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相似三角形的性质定理2
相似三角形的面积比等于
相似三角形的面积比等于
相似比的平方
.答案
相似比的平方
解析
【分析】
我们可以结合三角形面积公式和相似三角形的对应线段性质推导结论。首先回忆：相似三角形的对应边、对应高、对应中线等所有对应线段的比都等于相似比；而三角形的面积计算公式为$\frac{1}{2}×底×高$，两个相似三角形的底和对应高的比都等于相似比，将两者结合计算面积的比值，就能得到对应的性质结论。
【解析】
设两个相似三角形的相似比为$k$，根据相似三角形的性质，它们对应底的比为$k$，对应底边上的高的比也为$k$。
设较小三角形的底为$a$，对应高为$h$，则较大三角形的底为$ka$，对应高为$kh$。
较小三角形面积：$S_1=\frac{1}{2}ah$
较大三角形面积：$S_2=\frac{1}{2} × ka × kh = \frac{1}{2}k^2 ah$
则面积比$\frac{S_2}{S_1}=\frac{\frac{1}{2}k^2 ah}{\frac{1}{2}ah}=k^2$，因此相似三角形的面积比等于相似比的平方。
【答案】
相似比的平方
【知识点】
相似三角形的性质、三角形面积计算
【点评】
该知识点是相似三角形相关内容的核心考点之一，常与相似三角形的判定、周长比等知识点结合考查，学习时要注意区分面积比和周长比的规律，避免混淆，建议结合推导过程理解记忆。
【难度系数】
0.9
我们可以结合三角形面积公式和相似三角形的对应线段性质推导结论。首先回忆：相似三角形的对应边、对应高、对应中线等所有对应线段的比都等于相似比；而三角形的面积计算公式为$\frac{1}{2}×底×高$，两个相似三角形的底和对应高的比都等于相似比，将两者结合计算面积的比值，就能得到对应的性质结论。
【解析】
设两个相似三角形的相似比为$k$，根据相似三角形的性质，它们对应底的比为$k$，对应底边上的高的比也为$k$。
设较小三角形的底为$a$，对应高为$h$，则较大三角形的底为$ka$，对应高为$kh$。
较小三角形面积：$S_1=\frac{1}{2}ah$
较大三角形面积：$S_2=\frac{1}{2} × ka × kh = \frac{1}{2}k^2 ah$
则面积比$\frac{S_2}{S_1}=\frac{\frac{1}{2}k^2 ah}{\frac{1}{2}ah}=k^2$，因此相似三角形的面积比等于相似比的平方。
【答案】
相似比的平方
【知识点】
相似三角形的性质、三角形面积计算
【点评】
该知识点是相似三角形相关内容的核心考点之一，常与相似三角形的判定、周长比等知识点结合考查，学习时要注意区分面积比和周长比的规律，避免混淆，建议结合推导过程理解记忆。
【难度系数】
0.9
【例】如图，在$△ ABC$中，点$D,E$分别在边$AB,AC$上，若$DE// BC,DE=2,BC=3,AE=3.$
(1)求$AC$的值.
(2)若$△ ADE$的面积为20，求$△ ABC$的面积.
(1)求$AC$的值.
(2)若$△ ADE$的面积为20，求$△ ABC$的面积.
答案
解:(1)$\because DE// BC$,
$\therefore △ ADE∽ △ ABC$,
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$,即$\frac{3}{AC}=\frac{2}{3}$,
$\therefore AC=\frac{9}{2}$.
(2)$\because △ ADE∽ △ ABC$,
$\therefore \frac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADE}}=(\frac{BC}{DE})^2=\frac{9}{4}$,
$\because △ ADE$的面积为20,
$\therefore S_{△ ABC}=20× \frac{9}{4}=45$.
$\therefore △ ADE∽ △ ABC$,
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$,即$\frac{3}{AC}=\frac{2}{3}$,
$\therefore AC=\frac{9}{2}$.
(2)$\because △ ADE∽ △ ABC$,
$\therefore \frac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADE}}=(\frac{BC}{DE})^2=\frac{9}{4}$,
$\because △ ADE$的面积为20,
$\therefore S_{△ ABC}=20× \frac{9}{4}=45$.
