5. 在$△ ABC$中，点$D,E$分别在边$AB,AC$上，$△ ADE ∽ △ ABC$. 如果 $AB=4, BC=5, AC=6, AD=3$, 那么 $△ ADE$ 的周长为.

5. $\frac{45}{4}$

【分析】
要求$△ ADE$的周长，可利用相似三角形周长比等于相似比的性质求解。首先先计算$△ ABC$的周长，再根据相似三角形的对应顶点顺序确定对应边，算出两个三角形的相似比，最后根据周长比与相似比的关系列式计算即可。解题时要注意对应边的匹配，避免相似比计算错误。
【解析】
第一步：计算$△ ABC$的周长
$C_{△ ABC}=AB+BC+AC=4+5+6=15$
第二步：确定相似比
$\because △ ADE ∽ △ ABC$，AD与AB是对应边
$\therefore$ 相似比 $k=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{4}$
第三步：计算$△ ADE$的周长
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，可得：
$\frac{C_{△ ADE}}{C_{△ ABC}}=\frac{3}{4}$
将$C_{△ ABC}=15$代入得：
$C_{△ ADE}=15×\frac{3}{4}=\frac{45}{4}$
【答案】
$\frac{45}{4}$
【知识点】
相似三角形周长性质；相似比计算；三角形周长计算
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题，解题关键是根据相似三角形的顶点对应关系准确确定相似比，熟练掌握相似三角形的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8

6. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,D 是 AB上一点,$DE// BC$,$BE⊥ AB$.
(1)求证:$△ DEB∽△ BAC$;
(2)若 $DE=2$,$AB=3$,$△ DEB$ 的面积为 2,求 $△ ABC$ 的面积.

6.(1)证明:$\because DE// BC,\therefore ∠ EDB=∠ CBA$.
$\because ∠ C=90°,BE⊥ AB,\therefore ∠ C=∠ EBD=90°$,
$\therefore △ DEB∽ △ BAC$.
(2)解:$\because △ DEB∽ △ BAC,\therefore \frac{S_{△ DEB}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{AB})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$.
$\because S_{△ DEB}=2,\therefore \frac{2}{S_{△ ABC}}=\frac{4}{9},\therefore S_{△ ABC}=\frac{9}{2}$.

【分析】
(1)要证明两个三角形相似，可通过两角对应相等的判定定理推导。首先利用平行线的性质得到一组同位角相等，再结合已知的两个直角，得到两组对应角相等，即可完成相似证明。(2)已知两个三角形相似，要求△ABC的面积，可利用相似三角形的面积比等于相似比的平方这一性质，先求出两三角形的面积比，再代入△DEB的面积即可计算出结果。
【解析】
(1)证明：
$\because DE// BC$，$\therefore ∠ EDB=∠ CBA$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠ C=90°$，$BE⊥ AB$，$\therefore ∠ C=∠ EBD=90°$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ DEB∽△ BAC$。
(2)解：
由(1)得$△ DEB∽△ BAC$，根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ DEB}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{AB})^2$
将$DE=2$，$AB=3$代入，得$\frac{S_{△ DEB}}{S_{△ ABC}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$。
已知$S_{△ DEB}=2$，代入得$\frac{2}{S_{△ ABC}}=\frac{4}{9}$，解得$S_{△ ABC}=\frac{9}{2}$。
【答案】
(1)$△ DEB∽△ BAC$得证；(2)$\frac{9}{2}$
【知识点】
平行线的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础典型题，重点考查相似三角形的判定和性质的应用，解题时找准对应角、对应边是关键，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7

7. 如图,在$△ ABC$中,$DE// BC$,$EF// AB$, $\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$.若四边形BDEF的面积为16,则$△ ADE$的面积是.

7. 4

【分析】
解题时首先根据两组对边分别平行判断四边形BDEF是平行四边形，同时由平行线得到两组相似三角形：△ADE∽△ABC、△EFC∽△ABC。结合已知$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$，求出两个相似三角形与△ABC的相似比，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，分别表示出△ADE、△EFC的面积与△ABC面积的关系，进而得到四边形BDEF的面积占△ABC面积的份数，结合已知四边形面积即可求出△ADE的面积。
【解析】
解：
∵$DE//BC$，$EF//AB$，
∴四边形BDEF是平行四边形，且$△ ADE ∽ △ ABC$，$△ EFC ∽ △ ABC$。
∵$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$，$\frac{EC}{AC}=\frac{DB}{AB}=\frac{2}{3}$。
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AD}{AB})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，即$S_{△ ADE}=\frac{1}{9}S_{△ ABC}$；
$\frac{S_{△ EFC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{EC}{AC})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，即$S_{△ EFC}=\frac{4}{9}S_{△ ABC}$。
∴四边形BDEF的面积：
$S_{BDEF}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}-S_{△ EFC}=S_{△ ABC}-\frac{1}{9}S_{△ ABC}-\frac{4}{9}S_{△ ABC}=\frac{4}{9}S_{△ ABC}$。
已知$S_{BDEF}=16$，则$\frac{4}{9}S_{△ ABC}=16$，解得$S_{△ ABC}=36$。
∴$S_{△ ADE}=\frac{1}{9}×36=4$。
【答案】
4
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似三角形面积性质
3. 平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用题目，解题核心是通过平行线得到相似三角形，利用面积比和相似比的关系表示出各部分面积的占比关系，进而结合已知条件求解，对相似三角形性质的灵活运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7

