$a=-3b$，代入最简分式，结合$b≠0$的条件约去$b$即可算出结果。计算过程中要重点注意符号变化，避免因符号处理错误失分。
【解析】
解：先对原式通分化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2b(a-2b)}{(a+2b)(a-2b)} - \frac{a(a+2b)}{(a+2b)(a-2b)} + \frac{4ab}{(a+2b)(a-2b)}\\&=\frac{2ab-4b^2 -a^2 -2ab +4ab}{(a+2b)(a-2b)}\\&=\frac{-a^2 +4ab -4b^2}{(a+2b)(a-2b)}\\&=\frac{-(a^2 -4ab +4b^2)}{(a+2b)(a-2b)}\\&=\frac{-(a-2b)^2}{(a+2b)(a-2b)}\\&=\frac{2b -a}{a+2b}\end{aligned}$
由$a+3b=0$（$b≠0$），可得$a=-3b$，代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=\frac{2b - (-3b)}{-3b +2b}=\frac{5b}{-b}=-5$
【答案】
$\boxed{-5}$
【知识点】
分式的加减运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题核心考查分式的加减混合运算及化简求值，解题的关键是准确确定最简公分母，正确处理运算过程中的符号，同时熟练运用因式分解对分式约分，代入求值时利用已知条件消元即可，需注意题目隐含的分母不为0的限制条件。
【难度系数】
0.7
10. (12 分)已知$\frac{A}{x+1}-\frac{B}{x-3}=\frac{x+5}{(x+1)(x-3)}$(其中$A,B$为常数),求$A^{2025}· B$的值.
答案
10. 解：$\frac{A}{x+1}-\frac{B}{x-3} = \frac{A(x-3)-B(x+1)}{(x+1)(x-3)} = \frac{(A-B)x+(-3A-B)}{(x+1)(x-3)}. \because \frac{A}{x+1} - \frac{B}{x-3} = \frac{x+5}{(x+1)(x-3)},\therefore \begin{cases} A-B=1,\\ -3A-B=5, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} A=-1,\\ B=-2. \end{cases}$ $\therefore A^{2025} · B=(-1)^{2025} × (-2)=2.$
解析
【分析】
首先观察等式两边的分式分母相同，因此先对左侧的异分母分式进行通分化简，得到同分母分式后，根据“分母相等的两个分式相等，则分子对应相等”的原理，可得左右两侧分子的多项式恒等，再利用多项式恒等时同次项系数相等的性质，列出关于A、B的二元一次方程组，求解得到A、B的数值后，代入所求代数式计算即可。
【解析】
先对等式左侧通分计算：
$\frac{A}{x+1}-\frac{B}{x-3} = \frac{A(x-3)-B(x+1)}{(x+1)(x-3)} = \frac{(A-B)x+(-3A-B)}{(x+1)(x-3)}$
已知$\frac{A}{x+1} - \frac{B}{x-3} = \frac{x+5}{(x+1)(x-3)}$，两个分式分母相同，因此分子相等，可得：
$(A-B)x+(-3A-B) = x + 5$
根据多项式恒等时同次项系数对应相等，列方程组：
$\begin{cases} A-B=1\\ -3A-B=5 \end{cases}$
解这个方程组：用第一个方程减第二个方程，得$(A-B) - (-3A - B) = 1 - 5$，即$4A = -4$，解得$A=-1$，将$A=-1$代入$A-B=1$，得$-1 - B =1$，解得$B=-2$。
将$A=-1$，$B=-2$代入$A^{2025}· B$计算：
$A^{2025} · B=(-1)^{2025} × (-2)=(-1)×(-2)=2$
【答案】
2
【知识点】
异分母分式减法、多项式恒等性质、二元一次方程组求解
【点评】
本题是分式运算与代数恒等变形结合的典型题型，解题核心是将分式相等的条件转化为系数对应相等的方程组，既考查了分式的基本运算能力，也考查了代数转化的思想，计算时要注意负数奇次幂的符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
首先观察等式两边的分式分母相同，因此先对左侧的异分母分式进行通分化简，得到同分母分式后，根据“分母相等的两个分式相等，则分子对应相等”的原理，可得左右两侧分子的多项式恒等，再利用多项式恒等时同次项系数相等的性质，列出关于A、B的二元一次方程组，求解得到A、B的数值后，代入所求代数式计算即可。
【解析】
先对等式左侧通分计算：
$\frac{A}{x+1}-\frac{B}{x-3} = \frac{A(x-3)-B(x+1)}{(x+1)(x-3)} = \frac{(A-B)x+(-3A-B)}{(x+1)(x-3)}$
已知$\frac{A}{x+1} - \frac{B}{x-3} = \frac{x+5}{(x+1)(x-3)}$，两个分式分母相同，因此分子相等，可得：
$(A-B)x+(-3A-B) = x + 5$
根据多项式恒等时同次项系数对应相等，列方程组：
$\begin{cases} A-B=1\\ -3A-B=5 \end{cases}$
解这个方程组：用第一个方程减第二个方程，得$(A-B) - (-3A - B) = 1 - 5$，即$4A = -4$，解得$A=-1$，将$A=-1$代入$A-B=1$，得$-1 - B =1$，解得$B=-2$。
将$A=-1$，$B=-2$代入$A^{2025}· B$计算：
$A^{2025} · B=(-1)^{2025} × (-2)=(-1)×(-2)=2$
【答案】
2
【知识点】
异分母分式减法、多项式恒等性质、二元一次方程组求解
【点评】
