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1.【例1】用配方法把抛物线$y=x^2+4x+3$化为顶点式,并写出开口方向、顶点坐标和对称轴.
解:$y=x^2+4x+3=x^2+4x+2^2-2^2+3=$
此抛物线的开口向
解:$y=x^2+4x+3=x^2+4x+2^2-2^2+3=$
$(x+2)^2 -1$
.此抛物线的开口向
上
,顶点坐标为$(-2, -1)$
,对称轴为$x = -2$
.答案
1. $(x+2)^2 -1$，此抛物线开口向上，顶点坐标为$(-2,-1)$，对称轴为$x=-2$
解析
【分析】
本题需要先通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，再根据顶点式判断抛物线的性质，解题思路如下：1. 配方法转化：二次项系数为1时，对二次项和一次项配方，加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数保证代数式的值不变，将含x的项写成完全平方形式，合并常数项得到顶点式；2. 判开口：根据二次项系数的正负判断开口方向，系数为正则开口向上，为负则开口向下；3. 找顶点与对称轴：顶点式$y=a(x-h)^2+k$中，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，代入对应数值即可得到结果。
【解析】
1. 配方求顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2+4x+3\\&=x^2+4x+2^2 - 2^2 +3\\&=(x+2)^2 -4 +3\\&=(x+2)^2 -1\end{aligned}$
2. 判断开口方向：二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上。
3. 确定顶点坐标与对称轴：将所得顶点式与标准形式$y=a(x-h)^2+k$对应，可得$h=-2$，$k=-1$，因此顶点坐标为$(-2,-1)$，对称轴为直线$x=-2$。
【答案】
$(x+2)^2 -1$；上；$(-2,-1)$；$x=-2$
【知识点】
配方法化二次函数顶点式；二次函数的图象性质；完全平方公式
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，主要考查配方法的基础应用和顶点式的相关性质，掌握配方的基本步骤，明确顶点式各参数的含义即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
本题需要先通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，再根据顶点式判断抛物线的性质，解题思路如下：1. 配方法转化：二次项系数为1时，对二次项和一次项配方，加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数保证代数式的值不变，将含x的项写成完全平方形式，合并常数项得到顶点式；2. 判开口：根据二次项系数的正负判断开口方向，系数为正则开口向上，为负则开口向下；3. 找顶点与对称轴：顶点式$y=a(x-h)^2+k$中，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，代入对应数值即可得到结果。
【解析】
1. 配方求顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2+4x+3\\&=x^2+4x+2^2 - 2^2 +3\\&=(x+2)^2 -4 +3\\&=(x+2)^2 -1\end{aligned}$
2. 判断开口方向：二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上。
3. 确定顶点坐标与对称轴：将所得顶点式与标准形式$y=a(x-h)^2+k$对应，可得$h=-2$，$k=-1$，因此顶点坐标为$(-2,-1)$，对称轴为直线$x=-2$。
【答案】
$(x+2)^2 -1$；上；$(-2,-1)$；$x=-2$
【知识点】
配方法化二次函数顶点式；二次函数的图象性质；完全平方公式
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，主要考查配方法的基础应用和顶点式的相关性质，掌握配方的基本步骤，明确顶点式各参数的含义即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
2. 用配方法把抛物线 $ y = x^2 + 6x - 2 $ 化为顶点式，并写出开口方向、顶点坐标和对称轴.