解析
【分析】
首先观察已知条件，DE平行于BC，根据相似三角形的判定定理可推出△ADE∽△ABC。(1)要求AC的长度，可利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的DE、BC、AE的长度列比例式求解；(2)要求△ABC的面积，可利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，先算出两三角形的面积比，再结合△ADE的面积求解即可。
【解析】
(1) $\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE∽ △ ABC$，
根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
将$DE=2,BC=3,AE=3$代入得$\frac{3}{AC}=\frac{2}{3}$，
解得$AC=\frac{9}{2}$。
(2) $\because △ ADE∽ △ ABC$，相似比为$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，
$\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=\frac{4}{9}$，即$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADE}}=\frac{9}{4}$，
$\because △ ADE$的面积为20，
$\therefore S_{△ ABC}=20× \frac{9}{4}=45$。
【答案】
(1) $AC=\frac{9}{2}$；(2) $△ ABC$的面积为45
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形对应边成比例，相似三角形面积比性质
【点评】
本题属于相似三角形应用的基础题，解题核心是先由平行关系判定三角形相似，再根据所求量选择对应的相似性质列式计算，注意不要混淆相似三角形的面积比和相似比的对应关系。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件，DE平行于BC，根据相似三角形的判定定理可推出△ADE∽△ABC。(1)要求AC的长度，可利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的DE、BC、AE的长度列比例式求解；(2)要求△ABC的面积，可利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，先算出两三角形的面积比，再结合△ADE的面积求解即可。
【解析】
(1) $\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE∽ △ ABC$，
根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
将$DE=2,BC=3,AE=3$代入得$\frac{3}{AC}=\frac{2}{3}$，
解得$AC=\frac{9}{2}$。
(2) $\because △ ADE∽ △ ABC$，相似比为$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，
$\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=\frac{4}{9}$，即$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADE}}=\frac{9}{4}$，
$\because △ ADE$的面积为20，
$\therefore S_{△ ABC}=20× \frac{9}{4}=45$。
【答案】
(1) $AC=\frac{9}{2}$；(2) $△ ABC$的面积为45
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形对应边成比例，相似三角形面积比性质
【点评】
本题属于相似三角形应用的基础题，解题核心是先由平行关系判定三角形相似，再根据所求量选择对应的相似性质列式计算，注意不要混淆相似三角形的面积比和相似比的对应关系。
【难度系数】
0.8
【变式1】(2025沧州期末)若$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，且相似比为$2:3$，则$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积比为（
A.$2:3$
B.$3:2$
C.$4:9$
D.$9:4$
C
）A.$2:3$
B.$3:2$
C.$4:9$
D.$9:4$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先提取题干关键信息：两个三角形相似，且给出对应相似比为2:3，要求面积比。我们需要回忆相似三角形的相关性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，同时注意相似比的前后项与所求面积比的前后项要保持一致，避免颠倒对应关系。
【解析】
已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$2:3$。
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。
因此$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积比为$(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}=4:9$。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查相似三角形面积比与相似比的关系，解题时需注意相似比的前后对应关系，牢记面积比是相似比的平方即可快速求解，避免出现忘记平方或前后项颠倒的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先提取题干关键信息：两个三角形相似，且给出对应相似比为2:3，要求面积比。我们需要回忆相似三角形的相关性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，同时注意相似比的前后项与所求面积比的前后项要保持一致，避免颠倒对应关系。
【解析】
已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$2:3$。
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。
因此$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积比为$(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}=4:9$。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查相似三角形面积比与相似比的关系，解题时需注意相似比的前后对应关系，牢记面积比是相似比的平方即可快速求解，避免出现忘记平方或前后项颠倒的错误。
【难度系数】
0.8
【变式2】如果$△ ABC ∽ △ DEF$，$△ ABC$与$△ DEF$的面积分别是25和36，其中$△ ABC$的最短边的长度是5，那么$△ DEF$的最短边的长度是（
A.16
B.25
C.5
D.6
D
）A.16
B.25
C.5
D.6
答案
D
解析
【分析】
本题考查相似三角形性质的应用，解题思路如下：首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，且相似三角形对应边的比等于相似比。第一步先计算两个三角形的面积比，第二步由面积比开平方求出相似比，第三步根据两个三角形的最短边是对应边，其比值等于相似比，列比例式即可求出△DEF的最短边长度。