本题是分式运算与代数恒等变形结合的典型题型，解题核心是将分式相等的条件转化为系数对应相等的方程组，既考查了分式的基本运算能力，也考查了代数转化的思想，计算时要注意负数奇次幂的符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
11.(12分)甲、乙两个工程队分别承担一条长20 km的公路不同的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路x km，另一半时间每天维修y km；乙队维修前10 km公路时，每天维修x km，维修后10 km公路时，每天维修y km(x≠y).问甲、乙两队哪一队先完成任务？
答案
11. 解: 由题意,得甲队完成任务需要的时间为 $\frac{20}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y}=\frac{40}{x+y}$(天),乙队完成任务需要的时间为 $(\frac{10}{x}+\frac{10}{y})$天. 甲、乙两队完成任务的时间的差为 $\frac{40}{x+y} - (\frac{10}{x}+\frac{10}{y}) = \frac{40xy-10(x+y)^2}{xy(x+y)} = \frac{-10(x-y)^2}{xy(x+y)}.$ $\because x＞0,y＞0,且x≠y,\therefore -10(x-y)^2＜0,xy(x+y)＞0. \therefore \frac{-10(x-y)^2}{xy(x+y)}＜0,即\frac{40}{x+y}＜\frac{10}{x}+\frac{10}{y}. \therefore 甲队先完成任务.$
解析
【分析】
要判断哪队先完成任务，核心是比较两队完成任务的总用时，用时更短的队伍先完成。解题可按三步推进：第一步，根据两队的工作方式，分别表示出甲、乙两队的总工作时间；第二步，用作差法计算两队时间的差值，通过分式加减运算对差值化简；第三步，结合x＞0、y＞0且x≠y的条件，判断差值的正负，进而比较两个时间的大小，得出最终结论。
【解析】
解：设甲队完成任务需要的时间为$t_甲$，乙队完成任务需要的时间为$t_乙$。
根据题意，甲队一半时间每天维修x km，另一半时间每天维修y km，可得：
$\frac{1}{2}t_甲 · x + \frac{1}{2}t_甲 · y = 20$，整理得$t_甲 = \frac{20}{\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y} = \frac{40}{x+y}$（天）。
乙队维修前10km每天修x km，后10km每天修y km，因此总用时：
$t_乙 = \frac{10}{x} + \frac{10}{y}$（天）。
计算两队用时的差值：
$t_甲 - t_乙 = \frac{40}{x+y} - (\frac{10}{x}+\frac{10}{y}) = \frac{40xy - 10(x+y)^2}{xy(x+y)} = \frac{-10(x-y)^2}{xy(x+y)}$。
∵x＞0，y＞0，且x≠y，
∴$(x-y)^2＞0$，则$-10(x-y)^2＜0$，同时$xy(x+y)＞0$，
∴$\frac{-10(x-y)^2}{xy(x+y)} ＜ 0$，即$t_甲 ＜ t_乙$。
【答案】
甲队先完成任务
【知识点】
1. 分式的加减运算
2. 作差法比较大小
3. 分式的实际应用
【点评】
本题以工程维修问题为载体，考查分式运算和代数式大小比较的实际运用，解题的关键是准确提炼题中的数量关系，正确表示两队的工作时间，再通过作差化简结合已知条件判断大小，需注意隐含的x、y均为正数的条件。
【难度系数】
0.7
要判断哪队先完成任务，核心是比较两队完成任务的总用时，用时更短的队伍先完成。解题可按三步推进：第一步，根据两队的工作方式，分别表示出甲、乙两队的总工作时间；第二步，用作差法计算两队时间的差值，通过分式加减运算对差值化简；第三步，结合x＞0、y＞0且x≠y的条件，判断差值的正负，进而比较两个时间的大小，得出最终结论。
【解析】
解：设甲队完成任务需要的时间为$t_甲$，乙队完成任务需要的时间为$t_乙$。
根据题意，甲队一半时间每天维修x km，另一半时间每天维修y km，可得：
$\frac{1}{2}t_甲 · x + \frac{1}{2}t_甲 · y = 20$，整理得$t_甲 = \frac{20}{\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y} = \frac{40}{x+y}$（天）。
乙队维修前10km每天修x km，后10km每天修y km，因此总用时：
$t_乙 = \frac{10}{x} + \frac{10}{y}$（天）。
计算两队用时的差值：
$t_甲 - t_乙 = \frac{40}{x+y} - (\frac{10}{x}+\frac{10}{y}) = \frac{40xy - 10(x+y)^2}{xy(x+y)} = \frac{-10(x-y)^2}{xy(x+y)}$。
∵x＞0，y＞0，且x≠y，
∴$(x-y)^2＞0$，则$-10(x-y)^2＜0$，同时$xy(x+y)＞0$，
∴$\frac{-10(x-y)^2}{xy(x+y)} ＜ 0$，即$t_甲 ＜ t_乙$。
【答案】
甲队先完成任务
【知识点】
1. 分式的加减运算
2. 作差法比较大小
3. 分式的实际应用
【点评】
本题以工程维修问题为载体，考查分式运算和代数式大小比较的实际运用，解题的关键是准确提炼题中的数量关系，正确表示两队的工作时间，再通过作差化简结合已知条件判断大小，需注意隐含的x、y均为正数的条件。
【难度系数】
0.7
12. (10分) 注重规律探究 观察下列等式：
$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$；
$\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}$；$\frac{1}{4}=\frac{1}{5}+\frac{1}{20}$；
……
(1)根据上面式子的规律归纳出一个一般的结论：
(2)请运用分式的有关知识，证明(1)中的结论是正确的.
