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6.如图，已知$△ ABC ∽ △ BDC$，E，F分别为AC，BC的中点，且$AC=6$，$BC=4$，$BE=3$，求DF的长。
答案
6. 解:$\because △ ABC ∽ △ BDC$,E,F分别为AC,BC的中点，
$\therefore \frac{BE}{DF}=\frac{AC}{BC}$,即$\frac{3}{DF}=\frac{6}{4}$,$\therefore DF=2.$
$\therefore \frac{BE}{DF}=\frac{AC}{BC}$,即$\frac{3}{DF}=\frac{6}{4}$,$\therefore DF=2.$
解析
【分析】
首先明确已知条件：△ABC∽△BDC，E是AC中点，即BE是△ABC的AC边上的中线；F是BC中点，即DF是△BDC的BC边上的中线。根据相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于对应边的比（相似比），我们可以列出BE、DF与对应边AC、BC的比例关系式，代入已知数值即可求解DF的长度。
【解析】
解：
∵△ABC∽△BDC，E、F分别为AC、BC的中点，
∴BE是△ABC的AC边中线，DF是△BDC的BC边中线，
根据相似三角形对应中线的比等于相似比，可得：
$\frac{BE}{DF}=\frac{AC}{BC}$
将$BE=3$，$AC=6$，$BC=4$代入比例式：
$\frac{3}{DF}=\frac{6}{4}$
解得$DF=2$。
【答案】
$DF=2$
【知识点】
相似三角形的性质；比例运算
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题，解题核心是掌握相似三角形对应中线的比等于相似比，准确找准对应线段的比例关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
首先明确已知条件：△ABC∽△BDC，E是AC中点，即BE是△ABC的AC边上的中线；F是BC中点，即DF是△BDC的BC边上的中线。根据相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于对应边的比（相似比），我们可以列出BE、DF与对应边AC、BC的比例关系式，代入已知数值即可求解DF的长度。
【解析】
解：
∵△ABC∽△BDC，E、F分别为AC、BC的中点，
∴BE是△ABC的AC边中线，DF是△BDC的BC边中线，
根据相似三角形对应中线的比等于相似比，可得：
$\frac{BE}{DF}=\frac{AC}{BC}$
将$BE=3$，$AC=6$，$BC=4$代入比例式：
$\frac{3}{DF}=\frac{6}{4}$
解得$DF=2$。
【答案】
$DF=2$
【知识点】
相似三角形的性质；比例运算
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题，解题核心是掌握相似三角形对应中线的比等于相似比，准确找准对应线段的比例关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
7. 如图,在△ABC中,BC=120,高AD=60,正方形EFGH的边HG在BC上,点E,F分别在AB,AC上,AD交EF于点N,则AN的长为 (
A.15
B.20
C.25
D.30
B
)A.15
B.20
C.25
D.30
答案
7. B
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：正方形EFGH的边EF平行于BC，可推出△AEF与△ABC相似。根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，我们可以设正方形边长为未知量，结合已知的BC和AD的长度建立方程求解，先得到正方形边长，再计算AN的长度。
【解析】
设正方形EFGH的边长为$x$。
∵四边形EFGH是正方形，
∴$EF// BC$，$EF=x$，$ND=x$，
∴$△ AEF ∽ △ ABC$。
∵AD是$△ ABC$的高，AN是$△ AEF$的高，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AN}{AD}$（相似三角形对应高的比等于相似比）。
已知$BC=120$，$AD=60$，$AN=AD-ND=60-x$，代入得：
$\frac{x}{120}=\frac{60-x}{60}$，
解得$x=40$，
则$AN=60-40=20$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题是三角形内接正方形的典型题型，核心是借助平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质建立方程求解，体现了几何问题中的方程思想。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：正方形EFGH的边EF平行于BC，可推出△AEF与△ABC相似。根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，我们可以设正方形边长为未知量，结合已知的BC和AD的长度建立方程求解，先得到正方形边长，再计算AN的长度。
【解析】
设正方形EFGH的边长为$x$。
∵四边形EFGH是正方形，
∴$EF// BC$，$EF=x$，$ND=x$，
∴$△ AEF ∽ △ ABC$。
∵AD是$△ ABC$的高，AN是$△ AEF$的高，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AN}{AD}$（相似三角形对应高的比等于相似比）。
已知$BC=120$，$AD=60$，$AN=AD-ND=60-x$，代入得：
$\frac{x}{120}=\frac{60-x}{60}$，
解得$x=40$，
则$AN=60-40=20$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题是三角形内接正方形的典型题型，核心是借助平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质建立方程求解，体现了几何问题中的方程思想。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ABC=∠ACD=90°,BM⊥AC于点M,CN⊥AD于点N,且BC=12,BM=8,CD=18.求CN的长.