答案
2. 解:$y = x^2 + 6x - 2 = x^2 + 6x + 3^2 - 3^2 - 2$
$= (x + 3)^2 - 11.$
此抛物线的开口向上,顶点坐标为$(-3, -11)$,对称轴为$x = -3.$
$= (x + 3)^2 - 11.$
此抛物线的开口向上,顶点坐标为$(-3, -11)$,对称轴为$x = -3.$
解析
【分析】
要解决本题，需先掌握配方法将二次函数一般式化为顶点式的步骤，再结合顶点式的性质推导抛物线的相关特征：第一步，本题二次项系数为1，直接对含x的项配方，给x²+6x加上一次项系数一半的平方，再减去同一个数保证原式值不变，整理为y=a(x-h)²+k的顶点式；第二步，根据a的正负判断开口方向，a＞0则开口向上；第三步，顶点式中顶点坐标为(h,k)，对称轴为直线x=h，对应取值即可。
【解析】
对二次函数进行配方变形：
$\begin{aligned}y &= x^2 + 6x - 2 \\&= x^2 + 6x + 3^2 - 3^2 - 2 \\&= (x + 3)^2 - 11\end{aligned}$
∵ 二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上；
根据顶点式的性质，可得顶点坐标为$(-3, -11)$，对称轴为直线$x=-3$。
【答案】
顶点式为$y=(x+3)^2-11$，开口向上，顶点坐标为$(-3,-11)$，对称轴为$x=-3$。
【知识点】
配方法的应用；二次函数顶点式；二次函数图像性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查配方法的操作规范以及二次函数顶点式与图像特征的对应关系，熟练掌握配方法步骤和顶点式的性质是解决该类问题的核心。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需先掌握配方法将二次函数一般式化为顶点式的步骤，再结合顶点式的性质推导抛物线的相关特征：第一步，本题二次项系数为1，直接对含x的项配方，给x²+6x加上一次项系数一半的平方，再减去同一个数保证原式值不变，整理为y=a(x-h)²+k的顶点式；第二步，根据a的正负判断开口方向，a＞0则开口向上；第三步，顶点式中顶点坐标为(h,k)，对称轴为直线x=h，对应取值即可。
【解析】
对二次函数进行配方变形：
$\begin{aligned}y &= x^2 + 6x - 2 \\&= x^2 + 6x + 3^2 - 3^2 - 2 \\&= (x + 3)^2 - 11\end{aligned}$
∵ 二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上；
根据顶点式的性质，可得顶点坐标为$(-3, -11)$，对称轴为直线$x=-3$。
【答案】
顶点式为$y=(x+3)^2-11$，开口向上，顶点坐标为$(-3,-11)$，对称轴为$x=-3$。
【知识点】
配方法的应用；二次函数顶点式；二次函数图像性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查配方法的操作规范以及二次函数顶点式与图像特征的对应关系，熟练掌握配方法步骤和顶点式的性质是解决该类问题的核心。
【难度系数】
0.8
3.【例2】求抛物线$y=x^2+x$的顶点坐标.
4.求抛物线$y=-x^2+3x-1$的顶点坐标和对称轴.
4.求抛物线$y=-x^2+3x-1$的顶点坐标和对称轴.
答案
3. 解:$y = x^2 + x = x^2 + x + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2$
$= (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}.$
此抛物线的顶点坐标为$(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}).$
4. 解:$y = -x^2 + 3x - 1 = -(x^2 - 3x + 1)$
$= -[x^2 - 3x + (-\frac{3}{2})^2 - (-\frac{3}{2})^2 + 1]$
$= -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{5}{4}.$
此抛物线的顶点坐标为$(\frac{3}{2}, \frac{5}{4})$,对称轴为$x = \frac{3}{2}.$
$= (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}.$
此抛物线的顶点坐标为$(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}).$
4. 解:$y = -x^2 + 3x - 1 = -(x^2 - 3x + 1)$
$= -[x^2 - 3x + (-\frac{3}{2})^2 - (-\frac{3}{2})^2 + 1]$
$= -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{5}{4}.$
此抛物线的顶点坐标为$(\frac{3}{2}, \frac{5}{4})$,对称轴为$x = \frac{3}{2}.$
解析
【分析】
求二次函数的顶点坐标、对称轴，可通过配方法将二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，直接得到顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$。第3题二次项系数为1，直接对$x^2+x$加上一次项系数一半的平方凑完全平方，再减去多加的常数即可整理为顶点式；第4题二次项系数为-1，先提取负号将括号内二次项系数化为1，再对括号内的二次项和一次项配方，整理为顶点式后即可得到对应结果。