8.如图，在锐角$△ ABC$中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，$△ ABC$和$△ BDE$的面积分别等于18和2，$DE=2$，则AC边上的高为。

8. 6

【分析】
解题时首先从已知的两条高入手，利用公共角∠B先证明△ABD与△CBE相似，得到边的比例关系，再结合公共角∠B证明△BDE与△BAC相似；接着利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出AC的长度，最后根据三角形面积公式即可求出AC边上的高。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{AB}{BC}$，即$\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{BC}$，
又
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{S_{△ BDE}}{S_{△ BAC}}=(\frac{DE}{AC})^2$，
已知$S_{△ BDE}=2$，$S_{△ BAC}=18$，
∴$\frac{2}{18}=(\frac{DE}{AC})^2$，即$(\frac{DE}{AC})^2=\frac{1}{9}$，
∵△ABC是锐角三角形，相似比为正数，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{1}{3}$，
又
∵DE=2，
∴$AC=3DE=6$，
设AC边上的高为h，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · AC · h=18$，
代入AC=6得：$\frac{1}{2} × 6 × h=18$，
解得h=6。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形性质应用的典型题型，解题的核心是通过两次相似推导得到已知边DE与待求相关边AC的比例关系，再结合面积公式求解，能很好地考查学生对相似相关知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

9. 如图，在$□ ABCD$中，$BE:EC=1:3$，$AE$交$BD$于点$F$。
(1) 求证：$△ BEF ∽ △ DAF$；
(2) 求$△ BEF$与$△ DAF$的周长之比；
(3) 若$△ DAF$的面积为$16\ \mathrm{cm}^2$，求$△ BEF$的面积。

9.(1)证明:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AD// BC,\therefore ∠ EBF=∠ ADF,∠ FEB=∠ FAD$,
$\therefore △ BEF∽ △ DAF$.
(2)解:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore DA=BC$,而$BE:EC=1:3$,
$\therefore$ 设$BE=k$,则$EC=3k,DA=4k$.
$\because △ BEF∽ △ DAF$,
$\therefore \frac{△ BEF的周长}{△ DAF的周长}=\frac{BE}{DA}=\frac{k}{4k}=\frac{1}{4}$.
$\therefore △ BEF$与$△ DAF$的周长之比为$1:4$.
(3)解:$\because △ BEF∽ △ DAF,\therefore \frac{S_{△ DAF}}{S_{△ BEF}}=(\frac{DA}{BE})^2$.
由(2)知,$\frac{DA}{BE}=\frac{4}{1}$,且$△ DAF$的面积为$16\ \mathrm{cm}^2$,
$\therefore \frac{16}{S_{△ BEF}}=(\frac{4}{1})^2$,
$\therefore S_{△ BEF}=1\ \mathrm{cm}^2$,即$△ BEF$的面积为$1\ \mathrm{cm}^2$.

【分析】
(1) 证明三角形相似可优先考虑两角对应相等的判定方法：结合平行四边形对边平行的性质，可得$AD// BC$，进而得到两组内错角相等，即可证明$△ BEF∽ △ DAF$。
(2) 相似三角形的周长比等于相似比，因此只需先求出两个三角形的相似比：利用平行四边形对边相等，结合$BE:EC=1:3$，可推出$BE$与$AD$的比值，即为相似比，进而得到周长比。
(3) 相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知$△ DAF$的面积，结合已求得的相似比，代入比例式即可计算出$△ BEF$的面积。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$\therefore ∠ EBF=∠ ADF$，$∠ FEB=∠ FAD$，
$\therefore △ BEF ∽ △ DAF$。
(2) 解：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore DA=BC$，而$BE:EC=1:3$，
$\therefore$ 设$BE=k$，则$EC=3k$，$DA=BC=BE+EC=4k$。
$\because △ BEF∽ △ DAF$，
$\therefore \frac{△ BEF的周长}{△ DAF的周长}=\frac{BE}{DA}=\frac{k}{4k}=\frac{1}{4}$。
$\therefore △ BEF$与$△ DAF$的周长之比为$1:4$。
(3) 解：$\because △ BEF∽ △ DAF$，$\therefore \frac{S_{△ DAF}}{S_{△ BEF}}=(\frac{DA}{BE})^2$。
由(2)知，$\frac{DA}{BE}=\frac{4}{1}$，且$△ DAF$的面积为$16\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore \frac{16}{S_{△ BEF}}=(\frac{4}{1})^2$，
解得$S_{△ BEF}=1\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 已证$△ BEF ∽ △ DAF$；
(2) $△ BEF$与$△ DAF$的周长之比为$\boldsymbol{1:4}$；
(3) $△ BEF$的面积为$\boldsymbol{1\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将平行四边形性质与相似三角形的判定、性质结合考查，解题关键是先证明三角形相似，再根据相似比与周长比、面积比的关系计算，要注意区分周长比和面积比与相似比的对应关系，避免混淆。
【难度系数】
0.7