答案
8. 解:$\because AC$平分$∠ BAD$,$\therefore ∠ BAC=∠ CAD.$
又$\because ∠ ABC=∠ ACD=90°$,$\therefore △ ABC ∽ △ ACD.$
$\because BM⊥ AC,CN⊥ AD,$$\therefore \frac{CN}{BM}=\frac{CD}{BC}$,
即$\frac{CN}{8}=\frac{18}{12}$,$\therefore CN=12.$
又$\because ∠ ABC=∠ ACD=90°$,$\therefore △ ABC ∽ △ ACD.$
$\because BM⊥ AC,CN⊥ AD,$$\therefore \frac{CN}{BM}=\frac{CD}{BC}$,
即$\frac{CN}{8}=\frac{18}{12}$,$\therefore CN=12.$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先AC平分∠BAD，可得到一组相等的角∠BAC=∠CAD；再结合已知的两个直角∠ABC=∠ACD=90°，可判定△ABC与△ACD相似。接着观察到BM是△ABC中AC边上的高，CN是△ACD中AD边上的高，根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比（即对应边的比），代入已知的BM、BC、CD的长度列出比例式，即可求出CN的长。
【解析】
解：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD.
又
∵∠ABC=∠ACD=90°，
∴△ABC∽△ACD.
∵BM⊥AC，CN⊥AD，BM、CN分别是两个相似三角形对应边上的高，
∴$\frac{CN}{BM}=\frac{CD}{BC}$，
将BM=8，CD=18，BC=12代入得：$\frac{CN}{8}=\frac{18}{12}$，
解得CN=12.
【答案】
12
【知识点】
角平分线的定义；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何求线段长度的典型题型，解题关键是先通过角的等量关系证明三角形相似，再利用相似三角形对应高的比等于相似比列式计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先AC平分∠BAD，可得到一组相等的角∠BAC=∠CAD；再结合已知的两个直角∠ABC=∠ACD=90°，可判定△ABC与△ACD相似。接着观察到BM是△ABC中AC边上的高，CN是△ACD中AD边上的高，根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比（即对应边的比），代入已知的BM、BC、CD的长度列出比例式，即可求出CN的长。
【解析】
解：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD.
又
∵∠ABC=∠ACD=90°，
∴△ABC∽△ACD.
∵BM⊥AC，CN⊥AD，BM、CN分别是两个相似三角形对应边上的高，
∴$\frac{CN}{BM}=\frac{CD}{BC}$，
将BM=8，CD=18，BC=12代入得：$\frac{CN}{8}=\frac{18}{12}$，
解得CN=12.
【答案】
12
【知识点】
角平分线的定义；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何求线段长度的典型题型，解题关键是先通过角的等量关系证明三角形相似，再利用相似三角形对应高的比等于相似比列式计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
9. 如图,已知 AD 是$△ ABC$的边 BC 上的中线,G是三角形的重心,EF过点G且平行于BC,分别交AB,AC于点E,F.求$AF:FC$和$EF:BC$的值.
答案
9. 解:$\because G$是$△ ABC$的重心,且AD是BC边上的中线，
$\therefore AG:GD=2:1$,$AG:AD=2:3.$
$\because EF// BC$,$\therefore △ AEF ∽ △ ABC.$
$\therefore AF:FC=AG:GD=2:1$,$EF:BC=AF:AC=AG:AD=2:3.$
$\therefore AG:GD=2:1$,$AG:AD=2:3.$
$\because EF// BC$,$\therefore △ AEF ∽ △ ABC.$
$\therefore AF:FC=AG:GD=2:1$,$EF:BC=AF:AC=AG:AD=2:3.$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先回忆三角形重心的性质：三角形的重心是三条中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，由此先得到AG与GD、AG与AD的比例关系；再结合EF//BC的条件，可利用平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质，分别求出AF:FC和EF:BC的比值。
【解析】
解：$\because G$是$△ ABC$的重心，且AD是BC边上的中线，
$\therefore AG:GD=2:1$,$AG:AD=2:3$。
$\because EF// BC$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABC$，由平行线分线段成比例可得$AF:FC=AG:GD$，
$\therefore AF:FC=2:1$，
$EF:BC=AF:AC=AG:AD=2:3$。
【答案】
$AF:FC=2:1$，$EF:BC=2:3$
【知识点】
三角形重心的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的核心是熟练掌握三角形重心的比例性质，结合平行线与相似三角形的性质即可快速求解，解题时注意对应线段的比例关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，首先回忆三角形重心的性质：三角形的重心是三条中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，由此先得到AG与GD、AG与AD的比例关系；再结合EF//BC的条件，可利用平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质，分别求出AF:FC和EF:BC的比值。
【解析】
解：$\because G$是$△ ABC$的重心，且AD是BC边上的中线，
$\therefore AG:GD=2:1$,$AG:AD=2:3$。
$\because EF// BC$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABC$，由平行线分线段成比例可得$AF:FC=AG:GD$，
$\therefore AF:FC=2:1$，
$EF:BC=AF:AC=AG:AD=2:3$。
【答案】
$AF:FC=2:1$，$EF:BC=2:3$
【知识点】
三角形重心的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的核心是熟练掌握三角形重心的比例性质，结合平行线与相似三角形的性质即可快速求解，解题时注意对应线段的比例关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