【解析】
3. 解：对$y = x^2 + x$配方得：
$y = x^2 + x = x^2 + x + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2$
$= (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$
根据顶点式可得顶点坐标为$(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$。
4. 解：对$y = -x^2 + 3x - 1$配方得：
$y = -x^2 + 3x - 1 = -(x^2 - 3x + 1)$
$= -[x^2 - 3x + (-\frac{3}{2})^2 - (-\frac{3}{2})^2 + 1]$
$= -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{5}{4}$
根据顶点式可得顶点坐标为$(\frac{3}{2}, \frac{5}{4})$，对称轴为直线$x = \frac{3}{2}$。
【答案】
3. 顶点坐标为$\boldsymbol{(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})}$；
4. 顶点坐标为$\boldsymbol{(\frac{3}{2}, \frac{5}{4})}$，对称轴为直线$\boldsymbol{x = \frac{3}{2}}$。
【知识点】
配方法；二次函数顶点式；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题型，重点要求掌握配方法的操作步骤，也可直接用顶点坐标公式$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$求解，两种方法可灵活选用，解题时注意符号运算避免出错。
【难度系数】
0.8
求二次函数的顶点坐标、对称轴，可通过配方法将二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，直接得到顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$。第3题二次项系数为1，直接对$x^2+x$加上一次项系数一半的平方凑完全平方，再减去多加的常数即可整理为顶点式；第4题二次项系数为-1，先提取负号将括号内二次项系数化为1，再对括号内的二次项和一次项配方，整理为顶点式后即可得到对应结果。
【解析】
3. 解：对$y = x^2 + x$配方得：
$y = x^2 + x = x^2 + x + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2$
$= (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$
根据顶点式可得顶点坐标为$(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$。
4. 解：对$y = -x^2 + 3x - 1$配方得：
$y = -x^2 + 3x - 1 = -(x^2 - 3x + 1)$
$= -[x^2 - 3x + (-\frac{3}{2})^2 - (-\frac{3}{2})^2 + 1]$
$= -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{5}{4}$
根据顶点式可得顶点坐标为$(\frac{3}{2}, \frac{5}{4})$，对称轴为直线$x = \frac{3}{2}$。
【答案】
3. 顶点坐标为$\boldsymbol{(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})}$；
4. 顶点坐标为$\boldsymbol{(\frac{3}{2}, \frac{5}{4})}$，对称轴为直线$\boldsymbol{x = \frac{3}{2}}$。
【知识点】
配方法；二次函数顶点式；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题型，重点要求掌握配方法的操作步骤，也可直接用顶点坐标公式$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$求解，两种方法可灵活选用，解题时注意符号运算避免出错。
【难度系数】
0.8
5.【例3】用配方法将抛物线$y=2x^2 -8x +1$化成顶点式，并写出其最小值。
6.求二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2 -2x +3$的最大值。
6.求二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2 -2x +3$的最大值。
答案
5. 解:$y = 2x^2 - 8x + 1 = 2(x^2 - 4x + 2^2 - 2^2) + 1$
$= 2(x^2 - 4x + 4) - 2 × 4 + 1 = 2(x - 2)^2 - 7.$
$\because 2＞0,\therefore$ 当$x=2$时,该函数有最小值,且最小值为$-7.$
6. 解:$y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x + 3 = -\frac{1}{2}(x^2 + 4x + 2^2 - 2^2) + 3$
$= -\frac{1}{2}(x + 2)^2 + 2 + 3 = -\frac{1}{2}(x + 2)^2 + 5.$
$\because -\frac{1}{2}＜0,$
$\therefore$ 当$x = -2$时,该函数有最大值,且最大值为$5.$