【解析】
解：
∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积分别为25和36
∴两个三角形的面积比为 $\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEF}}=\frac{25}{36}$
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得两个三角形的相似比为 $\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{5}{6}$
相似三角形对应边的比等于相似比，设△DEF的最短边长度为$x$，已知△ABC的最短边为5，两者为对应边，因此：
$\frac{5}{x}=\frac{5}{6}$
解得 $x=6$
【答案】
D
【知识点】
相似三角形面积比性质、相似三角形对应边成比例
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确掌握相似三角形面积比与相似比的关系，注意对应边的比与相似比的对应关系，避免搞反比例关系导致出错。
【难度系数】
0.8
本题考查相似三角形性质的应用，解题思路如下：首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，且相似三角形对应边的比等于相似比。第一步先计算两个三角形的面积比，第二步由面积比开平方求出相似比，第三步根据两个三角形的最短边是对应边，其比值等于相似比，列比例式即可求出△DEF的最短边长度。
【解析】
解：
∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积分别为25和36
∴两个三角形的面积比为 $\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEF}}=\frac{25}{36}$
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得两个三角形的相似比为 $\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{5}{6}$
相似三角形对应边的比等于相似比，设△DEF的最短边长度为$x$，已知△ABC的最短边为5，两者为对应边，因此：
$\frac{5}{x}=\frac{5}{6}$
解得 $x=6$
【答案】
D
【知识点】
相似三角形面积比性质、相似三角形对应边成比例
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确掌握相似三角形面积比与相似比的关系，注意对应边的比与相似比的对应关系，避免搞反比例关系导致出错。
【难度系数】
0.8
1. (2025 无锡期末)已知$△ ABC ∽ △ DEF$，且相似比为$1:2$，则$△ ABC$与$△ DEF$的面积比为（
A.$1:2$
B.$1:3$
C.$1:4$
D.$4:1$
C
）A.$1:2$
B.$1:3$
C.$1:4$
D.$4:1$
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查相似三角形面积比和相似比的关系，解题思路如下：首先明确已知条件是两个三角形相似，且给出了相似比，要求面积比，回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，只需将已知的相似比平方即可得到对应的面积比。
【解析】
解：已知$△ ABC ∽ △ DEF$，相似比为$1:2$。
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
可得$△ ABC$与$△ DEF$的面积比为$(1:2)^2 = 1:4$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查相似三角形面积比和相似比的关系，只要熟记相关性质即可快速解题，注意不要和相似三角形周长比等于相似比的知识点混淆。
【难度系数】
0.9
本题考查相似三角形面积比和相似比的关系，解题思路如下：首先明确已知条件是两个三角形相似，且给出了相似比，要求面积比，回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，只需将已知的相似比平方即可得到对应的面积比。
【解析】
解：已知$△ ABC ∽ △ DEF$，相似比为$1:2$。
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
可得$△ ABC$与$△ DEF$的面积比为$(1:2)^2 = 1:4$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查相似三角形面积比和相似比的关系，只要熟记相关性质即可快速解题，注意不要和相似三角形周长比等于相似比的知识点混淆。
【难度系数】
0.9
2.若两个相似三角形的面积之比为$4:9$，则它们的对应的角平分线之比为（
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
A
）A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
答案
2. A
解析
【分析】
解决本题首先要回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的对应线段（包括对应角平分线、对应中线、对应高）的比等于相似比。解题时先从已知的面积比入手求出相似比，再利用对应角平分线的比和相似比的关系即可得到最终结果。
【解析】
设两个相似三角形的相似比为$k$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$k^2=\frac{4}{9}$
由于相似比为正数，因此$k=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$
又因为相似三角形对应角平分线的比等于相似比，
所以两个三角形对应的角平分线之比为$\frac{2}{3}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形面积比性质；相似三角形对应线段比性质
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是理清相似比、面积比、对应线段比三者的换算关系，熟练掌握对应性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的对应线段（包括对应角平分线、对应中线、对应高）的比等于相似比。解题时先从已知的面积比入手求出相似比，再利用对应角平分线的比和相似比的关系即可得到最终结果。
【解析】
设两个相似三角形的相似比为$k$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$k^2=\frac{4}{9}$
由于相似比为正数，因此$k=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$
又因为相似三角形对应角平分线的比等于相似比，
所以两个三角形对应的角平分线之比为$\frac{2}{3}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形面积比性质；相似三角形对应线段比性质
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是理清相似比、面积比、对应线段比三者的换算关系，熟练掌握对应性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在$△ ABC$中,D,E分别是边AB,AC上的点,$DE// BC$,若$AD:DB=2:1$,S表示面积,C表示周长.则下列结论正确的是（