$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$；
$\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}$；$\frac{1}{4}=\frac{1}{5}+\frac{1}{20}$；
……
(1)根据上面式子的规律归纳出一个一般的结论：
$\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}$
；(用含$n$的等式表示，其中$n$为正整数)(2)请运用分式的有关知识，证明(1)中的结论是正确的.
答案
12. (1) $\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}$ (2) 证明如下：$\because \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n(n+1)}+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n+1}{n(n+1)}=\frac{1}{n},\therefore \frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}.$
解析
【分析】
(1) 找规律时先观察等式左右两边的结构：左边分子都是1，分母依次为1、2、3、4……对应正整数n，可表示为$\frac{1}{n}$；再看右边两个加数，第一个加数的分母比左边的分母大1，即$\frac{1}{n+1}$，第二个加数的分母是左边分母与第一个加分母的乘积，即$\frac{1}{n(n+1)}$，由此可归纳出一般结论。
(2) 证明结论成立时，只需对等式右边的两个异分母分式进行加法运算，先通分化为同分母分式，再相加化简，若结果等于左边的$\frac{1}{n}$，即可证明结论正确。
【解析】
(1) 观察给出的等式：
当n=1时，$\frac{1}{1}=\frac{1}{1+1}+\frac{1}{1×(1+1)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$，符合已知等式；
当n=2时，$\frac{1}{2}=\frac{1}{2+1}+\frac{1}{2×(2+1)}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$，符合已知等式；
当n=3时，$\frac{1}{3}=\frac{1}{3+1}+\frac{1}{3×(3+1)}=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}$，符合已知等式；
……
由此可归纳出一般结论。
(2) 证明时，先找右边两个分式的最简公分母为$n(n+1)$，通分后按照同分母分式加法法则计算，再约分即可验证和左边相等。
【答案】
(1) $\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}$（n为正整数）
(2) 证明如下：$\because \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n(n+1)}+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n+1}{n(n+1)}=\frac{1}{n},\therefore \frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}.$
【知识点】
数字规律探究；异分母分式加法；分式约分
【点评】
本题是规律探究与分式运算的结合类题目，需要先通过观察已知等式的结构特征归纳出通用结论，再利用分式的运算规则验证结论，解题的关键是准确找到式子的变化规律，同时注意通分、约分的运算正确性。
【难度系数】
0.8
(1) 找规律时先观察等式左右两边的结构：左边分子都是1，分母依次为1、2、3、4……对应正整数n，可表示为$\frac{1}{n}$；再看右边两个加数，第一个加数的分母比左边的分母大1，即$\frac{1}{n+1}$，第二个加数的分母是左边分母与第一个加分母的乘积，即$\frac{1}{n(n+1)}$，由此可归纳出一般结论。
(2) 证明结论成立时，只需对等式右边的两个异分母分式进行加法运算，先通分化为同分母分式，再相加化简，若结果等于左边的$\frac{1}{n}$，即可证明结论正确。
【解析】
(1) 观察给出的等式：
当n=1时，$\frac{1}{1}=\frac{1}{1+1}+\frac{1}{1×(1+1)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$，符合已知等式；
当n=2时，$\frac{1}{2}=\frac{1}{2+1}+\frac{1}{2×(2+1)}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$，符合已知等式；
当n=3时，$\frac{1}{3}=\frac{1}{3+1}+\frac{1}{3×(3+1)}=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}$，符合已知等式；
……
由此可归纳出一般结论。
(2) 证明时，先找右边两个分式的最简公分母为$n(n+1)$，通分后按照同分母分式加法法则计算，再约分即可验证和左边相等。
【答案】
(1) $\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}$（n为正整数）
(2) 证明如下：$\because \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n(n+1)}+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n+1}{n(n+1)}=\frac{1}{n},\therefore \frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}.$
【知识点】
数字规律探究；异分母分式加法；分式约分
【点评】
本题是规律探究与分式运算的结合类题目，需要先通过观察已知等式的结构特征归纳出通用结论，再利用分式的运算规则验证结论，解题的关键是准确找到式子的变化规律，同时注意通分、约分的运算正确性。
【难度系数】
0.8