$= 2(x^2 - 4x + 4) - 2 × 4 + 1 = 2(x - 2)^2 - 7.$
$\because 2＞0,\therefore$ 当$x=2$时,该函数有最小值,且最小值为$-7.$
6. 解:$y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x + 3 = -\frac{1}{2}(x^2 + 4x + 2^2 - 2^2) + 3$
$= -\frac{1}{2}(x + 2)^2 + 2 + 3 = -\frac{1}{2}(x + 2)^2 + 5.$
$\because -\frac{1}{2}＜0,$
$\therefore$ 当$x = -2$时,该函数有最大值,且最大值为$5.$
解析
【分析】
要解决这两个问题，核心是用配方法将二次函数一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，再根据二次项系数的符号判断最值，具体思路如下：①先提取二次项系数，把含$x$的项放在括号内；②括号内加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数，保证代数式的值不变；③整理为顶点式后，若$a＞0$，抛物线开口向上，最小值为$k$；若$a＜0$，抛物线开口向下，最大值为$k$。第5题先提取二次项系数2，配方后求最小值；第6题先提取二次项系数$-\frac{1}{2}$，配方后求最大值。
【解析】
5. 对$y=2x^2 -8x +1$进行配方：
先提取二次项系数2：$y = 2(x^2 - 4x) + 1$
括号内加、减一次项系数一半的平方$2^2$：$y = 2(x^2 - 4x + 2^2 - 2^2) + 1$
整理得：$= 2(x^2 - 4x + 4) - 2 × 4 + 1 = 2(x - 2)^2 - 7$
$\because 2＞0$，抛物线开口向上，$\therefore$ 当$x=2$时，该函数有最小值。
6. 对$y=-\frac{1}{2}x^2 -2x +3$进行配方：
先提取二次项系数$-\frac{1}{2}$：$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 4x) + 3$
括号内加、减一次项系数一半的平方$2^2$：$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 4x + 2^2 - 2^2) + 3$
整理得：$= -\frac{1}{2}(x + 2)^2 + 2 + 3 = -\frac{1}{2}(x + 2)^2 + 5$
$\because -\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$ 当$x = -2$时，该函数有最大值。
【答案】
5. 顶点式为$y=2(x-2)^2 -7$，最小值为$-7$；
6. 最大值为$5$。
【知识点】
配方法化顶点式；二次函数最值求解
【点评】
这两道题是二次函数性质的基础应用，重点考查配方法的操作步骤和二次函数最值的判断逻辑，熟练掌握配方法“提系数、凑平方、恒等变形”的步骤，以及开口方向和最值的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这两个问题，核心是用配方法将二次函数一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，再根据二次项系数的符号判断最值，具体思路如下：①先提取二次项系数，把含$x$的项放在括号内；②括号内加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数，保证代数式的值不变；③整理为顶点式后，若$a＞0$，抛物线开口向上，最小值为$k$；若$a＜0$，抛物线开口向下，最大值为$k$。第5题先提取二次项系数2，配方后求最小值；第6题先提取二次项系数$-\frac{1}{2}$，配方后求最大值。
【解析】
5. 对$y=2x^2 -8x +1$进行配方：
先提取二次项系数2：$y = 2(x^2 - 4x) + 1$
括号内加、减一次项系数一半的平方$2^2$：$y = 2(x^2 - 4x + 2^2 - 2^2) + 1$
整理得：$= 2(x^2 - 4x + 4) - 2 × 4 + 1 = 2(x - 2)^2 - 7$
$\because 2＞0$，抛物线开口向上，$\therefore$ 当$x=2$时，该函数有最小值。
6. 对$y=-\frac{1}{2}x^2 -2x +3$进行配方：
先提取二次项系数$-\frac{1}{2}$：$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 4x) + 3$
括号内加、减一次项系数一半的平方$2^2$：$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 4x + 2^2 - 2^2) + 3$
整理得：$= -\frac{1}{2}(x + 2)^2 + 2 + 3 = -\frac{1}{2}(x + 2)^2 + 5$
$\because -\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$ 当$x = -2$时，该函数有最大值。
【答案】
5. 顶点式为$y=2(x-2)^2 -7$，最小值为$-7$；
6. 最大值为$5$。
【知识点】
配方法化顶点式；二次函数最值求解
【点评】
这两道题是二次函数性质的基础应用，重点考查配方法的操作步骤和二次函数最值的判断逻辑，熟练掌握配方法“提系数、凑平方、恒等变形”的步骤，以及开口方向和最值的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