A.$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{S_{△ ADE}}{S_{四边形DECB}}=\dfrac{4}{9}$
D.$\dfrac{C_{△ ADE}}{C_{△ ABC}}=\dfrac{2}{3}$
D
）A.$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{S_{△ ADE}}{S_{四边形DECB}}=\dfrac{4}{9}$
D.$\dfrac{C_{△ ADE}}{C_{△ ABC}}=\dfrac{2}{3}$
答案
3. D
解析
【分析】
首先由DE//BC可判定△ADE与△ABC相似，再根据AD:DB=2:1求出两个三角形的相似比，最后结合相似三角形对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，逐一验证四个选项即可得出正确答案。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD:DB=2:1，
∴相似比$k=\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$。
逐一分析选项：
A. 相似三角形对应边成比例，$\frac{AE}{AC}=k=\frac{2}{3}$，故A错误；
B. 相似三角形对应边成比例，$\frac{DE}{BC}=k=\frac{2}{3}$，故B错误；
C. 相似三角形面积比等于相似比的平方，故$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=k^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，设$S_{△ADE}=4a$，则$S_{△ABC}=9a$，$S_{四边形DECB}=9a-4a=5a$，因此$\frac{S_{△ADE}}{S_{四边形DECB}}=\frac{4a}{5a}=\frac{4}{5}$，故C错误；
D. 相似三角形周长比等于相似比，故$\frac{C_{△ADE}}{C_{△ABC}}=k=\frac{2}{3}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的周长性质；相似三角形的面积性质
【点评】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题时先由平行线判定三角形相似，求出相似比后结合相似的性质逐一判断即可，注意面积比是相似比的平方，且要区分所求比值是占整个三角形的比例还是占剩余部分的比例。
【难度系数】
0.7
首先由DE//BC可判定△ADE与△ABC相似，再根据AD:DB=2:1求出两个三角形的相似比，最后结合相似三角形对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，逐一验证四个选项即可得出正确答案。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD:DB=2:1，
∴相似比$k=\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$。
逐一分析选项：
A. 相似三角形对应边成比例，$\frac{AE}{AC}=k=\frac{2}{3}$，故A错误；
B. 相似三角形对应边成比例，$\frac{DE}{BC}=k=\frac{2}{3}$，故B错误；
C. 相似三角形面积比等于相似比的平方，故$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=k^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，设$S_{△ADE}=4a$，则$S_{△ABC}=9a$，$S_{四边形DECB}=9a-4a=5a$，因此$\frac{S_{△ADE}}{S_{四边形DECB}}=\frac{4a}{5a}=\frac{4}{5}$，故C错误；
D. 相似三角形周长比等于相似比，故$\frac{C_{△ADE}}{C_{△ABC}}=k=\frac{2}{3}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的周长性质；相似三角形的面积性质
【点评】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题时先由平行线判定三角形相似，求出相似比后结合相似的性质逐一判断即可，注意面积比是相似比的平方，且要区分所求比值是占整个三角形的比例还是占剩余部分的比例。
【难度系数】
0.7
4. (2025 山东月考)如图,四边形ABCD为平行四边形,CE:EF:FD=1:2:1,AE,BF相交于点G.设$△ EFG$和$△ ABG$的面积分别为$S_{△ EFG},S_{△ ABG}$,则$S_{△ EFG}:S_{△ ABG}=$（
A.$1:2$
B.$1:3$
C.$4:9$
D.$1:4$
D
）A.$1:2$
B.$1:3$
C.$4:9$
D.$1:4$
答案
4. D
解析
【分析】
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB//CD、AB=CD；再结合已知的线段比例CE:EF:FD=1:2:1，计算出EF与AB的长度比值；由AB//CD可判定△EFG和△ABG相似，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求出两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AB=CD
设CE=k，由CE:EF:FD=1:2:1得，EF=2k，FD=k
∴CD=CE+EF+FD=k+2k+k=4k
∴AB=CD=4k
∴EF:AB=2k:4k=1:2
∵AB//CD
∴∠FEG=∠BAG，∠EFG=∠ABG
∴△EFG∽△ABG
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴$S_{△ EFG}:S_{△ ABG}=(EF:AB)^2=(1:2)^2=1:4$
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形面积性质
【点评】
本题是几何基础常考题型，核心考查平行四边形与相似三角形的综合应用，解题的关键是先求出两个相似三角形的相似比，再利用相似三角形的面积性质计算比值，解题时注意不要混淆相似比和面积比的关系。
【难度系数】
0.7
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB//CD、AB=CD；再结合已知的线段比例CE:EF:FD=1:2:1，计算出EF与AB的长度比值；由AB//CD可判定△EFG和△ABG相似，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求出两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AB=CD
设CE=k，由CE:EF:FD=1:2:1得，EF=2k，FD=k
∴CD=CE+EF+FD=k+2k+k=4k
∴AB=CD=4k
∴EF:AB=2k:4k=1:2
∵AB//CD
∴∠FEG=∠BAG，∠EFG=∠ABG
∴△EFG∽△ABG
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴$S_{△ EFG}:S_{△ ABG}=(EF:AB)^2=(1:2)^2=1:4$
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形面积性质
【点评】
本题是几何基础常考题型，核心考查平行四边形与相似三角形的综合应用，解题的关键是先求出两个相似三角形的相似比，再利用相似三角形的面积性质计算比值，解题时注意不要混淆相似比和面积比的关系。
【难度系数】
0.7
